《(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 立體幾何 第3講 立體幾何中的向量方法練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 立體幾何 第3講 立體幾何中的向量方法練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)(含解析)(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 立體幾何中的向量方法
[A組 夯基保分專練]
1.(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點.
(1)求證:AE⊥平面A1BD;
(2)求二面角D-BE-B1的余弦值.
解:(1)證明:因為AB=BC=CA,D是AC的中點,
所以BD⊥AC,
因為AA1⊥平面ABC,
所以平面AA1C1C⊥平面ABC,
所以BD⊥平面AA1C1C,所以BD⊥AE.
又在正方形AA1C1C中,D,E分別是AC,CC1的中點,
所以A1D⊥AE.又A1D∩BD=D,
所以AE⊥平面A1
2、BD.
(2)以DA所在直線為x軸,過D作AC的垂線,以該垂線為y軸,DB所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),E(-1,-1,0),B(0,0,),B1(0,-2,),=(0,0,),=(-1,-1,0),=(0,-2,0),=(1,-1,),
設(shè)平面DBE的法向量為m=(x,y,z),
則,即,
令x=1,則m=(1,-1,0),
設(shè)平面BB1E的法向量為n=(a,b,c),則,即,
令c=,則n=(-3,0,),
設(shè)二面角D-BE-B1的平面角為θ,觀察可知θ為鈍角,
因為cos〈m,n〉==,
所以cos θ=,故二面角D-BE-B1的
3、余弦值為.
2.(2019·成都第一次診斷性檢測)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,∠ABC=,PA⊥平面ABCD,點M是棱PC的中點.
(1)證明:PA∥平面BMD;
(2)當(dāng)PA=時,求直線AM與平面PBC所成角的正弦值.
解:(1)證明:如圖1,連接AC交BD于點O,連接MO.
因為M,O分別為PC,AC的中點,
所以PA∥MO.
因為PA?平面BMD,MO?平面BMD,
所以PA∥平面BMD.
(2)如圖2,取線段BC的中點H,連接AH.
因為四邊形ABCD為菱形,∠ABC=,
所以AH⊥AD.
以A為坐標(biāo)原點,分別以AH,AD
4、,AP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),P(0,0,),M,所以=(,,),=(0,2,0),=(,1,-).
設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),
由得,
取z=1,m=(1,0,1).
設(shè)直線AM與平面PBC所成角為θ,則sin θ=|cos〈m,〉|===.
所以直線AM與平面PBC所成角的正弦值為.
3.(2019·高考天津卷)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求證:BF∥平面ADE;
(2)求直線CE與平面B
5、DE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值為,求線段CF的長.
解:依題意,可以建立以A為原點,分別以,,的方向為x軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h>0),則F(1,2,h).
(1)證明:依題意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又=(0,2,h),可得·=0,又因為直線BF?平面ADE,所以BF∥平面ADE.
(2)依題意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則即不妨
6、令z=1,可得n=(2,2,1).
因此有cos〈,n〉==-.
所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為.
(3)設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則即不妨令y=1,可得m=(1,1,-).
由題意,有|cos〈m,n〉|===,
解得h=,經(jīng)檢驗,符合題意.
所以,線段CF的長為.
4.(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一))如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E為CD的中點,將△ADE沿AE折到△APE的位置.
(1)證明:AE⊥PB;
(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時,求二面角A-PE-C的余弦值.
解:(1)證明
7、:在等腰梯形ABCD中,連接BD,交AE于點O,
因為AB∥CE,AB=CE,所以四邊形ABCE為平行四邊形,
所以AE=BC=AD=DE,所以△ADE為等邊三角形,
所以在等腰梯形ABCD中,∠C=∠ADE=,BD⊥BC,
所以BD⊥AE.
翻折后可得OP⊥AE,OB⊥AE,
又OP?平面POB,OB?平面POB,OP∩OB=O,所以AE⊥平面POB,
因為PB?平面POB,所以AE⊥PB.
(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時,平面PAE⊥平面ABCE.
又平面PAE∩平面ABCE=AE,PO?平面PAE,PO⊥AE,所以O(shè)P⊥平面ABCE.
以O(shè)為坐標(biāo)原點,OE所在
8、的直線為x軸,OB所在的直線為y軸,OP所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得,
P,E,C,所以=,=,設(shè)平面PCE的法向量為n1=(x,y,z),
則,即,設(shè)x=,則y=-1,z=1,所以n1=(,-1,1)為平面PCE的一個法向量,
易知平面PAE的一個法向量為n2=(0,1,0),
cos〈n1,n2〉===-.
由圖知所求二面角A-PE-C為鈍角,所以二面角A-PE-C的余弦值為-.
[B組 大題增分專練]
1.(2019·高考浙江卷)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC
9、,E,F(xiàn)分別是AC,A1B1的中點.
(1)證明:EF⊥BC;
(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.
解:法一:(1)證明:如圖,連接A1E,因為A1A=A1C,E是AC的中點,所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,則A1E⊥BC.
又因為A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
(2)取BC的中點G,連接EG,GF,則EGFA1是平行四邊形.
由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四邊形EGFA
10、1為矩形.
連接A1G交EF于O,由(1)得BC⊥平面EGFA1,則平面A1BC⊥平面EGFA1,
所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.
則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補角).
不妨設(shè)AC=4,則在Rt△A1EG中,A1E=2,EG=.
由于O為A1G的中點,故EO=OG==,
所以cos∠EOG==.
因此,直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.
法二:(1)證明:連接A1E,因為A1A=A1C,E是AC的中點,
所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1,
平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E
11、⊥平面ABC.
如圖,以點E為原點,分別以射線EC,EA1為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.
不妨設(shè)AC=4,則A1(0,0,2),B(,1,0),
B1(,3,2),F(xiàn)(,,2),C(0,2,0).
因此,=,=(-,1,0).
由·=0得EF⊥BC.
(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.
由(1)可得=(-,1,0),=(0,2,-2).
設(shè)平面A1BC的法向量為n=(x,y,z).
由得
取n=(1,,1)故
sin θ=|cos〈,n〉|==.
因此,直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.
2.(2019·濟南市統(tǒng)一模擬考試)如圖,
12、矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=90°,AD=,BE=3,CF=4,EF=2.
(1)求證:AE∥平面DCF;
(2)當(dāng)AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60°?
解:因為平面ABCD⊥平面BEFC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,DC?平面ABCD,且DC⊥BC,所以DC⊥平面BEFC.
以點C為坐標(biāo)原點,分別以CB,CF,CD所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
設(shè)AB=a,則C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(,3,0),F(xiàn)(0,4,0),D(0,0,a).
(1)證明:因
13、為=(0,3,-a),=(,0,0),=(0,4,0),=(0,0,a),
所以·=0,·=0,又CD∩CF=C,
所以CB⊥平面CDF,即為平面CDF的一個法向量.
又·=0,
所以CB⊥AE,又AE?平面CDF,
所以AE∥平面DCF.
(2)設(shè)n=(x,y,z)與平面AEF垂直,
=(0,3,-a),=(-,1,0),
由,得,
取x=1,則n=.
BA⊥平面BEFC,=(0,0,a),
由|cos〈n,〉|===,
得a=.
所以當(dāng)AB=時,二面角A-EF-C的大小為60°.
3.(2019·江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)如圖所示多面體ABCDEF,其底面ABCD為
14、矩形,且AB=2,BC=2,四邊形BDEF為平行四邊形,點F在底面ABCD內(nèi)的投影恰好是BC的中點.
(1)已知G為線段FC的中點,證明:BG∥平面AEF;
(2)若二面角F-BD-C的大小為,求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值.
解:(1)證明:如圖,連接AC交BD于H,連接GH,則GH為△ACF的中位線,
所以GH∥AF.
因為GH?平面AEF,AF?平面AEF,所以GH∥平面AEF.
又BD∥EF,BD?平面AEF,EF?平面AEF,所以BD∥平面AEF.
連接DG,因為BD∩GH=H,BD?平面BDG,GH?平面BDG,所以平面BDG∥平面AEF,
因為BG?平
15、面BDG,所以BG∥平面AEF.
(2)取BC的中點O,AD的中點M,連接OF,OM,則OF⊥平面ABCD,OM⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC,OM,OF所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),所以=(2,2,0).設(shè)OF=a(a>0),則F(0,0,a),所以=(1,0,a).
設(shè)平面BDEF的法向量為n1=(x,y,z),
由,得,
令x=-a,得n1=(-a,a,).
易得平面ABCD的一個法向量為n2=(0,0,1).
因為二面角F-BD-C的大小為,所以|cos〈n1,n2〉|=||==
16、,
解得a=.
設(shè)直線AE與平面BDEF所成的角為θ,因為=+=+=(2,0,0)+=,且n1=,
所以sin θ=|cos〈,n1〉|=||==.
故直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為.
4.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
(1)證明:直線BC∥平面OEF;
(2)在線段DF上是否存在一點M,使得二面角M-OE-D的余弦值是?若不存在,請說明理由;若存在,請求出M點所在的位置.
解:(1)證明:依題意,在平面ADFC中
17、,∠CAO=∠FOD=60°,所以AC∥OF,
又OF?平面OEF,所以AC∥平面OEF.
在平面ABED中,∠BAO=∠EOD=60°,
所以AB∥OE,又OE?平面OEF,所以AB∥平面OEF.
因為AB∩AC=A,AB?平面OEF,AC?平面OEF,AB?平面ABC,AC?平面ABC,所以平面ABC∥平面OEF.
又BC?平面ABC,所以直線BC∥平面OEF.
(2)設(shè)OD的中點為G,如圖,連接GE,GF,由題意可得GE,GD,GF兩兩垂直,以G為坐標(biāo)原點,GE,GD,GF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,易知,O(0,-1,0),E(,0,0),F(xiàn)(0,0,),D(0,1,0).
假設(shè)在線段DF上存在一點M,使得二面角M-OE-D的余弦值是,設(shè)=,λ∈[0,1],則M(0,1-λ,λ),=(0,2-λ,λ).
設(shè)n=(x,y,z)為平面MOE的法向量,
由得,可取x=-λ,則y=λ,z=λ-2,n=(-λ,λ,λ-2).
又平面OED的一個法向量m=(0,0,1),
所以=|cos〈m,n〉|=,
所以(2λ-1)(λ+1)=0,
又λ∈[0,1],所以λ=.
所以存在滿足條件的點M,M為DF的中點.
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