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1、素養(yǎng)提升練(五)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．(2019·天津高考)設(shè)集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，則(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
答案 D
解析 ∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2
2、,3,4}＝{1,2,3,4}．故選D.
2．(2019·昆明一中二模)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z·i＝4－9i，則其共軛復(fù)數(shù)＝( )
A．－9－4i B．－9＋4i
C．9－4i D．9＋4i
答案 B
解析 因?yàn)閦＝＝－9－4i，故＝－9＋4i，故選B.
3．(2019·成都七中三模)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了我國(guó)近10年(2009～2018年)的GDP(GDP是國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的核心指標(biāo)，也是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)總體經(jīng)濟(jì)狀況的重要指標(biāo))增速的情況，并繪制了下面的折線統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)該折線統(tǒng)計(jì)圖，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．這10年中有3年的GDP增速在9.00%以上
3、B．從2010年開(kāi)始GDP的增速逐年下滑
C．這10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增長(zhǎng)
D．2013～2018年GDP的增速相對(duì)于2009～2012年，波動(dòng)性較小
答案 B
解析 由題圖可知，這10年中有3年的GDP增速在9.00%以上，故A正確；2017年相比于2016年GDP的增速上升，故B錯(cuò)誤；這10年GDP增速均超過(guò)6.5%，故C正確；顯然D正確．故選D.
4．(2019·南充高中一模))已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x＋a)2＋y2＝a2相切，則雙曲線的離心率等于( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 雙曲線的漸近線方程為bx±
4、ay＝0，因其與圓相切，故＝a，所以c＝2b，故e＝，故選D.
5．(2019·太原一模)已知函數(shù)f (x)＝xln x＋a在點(diǎn)(1，f (1))處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．1 B．0 C. D．－1
答案 A
解析 函數(shù)f (x)＝xln x＋a，f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，切線方程為y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1.故選A.
6．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 設(shè)5只兔子中
5、測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過(guò)這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為＝.故選B.
7．(2019·內(nèi)江一模)
6、函數(shù)f (x)＝ln (x2＋2)－ex－1的圖象可能是( )
答案 A
解析 當(dāng)x→＋∞時(shí)，f (x)→－∞，故排除D；易知f (x)在R上連續(xù)，故排除B；f (0)＝ln 2－e－1＞0，故排除C，故選A.
8．(2019·重慶八中三模))在如圖的程序框圖中，若n＝2019，則輸出y＝( )
A．0 B. C. D.
答案 C
解析 流程圖的作用是計(jì)算函數(shù)y＝cos的值，其中n≤4，而n的初始值為2019，由程序框圖中的判斷可知，若n＞5，則需要減去5，直至小于5為止，因2019＝2015＋4，故y＝cos＝.故選C.
9．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)若拋物線y2
7、＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意得＝，∴p＝0(舍去)或p＝8.故選D.
10．(2019·成都模擬)若函數(shù)f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)的定義域與值域都是[m，n](m＜n)，則a的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(1，e) D. (1，e)
答案 D
解析 函數(shù)f (x)＝logax的定義域與值域相同等價(jià)于方程logax＝x有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
因?yàn)閘ogax＝
8、x?＝x?ln a＝，所以問(wèn)題等價(jià)于直線y＝ln a與函數(shù)y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．y′＝′＝，則y＝在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，在x＝e處取得極大值.作出函數(shù)y＝的圖象，如圖所示．根據(jù)圖象可知，當(dāng)0＜ln a＜，即1＜a＜e，直線y＝ln a與函數(shù)y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故選D.
11．(2019·懷化一模)已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，P沿著直線l向右、Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ，OP(如圖)，則陰影部分面積S1，S2的大小關(guān)系是( )
A．S1＝S2
B．S1≤S2
C．S1≥S2
9、D．先S1S2
答案 A
解析 ∵直線l與圓O相切，∴OA⊥AP，∴S扇形AOQ＝··r＝··OA，S△AOP＝·OA·AP，∵＝AP，∴S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，∴S1＝S2.故選A.
12．(2019·武漢二中三模)若函數(shù)f (x)＝x－sin2x＋acosx在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[－2,2] B.
C. D.
答案 C
解析 f′(x)＝sin2x－asinx＋，因?yàn)閒 (x)為R上的增函數(shù)，故f′(x)≥0恒成立，即sin2x－asinx＋≥
10、0，若sinx＝0，則a∈R；若sinx＞0，則a≤＋，令t＝sinx，則a≤＋，其中t∈(0,1]，因＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)等號(hào)成立，故a≤.若sinx＜0，則a≥＋，令t＝sinx，則a≥＋，其中t∈[－1,0)，因＋≤－，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－時(shí)等號(hào)成立，故a≥－.綜上，－≤a≤.故選C.
第Ⅱ卷 (選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．(2019·臺(tái)州中學(xué)二模)已知向量a＝(m,1)，b＝(3,3)．若(a－b)⊥b，則實(shí)數(shù)m＝________.
答案 5
解析 因?yàn)?a－b)⊥b，故(a－b)·b＝0，即3m＋3－18＝0，故m＝5.
14．
11、(2019·吉林三模)某煤氣站對(duì)外輸送煤氣時(shí)，用1～5號(hào)五個(gè)閥門控制，且必須遵守以下操作規(guī)則：
(1)若開(kāi)啟3號(hào)，則必須同時(shí)開(kāi)啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)；
(2)若開(kāi)啟2號(hào)或4號(hào)，則關(guān)閉1號(hào)；
(3)禁止同時(shí)關(guān)閉5號(hào)和1號(hào)．
現(xiàn)要開(kāi)啟3號(hào)，則同時(shí)開(kāi)啟的另兩個(gè)閥門是________．
答案 4號(hào)和5號(hào)
解析 由(1)知開(kāi)啟3號(hào)時(shí)，4號(hào)開(kāi)啟，2號(hào)關(guān)閉；由(2)知因?yàn)?號(hào)開(kāi)啟，所以1號(hào)關(guān)閉；由(3)知因?yàn)?號(hào)關(guān)閉，所以5號(hào)開(kāi)啟．
15．(2019·貴陽(yáng)一中二模)關(guān)于圓周率π的近似值，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)很多有創(chuàng)意的求法，其中可以通過(guò)隨機(jī)數(shù)實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的近似值．為此，李老師組織100名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)
12、實(shí)驗(yàn)教學(xué)，要求每位同學(xué)隨機(jī)寫下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，其中0＜x＜1，0＜y＜1，經(jīng)統(tǒng)計(jì)數(shù)字x，y與1可以構(gòu)成鈍角三角形三邊的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)為28個(gè)，由此估計(jì)π的近似值是________(用分?jǐn)?shù)表示)．
答案
解析 實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)落在區(qū)域的頻率為0.28，又設(shè)A表示“實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)滿足且能與1構(gòu)成鈍角三角形”，
則A中對(duì)應(yīng)的基本事件如圖中陰影部分所示．
其面積為－，故P(A)＝－≈0.28，所以π≈.
16．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_(kāi)_______．
答案
13、
解析 如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離．
再過(guò)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝，所以O(shè)E＝OF，
所以CO為∠ACB的平分線，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以O(shè)E＝1，所以PO＝＝
＝.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
(一)必考題：60分．
17．(本小題滿分12分)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)某商場(chǎng)
14、為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：
滿意
不滿意
男顧客
40
10
女顧客
30
20
(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；
(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 (1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為＝0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.
女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為＝0.
15、6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.
(2)K2＝≈4.762.
由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．
18．(本小題滿分12分)(2019·四川遂寧三模)已知函數(shù)f (x)＝cosπx－sinπx在x∈(0,1)上的零點(diǎn)為等差數(shù)列{an}(n∈N*)的首項(xiàng)a1，且數(shù)列{an}的公差d＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)因?yàn)閒 (x)＝cosπx－sinπx＝2cos，
所以，由題意有πx＋＝kπ＋(k∈Z)?x＝k＋(k∈Z)．
由于x∈(0,1
16、)，所以{an}是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
所以an＝n－(n∈N*)．
(2)bn＝n＝n·n，
Tn＝1·1＋2·2＋3·3＋…＋(n－1)·n－1＋n·n，①
Tn＝1·2＋2·3＋3·4＋…＋(n－1)·n＋n·n＋1，②
①－②得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1
＝1－(n＋2)·n＋1，
所以Tn＝2－(n＋2)·n＝2－.
19．(本小題滿分12分)(2019·湖南懷化模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝8，E是棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE.
(1)求證：平面B
17、DE⊥平面PAC；
(2)當(dāng)△BED面積的最小值是4時(shí)，求此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E到底面ABCD的距離．
解 (1)證明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC.
(2)連接OE，由(1)知BD⊥平面PAC，OE?平面PAC，
∴BD⊥OE.
∵BD＝8，
由(S△BDE)min＝BD·OE＝4，得(OE)min＝1.
∴當(dāng)OE⊥PC時(shí)，OE取得最小值1.
此時(shí)CE＝＝＝2
作EH∥PA交AC于H，
∵PA⊥平面ABCD，∴EH⊥平面A
18、BCD，
由EH＝＝，得點(diǎn)E到底面ABCD的距離EH＝.
20．(本小題滿分12分)(2019·長(zhǎng)春二模)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N(4,0)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠ONP＝∠ONQ.證明：動(dòng)直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
解 (1)由題意知c＝.
又因?yàn)椋?，即＋＝1，
解得b2＝1，a2＝4.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，聯(lián)立消去y，得
(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16(4k2－b2＋1
19、)．
設(shè)P(x1，kx1＋b)，Q(x2，kx2＋b)，則
x1＋x2＝－，x1x2＝.
于是kPN＋kQN＝＋
＝.
由∠ONP＝∠ONQ知，kPN＋kQN＝0.
即2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b＝2k·－(4k－b)·－8b＝＋－8b＝0，
得b＝－k，Δ＝16(3k2＋1)＞0.
故動(dòng)直線l的方程為y＝kx－k，過(guò)定點(diǎn)(1,0)．
21．(本小題滿分12分)(2019·石家莊二模)設(shè)函數(shù)g(x)＝te2x＋(t＋2)ex－1，其中t∈R.
(1)當(dāng)t＝－1時(shí)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)若t是非負(fù)實(shí)數(shù)，且函數(shù)f (x)
20、＝g(x)－4ex－x＋1在R上有唯一零點(diǎn)，求t的值．
解 (1)當(dāng)t＝－1時(shí)，g(x)＝－e2x＋ex－1.
由g′(x)＝－2e2x＋ex＝ex(1－2ex)＝0，得x＝－ln 2.
因此g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－ln 2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－ln 2，＋∞)．
極大值是g(－ln 2)＝－，無(wú)極小值．
(2)函數(shù)f (x)＝g(x)－4ex－x＋1＝te2x＋(t－2)ex－x，x∈R.
當(dāng)t＞0時(shí)，由f′(x)＝2te2x＋(t－2)ex－1＝(tex－1)·(2ex＋1)＝0得，x＝－ln t.
f (－ln t)是極小值，所以只要f (－ln t)＝0，即ln
21、 t－＋1＝0.
令F (t)＝ln t－＋1，則F′(t)＝＋＞0，F(xiàn) (t)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)镕 (1)＝0，所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，F(xiàn) (t)＜F (1)＝0；當(dāng)t＞1時(shí)，F(xiàn) (t)＞F (1)＝0.
實(shí)數(shù)t的值是1.
當(dāng)t＝0時(shí)，f (x)＝－2ex－x.
f (x)為R上的減函數(shù)，而f (1)＝－2e－1＜0，
f (－2)＝2－2e－2＞0，
所以f (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
故實(shí)數(shù)t的值是1或0.
(二)選考題：10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22、
(2019·呼和浩特二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為原點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin.
(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P，Q分別在曲線C1，C2上運(yùn)動(dòng)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為2，求實(shí)數(shù)m的值．
解 (1)曲線C1：x＋y－m＋1＝0；曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin＝4(sinθ＋cosθ)，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得C2：(x－2)2＋(y－2)2＝8.
(2)因?yàn)榍€C2的半徑r＝2，若點(diǎn)P，Q
23、分別在曲線C1，C2上運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為2，則圓C2的圓心到直線C1的距離為4，即
＝4，解得m＝－3或m＝13.
23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講]
(2019·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f (x)＝|x－2|＋2.
(1)解不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)；
(2)設(shè)g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，若對(duì)任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(x1)＝f (x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)等價(jià)于|x－2|＋|x－1|＞3，
①當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式即為2x－3＞3，解得x＞3，所以x＞3
24、；
②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不等式即為1＞3，解得x∈?，所以x∈?；
③當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式即為－2x＋3＞3，解得x＜0，所以x＜0；
所以不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)的解集為{x|x＜0或x＞3}．
(2)對(duì)任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(x1)＝f (x2)成立，則{y|y＝g(x)}?{y|y＝f (x)}．
因?yàn)間(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，
當(dāng)且僅當(dāng)(2x－a)(2x＋3)≤0時(shí)取等號(hào)，又f (x)＝|x－2|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2.從而a≥－1或a≤－5，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．
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（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（五）文（含解析）
