《(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(cè)(二十二)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(cè)(二十二)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程(4頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題檢測(cè)(二十二) 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程
大題專攻強(qiáng)化練
1.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=2sin x-xcos x-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
解:(1)證明:設(shè)g(x)=f′(x),則g(x)=cos x+xsin x-1,g′(x)=xcos x.
當(dāng)x∈時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),g′(x)<0,
所以g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
又g(0)=0,g>0,g(π)=-2,
故g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).
所以f′(x)在區(qū)
2、間(0,π)存在唯一零點(diǎn).
(2)由題設(shè)知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.
由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π)上單調(diào)遞減.
又f(0)=0,f(π)=0,所以當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.
又當(dāng)a≤0,x∈[0,π]時(shí),ax≤0,故f(x)≥ax.
因此,a的取值范圍是(-∞,0].
2.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ln x-x-1.證明:
(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);
(2)f(x)=
3、0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
證明:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=+ln x-1=ln x-.
因?yàn)閥=ln x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又f′(1)=-1<0,f′(2)=ln 2-=>0,
故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.
又當(dāng)xx0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn).
(2)由(1)知f(x0)0,
所以f(x)=
4、0在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一根x=α.
由α>x0>1得<1
5、f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
∴f(x)的極小值點(diǎn)為x=,無極大值點(diǎn).
(2)∵f′(x)=(x>0且a>0),
∴當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
∴f(x)≥f=a+aln .
∵關(guān)于x的不等式f(x)<2有解,∴a+aln <2.
∵a>0,∴l(xiāng)n+1-<0.
令g(x)=ln x+1-x,則g′(x)=-1=,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
∴g(x)≤g(1)=0,∴由ln +1-<0可解得>
6、0且≠1,
∴a的取值范圍是.
4.(2019·蘭州市診斷考試)已知函數(shù)f(x)=x2-(a2+a+2)x+a2(a+2)ln x,a∈R.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)試判斷當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.
解:(1)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2-2x+ln x,
∴f′(x)=x-2+==≥0,
∴函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)①當(dāng)a=0,f(x)=x2-2x=(x-2)2-2(x>0),
由于f(4)=0,
7、故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)a=-1時(shí),由(1)知函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),
由于f(e)=-2e+1=<0,
f(e2)=-2e2+2=>0,故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)-1<a<0或0<a≤1時(shí),a+2>a2>0,
可得當(dāng)x∈(0,a2)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)x∈(a2,a+2)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)x∈(a+2,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù).
∴當(dāng)x=a2時(shí),函數(shù)有極大值f(a2)=a2[a2-2(a2+a+2)+2(a+2)ln a2]
=a2[-a2-2(a+2)+2(a+2)ln a2],
當(dāng)-1<a<0或0<a≤1時(shí),a2≤1,∴f(a2)<0,
又f(e3)>0,故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知,當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),函數(shù)y=f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
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