6、b),則f′(x)<0,f(x)在(-∞,ln (-b))上單調(diào)遞減.
(2)令g(x)=ex+bx-1-ln x,則g′(x)=ex+b-,易知g′(x)單調(diào)遞增且一定有大于0的零點(diǎn),設(shè)g′(x)大于0的零點(diǎn)為x0,則g′(x0)=0,即ex0+b-=0,b=-ex0.
方程f(x)=ln x有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則需滿足g(x0)<0,即ex0+bx0-1-ln x0=ex0+x0-1-ln x0=ex0-ex0x0-ln x0<0,
令h(x)=ex-exx-ln x(x>0),則h′(x)=-exx-<0,
所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
h(1)=0,
7、所以ex0-ex0x0-ln x0<0的解集為(1,+∞),所以b=-ex0<1-e.
當(dāng)b<1-e時(shí),ex+bx-1-ln x>x+bx-ln x,有g(shù)(eb)>eb+beb-ln eb=(b+1)eb-b,
令G(x)=(x+1)ex-x=(x+1)(ex-1)+1,x<1-e,所以x+1<2-e<0,00,所以g(eb)>0,故g(eb)g(x0)<0,g(x)在(0,x0)上有唯一零點(diǎn),另一方面,在(x0,+∞)上,當(dāng)x→+∞時(shí),因?yàn)閑x的增長(zhǎng)速度快,所以g(x)>0.
綜上,b的取值范圍是(-∞,1-e).
4.已知函數(shù)f(x)
8、=-x+2aln x.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=ln x-bx-cx2,若函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x11,令f′(x)=0得x1=a-,x2=a+.
當(dāng)x∈(0,a-)∪(a+,+∞)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(a-,a+)時(shí),f′(x)>0.
所以當(dāng)a≤1時(shí),f(x)的單調(diào)遞減
9、區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)a>1時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a-),(a+,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間為(a-,a+).
(2)由(1)知,a>1且x1+x2=2a,x1x2=1.
又g′(x)=-b-2cx,所以g′()=-b-c(x1+x2),
由g(x1)=g(x2)=0得ln =c(x-x)+b(x1-x2),
所以y=(x1-x2)g′()=-b(x1-x2)-c(x-x)=-ln=-ln.
令=t∈(0,1),則y=-ln t,所以y′=<0,則y=-ln t在(0,1)上單調(diào)遞減,且當(dāng)t→0時(shí),y→+∞.由y=-ln t的取值范圍是[ln 2-,+∞),得t的取值范圍是(0,],所以4a2==++2=t++2∈[,+∞),又a>1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[,+∞).
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