（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的定義、方程與性質練典型習題 提數(shù)學素養(yǎng)（含解析）

《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的定義、方程與性質練典型習題 提數(shù)學素養(yǎng)（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的定義、方程與性質練典型習題 提數(shù)學素養(yǎng)（含解析）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　圓錐曲線的定義、方程與性質 一、選擇題 1．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離為，且離心率為2，則該雙曲線的實軸的長為(　　) A．1　　　　　　　　 B． C．2 D．2 解析：選C.由題意知雙曲線的焦點(c，0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，該雙曲線的實軸的長為2a＝2. 2．若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則△OFP的面積為(　　) A． B．1 C． D．2 解析：選B.設P(x0，y0)，依題意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝4×1，解得y

2、0＝±2，不妨取P(1，2)，則△OFP的面積為×1×2＝1. 3．(2019·高考全國卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A． B． C．2 D．3 解析：選A.不妨設點P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝. 又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝. 4．(2019·昆明模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，B為C的短軸的一個端點，直線BF1與C的另一個交點為A，若△BAF2為等腰三角形，則＝(　　) A． B．

3、 C． D．3 解析：選A.如圖，不妨設點B在y軸的正半軸上，根據(jù)橢圓的定義，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由題意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故選A. 5．(2019·湖南湘東六校聯(lián)考)已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與Γ相交于A，B兩點．若＝3，則k＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：選D.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為＝3，所以y1＝－3y2.因為橢圓Γ的長軸長是短軸長的2倍，所以a＝2b，設b＝t，則

4、a＝2t，故c＝t，所以＋＝1.設直線AB的方程為x＝sy＋t，代入上述橢圓方程，得(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，即－2y2＝－，－3y＝－，得s2＝，k＝，故選D. 6．(多選)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則(　　) A．△ABF是等邊三角形 B．|BF|＝3 C．點F到準線的距離為3 D．拋物線C的方程為y2＝6x 解析：選ACD.因為以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，∠ABD＝90°，由拋物線的

5、定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等邊三角形，所以∠FBD＝30°.因為△ABF的面積為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.又點F到準線的距離為|BF|sin 30°＝3＝p，則該拋物線的方程為y2＝6x. 二、填空題 7．已知P(1，)是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)漸近線上的點，則雙曲線C的離心率是________． 解析：雙曲線C的一條漸近線的方程為y＝x，P(1，)是雙曲線C漸近線上的點，則＝，所以離心率e＝＝＝＝2. 答案：2 8．(2019·高考全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M

6、的坐標為________． 解析：不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據(jù)題意可知c＝＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設M(x，y)， 則得 所以M的坐標為(3，)． 答案：(3，) 9．(2019·湖南師大附中月考改編)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________，拋物線的焦點到雙曲線漸近線的距離為________． 解析：拋物線的焦點坐標為，準線方程為y＝－，準線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得－＝1，解得x＝± .因為△ABF為等邊三角

7、形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.則拋物線焦點坐標為(0，3)，雙曲線漸近線方程為y＝±x，則拋物線的焦點到雙曲線漸近線的距離為＝. 答案：6　 三、解答題 10．(2019·高考天津卷)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4，離心率為. (1)求橢圓的方程； (2)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上，若|ON|＝|OF|(O為原點)，且OP⊥MN，求直線PB的斜率． 解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1. 所以，橢圓的方

8、程為＋＝1. (2)由題意，設P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM，0)．設直線PB的斜率為k(k≠0)， 又B(0，2)，則直線PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0， 可得xp＝－， 代入y＝kx＋2得yp＝， 進而直線OP的斜率為＝. 在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－. 由題意得N(0，－1)，所以直線MN的斜率為－. 由OP⊥MN，得·＝－1，化簡得k2＝，從而k＝±. 所以，直線PB的斜率為或－. 11．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸長為2. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設直線l：y＝kx

9、＋m與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，若kOM·kON＝，求原點O到直線l的距離的取值范圍． 解：(1)由題知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2， 所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依題意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化簡得m2＜4k2＋1，① x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 若kOM·kON＝，則＝，即4y1y2＝5x1x2， 所以4k2x1x2＋

10、4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，所以(4k2－5)·＋4km·(－)＋4m2＝0， 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化簡得m2＋k2＝，② 由①②得0≤m2＜，＜k2≤， 因為原點O到直線l的距離d＝， 所以d2＝＝＝－1＋， 又＜k2≤， 所以0≤d2＜，所以原點O到直線l的距離的取值范圍是. 12．(2019·成都市第二次診斷性檢測)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長為4，離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且F1

11、M∥F2N，直線F1M的斜率為2，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k1＋2k2的值． 解：(1)由題意，得2b＝4，＝. 又a2－c2＝b2，所以a＝3，b＝2，c＝1. 所以橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(－1，0)． 據(jù)題意，直線F1M的方程為y＝2(x＋1)． 記直線F1M與橢圓C的另一個交點為M′.設M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)．因為F1M∥F2N，所以根據(jù)對稱性，得N(－x2，－y2)． 聯(lián)立，消去y，得14x2＋27x＋9＝0. 由題意知x1>x2，所以x1＝－，x2＝－， k1＝＝＝，k2＝＝＝－， 所以3k1＋2k2＝3×＋2×＝0，即3k1＋2k2的值為0. - 6 -