（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時 專題8 立體幾何 第64練 向量法求解空間角 理（含解析）

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1、第64練 向量法求解空間角 [基礎(chǔ)保分練] 1.如圖所示，已知空間四邊形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為________． 2.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為______． 3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC所成的角的余弦值為________． 4．已知正四棱錐S－ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成角的余弦值為________． 5．(2019·無錫模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M

2、，N分別是A1B1，A1C1的中點，則異面直線BM與AN所成角的余弦值為________． 6.如圖，在三棱錐O－ABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D為AB的中點，則OD與平面OBC所成的角為________． 7．平面α的一個法向量為n＝(1，－，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為________． 8．(2019·江蘇鹽城中學(xué)期中)如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則異面直線OA與BC所成的角的余弦值為________． 9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

3、異面直線A1D與CD1所成的角為____________，二面角B－A1C－D的大小為________． 10.如圖，在三棱錐S－ABC中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分別是AB和SC的中點．則直線SM與平面SAC所成角的大小為________． [能力提升練] 1.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側(cè)棱C1C所成角的余弦值是________． 2．已知空間向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且a，b的夾角為，O為空間直角坐標(biāo)系的原點，點A，B滿足＝2a＋b，＝3a－b，則

4、△OAB的面積為________． 3．過正方形ABCD的頂點A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是________． 4.如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點．則異面直線NE與AM所成角的余弦值為________． 5．(2019·江蘇南通中學(xué)月考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于________． 6．已知△ABC是邊長為1的正三角形，PA⊥平面ABC，

5、且PA＝1，若點A關(guān)于直線PC的對稱點為D，則直線AD與BC所成角的余弦值是________． 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．0　2.60°　3.　4.　5. 6．45° 解析　以O(shè)為原點，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)， D， C(0,0,1)， 由題意得OB⊥OA，OA⊥OC， ∴是平面BOC的法向量， 設(shè)OD與平面OBC的夾角為θ，θ∈[0°，90°]， 則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝， ∴θ＝45°， ∴OD與平面OBC的夾角為45°. 7. 解析　y軸

6、的一個方向向量為m＝(0,1,0)， 設(shè)y軸與平面α所成的角為θ， 則sinθ＝|cos〈m，n〉|. ∵cos〈m，n〉＝＝＝－， ∴sinθ＝，∵θ∈，∴θ＝. 8. 解析　因為＝－， 所以·＝·－· ＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120° ＝24－16， 所以cos〈，〉＝ ＝＝. 所以O(shè)A與BC的夾角的余弦值為. 9．60°　60° 解析　以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1， 則A1(1,0,1)，D(0,0

7、,0)，C(0,1,0)， D1(0,0,1)，B(1,1,0)， ＝(－1,0，－1)，＝(0，－1,1)， 設(shè)異面直線A1D與CD1所成的角為θ，θ∈(0°，90°]， 則cosθ＝＝ ＝， ∴θ＝60°， ∴異面直線A1D與CD1所成的角為60°. ＝(1,0,1)，＝(0,1,0)，＝(1，－1,1)，＝(1,0,0)， 設(shè)平面DCA1的法向量n＝(x1，y1，z1)， 則取x1＝1， 得n＝(1,0，－1)， 設(shè)平面BCA1的法向量m＝(x2，y2，z2)， 則 取y2＝1，得m＝(0,1,1)， 設(shè)二面角B－A1C－D的大小為α，α為銳角， 則cos

8、α＝＝＝， ∴α＝60°， ∴二面角B－A1C－D的大小為60°. 10. 解析　因為∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝， 所以以S為坐標(biāo)原點，SA，SB，SC為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)． 設(shè)SA＝SB＝SC＝2， 則M(1,1,0)，B(0,2,0)，N(0,0,1)，A(2，0,0)，C(0,0,2)， 所以＝(1,1,0)， 設(shè)平面SAC的一個法向量為＝(0,2,0)， 則由cos〈，〉＝＝得〈，〉＝， 所以直線SM與平面SAC所成角的大小為－＝. 能力提升練 1.　2. 3．45° 解析　以點A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，

9、y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，易得平面APB的一個法向量為n1＝(0,1,0)，平面PCD的一個法向量為n2＝(0,1,1)， 故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝， 故所求二面角的大小是45°. 4. 解析　如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz. 依題意得 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E， 所以＝， ＝(－1,0,1)， 因為|cos〈，〉|＝ ＝＝. 所以異面直線NE與AM所成角的余弦值

10、為. 5. 解析　設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，過O作OH∥BC交AB于點H，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)． 設(shè)△ABC的邊長為1， 則A，B1， ∴＝， 平面ABC的法向量n＝(0,0,1)， 則AB1與底面ABC所成角α的正弦值 sinα＝|cos〈，n〉|＝＝. 6. 解析　如圖，取AC的中點O，連結(jié)BO，PO， ∵△ABC是邊長為1的正三角形， ∴BO⊥AC， ∵PA⊥平面ABC，BO?平面ABC， ∴BO⊥PA， ∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC， ∴BO⊥平面APC， 如圖，以A為坐標(biāo)原點，AC，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得AD與PC的交點H為PC中點， 則A(0,0,0)，B，C(0,1,0)，H，＝， ＝， cos〈，〉＝＝. 即直線AD與BC所成角的余弦值為. 8