(2019高考題 2019模擬題)2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練(五)理(含解析)
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1、素養(yǎng)提升練(五) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分,考試時(shí)間120分鐘. 第Ⅰ卷 (選擇題,共60分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2019·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為A,則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 答案 B 解析 ∵復(fù)數(shù)z===1+i,∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是1-i,就是復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),故選B. 2.(2019·四川省內(nèi)江、眉山等六市二診)
2、已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個(gè)數(shù)為( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A 解析 由A∪C=B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4種情況,故選A. 3.(2019·河北一模)已知棱長(zhǎng)為1的正方體被兩個(gè)平行平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖所示,則剩余部分的表面積為( ) A. B.3+ C. D.2 答案 B 解析 由三視圖可得,該幾何體為如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐D1-ACD和三棱錐B-A1B1C1后的剩余部分.
3、 其表面為六個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形,所以其表面積為6××12+2××()2=3+,故選B. 4.(2019·惠州一中二模)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=(x+1)2+y2的最小值為( ) A. B. C.2 D.4 答案 D 解析 作出可行域,可知當(dāng)x=1,y=0時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=(x+1)2+y2取到最小值,最小值為z=(1+1)2+02=4.故選D. 5.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y=在[-6,6]的圖象大致為( ) 答案 B 解析 ∵y=f(x)=,x∈[-6,6], ∴f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)是奇函
4、數(shù),排除選項(xiàng)C.
當(dāng)x=4時(shí),y==∈(7,8),
排除選項(xiàng)A,D.故選B.
6.(2019·貴陽(yáng)一中二模)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案 A
解析 由圖象可知f(0)=,故sinφ=,因|φ|<,故φ=,又f=0得到ω·+=kπ,k∈Z,故ω=-,k∈Z,因故<ω<,所以ω=2.所以f(x)=sin,令2kπ-<2x+<2kπ+,k∈Z,所以kπ- 5、模)若n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81,則分別在區(qū)間[0,π]和內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,滿足y>sinx的概率為( )
A.1- B.1- C.1- D.
答案 B
解析 由題意知,3n=81,解得n=4,∴0≤x≤π,0≤y≤1.作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示,
則此時(shí)對(duì)應(yīng)的面積S=π×1=π,滿足y≤sinx的點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域的面積為S1=sinxdx=-cosx=-cosπ+cos0=2,則滿足y>sinx的概率為P==1-.故選B.
8.(2019·天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn) 6、log0.50.5=1.因?yàn)閥=0.5x是減函數(shù),所以0.5=0.51 7、價(jià)于a=,x∈[0,π]有且僅有一個(gè)解,即直線y=a與g(x)=,x∈[0,π]的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),設(shè)g(x)=,x∈[0,π],則g′(x)=,
當(dāng)0≤x<時(shí),g′(x)>0,當(dāng) 8、,
F′為雙曲線的左焦點(diǎn),∵AB為圓的直徑,∴∠AFB=90°,根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知,四邊形AFBF′為矩形,
∴S△ABF=S矩形AFBF′=S△FBF′,又S△FBF′==b2=4a2,可得c2=5a2,∴e2=5?e=.故選D.
11.(2019·聊城一模)如圖,圓柱的軸截面為正方形ABCD,E為弧的中點(diǎn),則異面直線AE與BC所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如圖,取BC的中點(diǎn)H,連接EH,AH,∠EHA=90°,
設(shè)AB=2,則BH=HE=1,
AH=,所以AE=,
連接ED,ED=,
因?yàn)锽C∥AD,所以 9、異面直線AE與BC所成角即為∠EAD,
在△EAD中,cos∠EAD==,故選D.
12.(2019·廈門一中模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,直線y=x-2與圓x2+y2=2an+2交于An,Bn(n∈N*)兩點(diǎn),且Sn=|AnBn|2.若a1+2a2+3a3+…+nan<λa+2對(duì)任意n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A.(0,+∞) B.
C.[0,+∞) D.
答案 B
解析 圓心O(0,0)到直線y=x-2,即x-y-2=0的距離d==2,由d2+2=r2,且Sn=|AnBn|2,得22+Sn=2an+2,∴4+Sn=2(Sn-Sn-1)+2,即Sn 10、+2=2(Sn-1+2)且n≥2;
∴{Sn+2}是以a1+2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
由22+Sn=2an+2,取n=1,解得a1=2,
∴Sn+2=(a1+2)·2n-1,則Sn=2n+1-2;
∴an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2n(n≥2),
a1=2適合上式,∴an=2n.
設(shè)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,
2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,
∴-Tn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n 11、)·2n+1-2;
∴Tn=(n-1)·2n+1+2,若a1+2a2+3a3+…+nan<λa+2對(duì)任意n∈N*恒成立,
即(n-1)·2n+1+2<λ(2n)2+2對(duì)任意n∈N*恒成立,即λ>對(duì)任意n∈N*恒成立.
設(shè)bn=,
∵bn+1-bn=-=,
∴b1 12、f(x)>可化為x+2>,解得x>-,
結(jié)合x<0可得- 13、|·||·cos(π-∠ADC)
=||2+||·||·cos∠BAD
=(2)2+2×2×=12.
15.(2019·德州一模)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax,g(x)=4a2ln x+b,設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn)P,且在P點(diǎn)處的切線相同,當(dāng)a∈(0,+∞)時(shí),實(shí)數(shù)b的最大值是________.
答案 2
解析 設(shè)P(x0,y0),f′(x)=2x+2a,g′(x)=.
由題意知,f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即x+2ax0=4a2ln x0+b,?、?
2x0+2a=, ②
解②得,x0=a或x0=-2a(舍去),
代入①得,b= 14、3a2-4a2ln a,a∈(0,+∞),
b′=6a-8aln a-4a=2a(1-4ln a),
當(dāng)a∈(0,e)時(shí),b′>0;當(dāng)a∈(e,+∞)時(shí),b′<0.
∴實(shí)數(shù)b的最大值是b(e)=3-4ln e=2.
16.(2019·安慶二模)過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線分別交于第一、四象限內(nèi)的A,B兩點(diǎn),分別以線段AF,BF的中點(diǎn)為圓心,且均與y軸相切的兩圓的半徑為r1,r2.若r1∶r2=1∶3,則直線l的傾斜角為________.
答案
解析 由題設(shè)有AF∶BF=1∶3,設(shè)AF=x,BF=3x,過A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足分別為D,E,過A作BE的垂線 15、,垂足為S.
則AD=x,BE=3x,故BS=2x,
所以cos∠ABS==,而∠ABS∈,所以∠ABS=,故直線l的傾斜角為.
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:60分.
17.(本小題滿分12分)(2019·安徽黃山二模)已知數(shù)列{an}滿足+++…+=n,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<1.
解 (1)因?yàn)椋絥,①
當(dāng)n=1時(shí),a1=2;
當(dāng)n≥2時(shí) 16、,+++…+=n-1,②
由①-②得,an=n+1,
因?yàn)閍1=2適合上式,所以an=n+1(n∈N*).
(2)證明:由(1)知,bn===-,
Tn=++…+=1-,由>0,即Tn<1.
18.(本小題滿分12分)(2019·浙江高考)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F(xiàn)分別是AC,A1B1的中點(diǎn).
(1)證明:EF⊥BC;
(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.
解 解法一:(1)證明:如圖1,連接A1E.
因?yàn)锳1A=A1C,E是AC的中點(diǎn),所以A1E⊥AC.
17、
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⊥平面ABC,
則A1E⊥BC.又因?yàn)锳1F∥AB,∠ABC=90°,
故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
(2)如圖1,取BC的中點(diǎn)G,連接EG,GF,則四邊形EGFA1是平行四邊形.
由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,
所以平行四邊形EGFA1為矩形.
由(1)得BC⊥平面EGFA1,
則平面A1BC⊥平面EGFA1,
所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.
連接A1G交EF于點(diǎn)O,
則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角 18、(或其補(bǔ)角).不妨設(shè)AC=4,則在Rt△A1EG中,
A1E=2,EG=.
由于O為A1G的中點(diǎn),故EO=OG==,
所以cos∠EOG==.
因此,直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.
解法二:(1)證明:連接A1E.
因?yàn)锳1A=A1C,E是AC的中點(diǎn),所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1,
平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
所以A1E⊥平面ABC.
如圖2,以點(diǎn)E為原點(diǎn),分別以射線EC,EA1為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.
不妨設(shè)AC=4,則A1(0,0,2),B(,1,0),B1(,3,2),F(xiàn) 19、,C(0,2,0).
因此,=,=(-,1,0).
由·=0,得EF⊥BC.
(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.
由(1)可得=(-,1,0),=(0,2,-2).
設(shè)平面A1BC的法向量為n=(x,y,z).
由得
取n=(1, ,1),
故sinθ=|cos〈,n〉|==,
所以cosθ=.
因此,直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.
19.(本小題滿分12分)(2019·衡水三模)某次數(shù)學(xué)知識(shí)比賽中共有6個(gè)不同的題目,每位同學(xué)從中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答,已知這6個(gè)題目中,甲只能正確作答其中的4個(gè),而乙正確作答每個(gè)題目的概率均為,且甲、乙兩位同學(xué)對(duì)每個(gè)題 20、目的作答都是相互獨(dú)立、互不影響的.
(1)求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個(gè)題目的概率;
(2)若甲、乙兩位同學(xué)答對(duì)題目個(gè)數(shù)分別是m,n,由于甲所在班級(jí)少一名學(xué)生參賽,故甲答對(duì)一題得15分,乙答對(duì)一題得10分,求甲、乙兩人得分之和X的期望.
解 (1)由題意可知共答對(duì)3題可以分為3種情況:甲答對(duì)1題乙答對(duì)2題;甲答對(duì)2題乙答對(duì)1題;甲答對(duì)3題乙答對(duì)0題.故所求的概率P=·C2·+·C2+·C3=.
(2)m的所有取值有1,2,3.
P(m=1)==,P(m=2)==,P(m=3)==,故E(m)=1×+2×+3×=2.
由題意可知n~B,故E(n)=3×=2.而X=15m+10n,所 21、以E(X)=15E(m)+10E(n)=50.
20.(本小題滿分12分)(2019·山西太原一模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,A,B是其左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn),且△PF1F2的周長(zhǎng)為6,若△PF1F2面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點(diǎn)F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M,N兩個(gè)不同點(diǎn),證明:直線AM與BN的交點(diǎn)在一條定直線上.
解 (1)由題意得
∴∴橢圓C的方程為+=1.
(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),F(xiàn)2(1,0),
設(shè)直線MN的方程為x=my+1,
M(x1,y1),N(x2,y2),
由得 22、(4+3m2)y2+6my-9=0,
∴y1+y2=-,y1y2=-,
∴my1y2=(y1+y2),
∴直線AM的方程為y=(x+2),直線BN的方程為y=(x-2),
∴(x+2)=(x-2),
∴===3,
∴x=4,∴直線AM與BN的交點(diǎn)在直線x=4上.
21.(本小題滿分12分)(2019·山東濟(jì)南二模)已知函數(shù)f(x)=ax2+1.
(1)若a=1,g(x)=,證明:當(dāng)x≥5時(shí),g(x)<1;
(2)設(shè)h(x)=1-,若函數(shù)h(x)在(0,+∞)上有2個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)證明:當(dāng)a=1時(shí).g(x)==,g′(x)==.
因?yàn)閤≥5,所 23、以g′(x)<0,所以g(x)在[5,+∞)上單調(diào)遞減,
所以g(x)≤g(5)=<<1,即g(x)<1.
(2)解法一:h(x)=1-.
(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí),h(x)>0,h(x)沒有零點(diǎn);
(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),h′(x)=,當(dāng)x∈(0,2)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.
①若h(2)>0,即a<時(shí),h(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn);
②若h(2)=0,即a=時(shí),h(x)在(0,+∞)上只有1個(gè)零點(diǎn);
③若h(2)<0,即a>時(shí),由于h( 24、0)=1,所以h(x)在(0,2)上有1個(gè)零點(diǎn),
由(1)知,當(dāng)x≥5時(shí),ex>x3,因?yàn)?a>e2>5>2,
所以h(4a)=1->1-=1-=>0.
故h(x)在(2,4a)上有1個(gè)零點(diǎn),因此h(x)在(0,+∞)上有2個(gè)不同的零點(diǎn).
綜上,h(x)在(0,+∞)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍是.
解法二:因?yàn)閔(x)=1-,
所以h(x)在(0,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程=在(0,+∞)上根的個(gè)數(shù).
令k(x)=,則k′(x)==,
令k′(x)=0得x=2.
當(dāng)x∈(0,2)時(shí),k′(x)>0,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),k′(x)<0,
所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí),k( 25、x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),k(x)單調(diào)遞減,
所以k(x)在(0,+∞)上的最大值為k(2)=,
由(1)知,當(dāng)x≥5時(shí),ex>x2,即當(dāng)x≥5時(shí),0<<.因?yàn)楫?dāng)x無限增大時(shí),→0,所以當(dāng)x無限增大時(shí),→0,又因?yàn)閗(0)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)0<<時(shí),函數(shù)k(x)在(0,+∞)上的圖象與直線y=恰好有2個(gè)不同的交點(diǎn),即當(dāng)且僅當(dāng)a>時(shí).函數(shù)h(x)在(0,+∞)上有2個(gè)不同的零點(diǎn),故h(x)在(0,+∞)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍是.
(二)選考題:10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
22.(本小題滿分10分)[選修4-4: 26、坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
(2019·山東鄆城三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin+2=0.
(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程;
(2)若N是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值.
解 (1)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin+2=0,即ρsinθ-ρcosθ+4=0.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,
可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-4=0.
將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)α,
得曲線C的普通方程為+y2=1.
(2 27、)設(shè)N(cosα,sinα),α∈[0,2π).
點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,化為直角坐標(biāo)為(-2,2).
則P.
所以點(diǎn)P到直線l的距離d==≤,
所以當(dāng)α=時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為.
23.(本小題滿分10分)[選修4-5:不等式選講]
(2019·山東鄆城三模)已知函數(shù)f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集為{x|-2≤x≤6}.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解 (1)由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4,即
-2≤ax≤6,
當(dāng)a>0時(shí),-≤x≤,所以解得a=1;
當(dāng)a<0時(shí),≤x≤-,所以無解.
所以實(shí)數(shù)a的值為1.
(2)由已知g(x)=f(x)+f(x+3)=|x+1|+|x-2|=
不等式g(x)-tx≤2,即g(x)≤tx+2,
由題意知y=g(x)的圖象有一部分在直線y=tx+2的下方,作出對(duì)應(yīng)的圖象如下圖所示,
由圖得,當(dāng)t<0時(shí),t≤kAM;當(dāng)t>0時(shí),t≥kBM,
又因?yàn)閗AM=-1,kBM=,
所以t≤-1或t≥,
即t∈(-∞,-1]∪.
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