（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題提分教程 高難拉分攻堅特訓（五）理

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1、高難拉分攻堅特訓(五) 1．已知函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象與直線2kx－2y－kπ＝0(k>0)恰有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到大分別為x1，x2，x3，則(x1－x3)tan(x2－2x3)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　記直線2kx－2y－kπ＝0為l，則l必過點.又l與f(x)的圖象均關(guān)于點對稱，所以由題意可知，x1＋x3＝2x2＝π，且l是曲線y＝f(x)的一條切線，(x3，f(x3))是其中一個切點．因為f(x)＝sin2x，所以f′(x)＝2cos2x，所以切線l的斜率k＝2cos2x3＝，即＝1，所以(x1－x3)tan(x

2、2－2x3)＝(π－2x3)tan＝＝－1.故選B. 2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)，若λ(Sn－an)＋λ＋7≥(2－λ)n對任意n∈N*都成立，則實數(shù)λ的最小值為________． 答案　 解析　數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)， 所以Sn＋1－Sn＝2n＋Sn－Sn－1， 故an＋1－an＝2n(n≥2)， 因為a2－a1＝21，所以an＋1－an＝2n(n≥1)， 所以an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a2－a1＝

3、21， 則an－a1＝21＋22＋…＋2n－1， 故an＝1＋21＋…＋2n－1＝＝2n－1， 所以Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2， 所以Sn－an＝2n－n－1， 因為λ(Sn－an)＋λ＋7≥(2－λ)n對任意n∈N*都成立， 所以λ≥max. 設(shè)cn＝，則cn＋1－cn＝－＝， 當n≤4時，cn＋1>cn，當n≥5時，cn＋1

4、M的軌跡方程； (2)若動直線l與圓O：x2＋y2＝相切，且與動點M的軌跡交于點E，F(xiàn)，求△OEF面積的最大值(O為坐標原點)． 解　(1)由題知|MA|＝|MC|，∵|MA|＋|MB|＝4， ∴|MB|＋|MC|＝4>4＝|BC|， ∴M的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，其方程為＋＝1. (2)①當l的斜率存在時．設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， l的方程為y＝kx＋m. 由得，(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， ∴ 可得|EF|＝|x1－x2| ＝， ∵l與圓O相切，∴3m2＝8(1＋k2)， 從而|EF|＝·， 令2k2＋1＝t，得k2＝(t≥1)

5、， ∴|EF|＝· ＝·≤×＝2. 當且僅當t＝2，即k＝±時取等號． ∴(S△OEF)max＝×2× ＝2. ②當l的斜率不存在時．易得l的方程為x＝或x＝－. 此時|EF|＝， ∴S△OEF＝×× ＝<2. 由①②可得，S△OEF的最大值為2. 4．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋＋x(a∈R)． (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若a＝1，f(x)>＋x－1在(1，＋∞)上恒成立，求k的取值范圍． 解　(1)由題可知f′(x)＝－＋1＝(x>0)， ①當a≤0時，此時f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當a>0時，令f′(x)>

6、0，解得x>；令f′(x)<0，解得00恒成立． 令g(x)＝(k－1)ln x＋x－(x>1)， 則g′(x)＝＋1＋＝. 令h(x)＝x2＋(k－1)x＋1， ①當k≥－1時，此時h(x)的對稱軸：x＝－＝≤1， ∴h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 又∵h(1)＝k＋1≥0，∴h(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立． ∴g′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴g(x)>g(1)＝0. ∴k≥－1符合要求． ②當k<－1時，此時h(1)＝k＋1<0， ∴h(x)＝0在(1，＋∞)上有一根，設(shè)為x0， 當x∈(1，x0)時，h(x)<0，即g′(x)<0. ∴g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減． ∴g(x)0在(1，＋∞)上恒成立矛盾． 綜合①②可得，k的取值范圍為[－1，＋∞)． - 4 -