5、所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個(gè)問題中，丙所得為( )
A．錢 B．錢
C．錢 D．1錢
解析：選D.因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差?shù)列，設(shè)每人所得依次為a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得為1錢，故選D.
5．《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計(jì)數(shù)共14種計(jì)算方法．某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集
6、整理該14種計(jì)算方法的相關(guān)資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的分配方法種數(shù)是( )
A． B．
C． D．CCC
解析：選A.先將14種計(jì)算方法分為三組，方法有種，再分配給3個(gè)人，方法有×A種．故選A.
6．我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷(ɡuǐ)長(zhǎng)損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度)．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)是( )
A．五寸 B．二尺五
7、寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
解析：選B.設(shè)從夏至到冬至的晷長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長(zhǎng)是25寸．故選B.
7．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2 017·a2 019－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 017 D．－2
8、 017
解析：選A.因?yàn)閍1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1，故選A.
8．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬事萬物深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：
卦名
符號(hào)
表示的二進(jìn)制數(shù)
表示的十進(jìn)制數(shù)
坤
00
9、0
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)為“”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是( )
A．33 B．34
C．36 D．35
解析：選B.由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號(hào)“”表示的二進(jìn)制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B.
9．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L
10、與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為( )
A． B．
C． D．
解析：選A.依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化簡(jiǎn)得π≈.故選A.
10．中國(guó)古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相
11、乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長(zhǎng)為18的矩形，上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為( )
A． B．
C．39 D．
解析：選B.設(shè)下底面的長(zhǎng)為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當(dāng)x＝時(shí)，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B.
11．(多選)(2019·濟(jì)南模擬)如圖是謝賓斯基三角形，在所給的四個(gè)三角形圖案中，黑色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則( )
12、
A．a(chǎn)n＝3n－1
B．a(chǎn)n＝2n－1
C．a(chǎn)4＝27
D．a(chǎn)n－an－1＝2·3n－2(n≥2)
解析：選ACD.黑色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，分別為a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式可以是an＝3n－1.
12．(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)．”則下列說法正確的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了42里路
解析：選ABD.設(shè)此
13、人第n天走an里路，前n天共走Sn里路．由題意可知，{an}是首項(xiàng)為a1，公比q＝的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S6＝＝378，解得a1＝192.
在A中，a2＝192×＝96，故A正確；
在B中，378－192＝186，192－186＝6，故B正確；
在C中，a3＝192×＝48，>，故C錯(cuò)誤；
在D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正確．
13．(多選)中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．定義：圖象能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“
14、太極函數(shù)”，下列命題正確的是( )
A．對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)
B．函數(shù)f(x)＝ln(x2＋)可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”
C．正弦函數(shù)y＝sin x可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”
D．函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形
解析：選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積等分成兩部分，故對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故A正確；
函數(shù)f(x)＝ln(x2＋)的圖象如圖1所示，
故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y＝sin x圖象的對(duì)稱中心上，則正弦函數(shù)y＝sin x是
15、該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)y＝sin x可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”，故C正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則y＝f(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱圖形，如圖2所示，故D錯(cuò)誤．
二、填空題
14.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱．從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形
16、容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計(jì))
解析：表面積最小的球形容器可以看成長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、6的長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π.
答案：41π
15．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為________．
解析：由題意知
17、半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點(diǎn)P在圓x2＋y2＝3上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得得P.
故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.
答案：
16．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為
0．618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝________．
解析：由題設(shè)n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，
＝＝＝＝2.
答案：2
17．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信
18、形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為________．
解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為－1.
答案：26?。?
- 8 -
（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題七 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)（含解析）
