(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第64講 圓的方程練習(xí) 理(含解析)新人教A版
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1、第64講 圓的方程 夯實(shí)基礎(chǔ) 【p146】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程,會(huì)用圓的方程及其幾何性質(zhì)解題. 2.能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?,利用待定系?shù)法求出圓的方程,解決與圓有關(guān)的問(wèn)題. 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1.當(dāng)圓x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面積最大時(shí),圓心坐標(biāo)是( ) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 【解析】因?yàn)閤2+y2+2x+2ky+2k2=0,所以(x+1)2+(y+k)2=1-k2,因此圓面積為(1-k2)π,∴k=0時(shí)圓面積最大,此時(shí)圓心坐標(biāo)為(-1,0). 【答案】B 2.若點(diǎn)(2a,
2、a+1)在以(0,1)為圓心,半徑為的圓內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.D. 【解析】由題意,4a2+a2<5, 即a2<1, 解之得:-1<a<1. 【答案】A 3.方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓,則a的取值范圍是( ) A.a(chǎn)∈RB.a(chǎn)≠1且a∈R C.a(chǎn)≠0且a∈RD.a(chǎn)∈(0,4] 【解析】∵a≠0時(shí),方程為+=,由a2-2a+2>0恒成立,∴a≠0且a∈R時(shí)方程表示圓. 【答案】C 4.圓C是以直線l:(2m+1)x+(m+1)y+2m=0的定點(diǎn)為圓心,半徑r=4的圓,則圓C的方程為( ) A
3、.(x+2)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-2)2=16 C.(x-2)2+(y+2)2=16D.(x+2)2+(y+2)2=16 【解析】由(2m+1)x+(m+1)y+2m=0有(2x+y+2)m+(x+y)=0,所以直線過(guò)定點(diǎn)(-2,2),則所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=16. 【答案】A 5.在平面直角坐標(biāo)系中,三點(diǎn)O(0,0),A(2,4),B(6,2),則三角形OAB的外接圓方程是________. 【解析】設(shè)三角形OAB的外接圓方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由點(diǎn)O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圓上, 可得解得 所以三角
4、形的外接圓的方程為x2+y2-6x-2y=0. 【答案】x2+y2-6x-2y=0 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.圓的定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合,其中定點(diǎn)是圓心,定長(zhǎng)為半徑. 2.圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心是(a,b),半徑是r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__(x-a)2+(y-b)2=r2__. 當(dāng)圓心在(0,0)時(shí),方程為__x2+y2=r2__. (2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為+=____. 故有:①當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程表示以____為圓心,以____為半徑的圓; ②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)____; ③當(dāng)D2+
5、E2-4F<0時(shí),方程不表示任何圖形.
(3)點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系:
①若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,則點(diǎn)P在圓外;
②若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,則點(diǎn)P在圓上;
③若(x0-a)2+(y0-b)2 6、(4,0),(0,2),(0,-2)三點(diǎn),(4,0),(0,-2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y+1=-2(x-2),
令y=0,解得x=,圓心為,半徑為.
【答案】+y2=
根據(jù)下列條件,求圓的方程.
(1)經(jīng)過(guò)P(-2,4)、Q(3,-1)兩點(diǎn),并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6;
(2)圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2).
【解析】(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③
設(shè)x1,x2是方程③的兩根,
由|x1-x2|=6有D2-4F=36,④
由①、②、④解 7、得D=-2,E=-4,F(xiàn)=-8,或D=-6,E=-8,F(xiàn)=0.
故所求圓的方程為
x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.
(2)法一:如圖,設(shè)圓心(x0,-4x0),依題意得=1,
∴x0=1,即圓心坐標(biāo)為(1,-4),半徑r=2,
故圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
法二:設(shè)所求方程為(x-x0)2+
(y-y0)2=r2,
根據(jù)已知條件得
解得
因此所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
【點(diǎn)評(píng)】(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a,b)和 8、半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;
②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組,進(jìn)而求出D、E、F的值.
考點(diǎn)2 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題
已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.
【解析】(1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2.
又|QC|==4>2, 9、即點(diǎn)Q在圓C外,
所以|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)可知表示直線MQ的斜率,
設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,則=k.
由直線MQ與圓C有交點(diǎn),
所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
所以的最大值為2+,最小值為2-.
【點(diǎn)評(píng)】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.
(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類型及解法.①形如u=型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最 10、值問(wèn)題;②形如t=ax+by型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題;③形如(x-a)2+(y-b)2型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問(wèn)題.
考點(diǎn)3 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題
已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求·的最小值;
(3)過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線OP和AB是否平行?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b),
則解得
又點(diǎn)P(1,1)在圓C 11、上,故圓C的方程為x2+y2=2.
(2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
所以·的最小值為-4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得).
(3)由題意知,直線PA和直線PB的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)PA:y-1=k(x-1),
則PB:y-1=-k(x-1),由,
得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0,
因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解,
故可得xA=,
同理,xB=,
所以kAB==
==1=kOP,
所以直線AB和OP一定平行.
【點(diǎn)評(píng)】(1)兩圓關(guān)于 12、某直線對(duì)稱,其圓心對(duì)稱,半徑相等.
(2)通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積,等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.
(3)通過(guò)“設(shè)而不求”的思想處理.
方法總結(jié) 【p147】
1.在求圓的方程時(shí),應(yīng)根據(jù)題意,合理選擇圓的方程形式.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突出了圓心坐標(biāo)和半徑,便于作圖使用;圓的一般方程是二元二次方程的形式,便于代數(shù)運(yùn)算;而圓的參數(shù)方程在求范圍和最值時(shí)應(yīng)用廣泛.同時(shí),在選擇方程形式時(shí),應(yīng)熟悉它們的互化.如果問(wèn)題中給出了圓心與圓上的點(diǎn)兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時(shí),一般用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果給出圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),一般用一般方程.
2.在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒(méi)有xy項(xiàng),只是表示圓的必要條件而不是 13、充分條件.
3.在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要充分利用圓的幾何性質(zhì),這樣會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化.涉及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題或范圍問(wèn)題時(shí)應(yīng)靈活、恰當(dāng)運(yùn)用參數(shù)方程.
走進(jìn)高考 【p148】
1.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.
(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;
(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.
【解析】(1)設(shè)A,B,l:x=my+2,
由可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4.
又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率與OB的斜率之積為·==-1,
所以O(shè)A⊥OB.
故 14、坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m+4=2m2+4.
故圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑r=,
由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),因此·=0,
故+=0,
即x1x2-4+y1y2+2+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為,圓M的方程為+=10.
當(dāng)m=-時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑為,圓M的方程為+=.
2.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且 15、斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
【解析】(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 16、
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則
,解得或
因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
考點(diǎn)集訓(xùn) 【p259】
A組題
1.圓x2+y2-2x+6y+6=0的圓心和半徑分別為( )
A.圓心(1,3),半徑為2B.圓心(1,-3),半徑為2
C.圓心(-1,3),半徑為4D.圓心(1,-3),半徑為4
【解析】將x2+y2-2x+6y+6=0配方得
(x-1)2+(y+3)2=4,
所以圓心為(1,-3),半徑為2.
【答案】B
2.已知兩點(diǎn)A(-1,3),B(3 17、,a),以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(x-1)2+(y-2)2=40
C.(x-1)2+(y-1)2=8D.(x-1)2+(y-1)2=32
【解析】以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則OA⊥OB,
所以×=-1,a=1,
線段AB中點(diǎn)為(1,2),半徑r=|AB|=,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.
【答案】A
3.設(shè)圓的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是( )
A.原點(diǎn)在圓上B.原點(diǎn)在圓外
C.原點(diǎn)在圓內(nèi)D.不確定
【解析】將圓的一般方 18、程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+a)2+(y+1)2=2a,因?yàn)?<a<1,
所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,
即>,所以原點(diǎn)在圓外.
【答案】B
4.已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一點(diǎn),M,N分別為圓C1:(x-4)2+(y-1)2=4與圓C2:x2+(y-2)2=1上的點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值為( )
A.4B.5C.6D.7
【解析】求得C2(0,2)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C(m,n),
由解得C(1,1),
由對(duì)稱性可得|PC|=|PC2|,
則|PC1|-|PC2|=|PC1|-|PC|≤|C1C|=3,
由于|PM|≤|PC1|+2, 19、|PN|≥|PC2|-1,
∴|PM|-|PN|≤|PC1|-|PC2|+3≤6,
故|PM|-|PN|的最大值為6.
【答案】C
5.已知圓O:x2+y2=1.圓O′與圓O關(guān)于直線x+y-2=0對(duì)稱,則圓O′的方程是________________.
【解析】設(shè)圓O′的圓心(a,b),因?yàn)閳AO′的圓心與圓O:x2+y2=1的圓心關(guān)于直線l:x+y-2=0對(duì)稱,
所以解得a=2,b=2;
又圓的半徑為1,則所求圓的方程為:(x-2)2+(y-2)2=1.
【答案】(x-2)2+(y-2)2=1
6.已知點(diǎn)P(x,y)為圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),則x+y的最大值為_______ 20、___.
【解析】令x=2cosθ,y=2sinθ(θ∈R),
則x+y=2cosθ+2sinθ=2sin∈[-2,2].
【答案】2
7.已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上,求a的值;
(2)已知點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)Q(5,3),線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上,
所以(6-5)2+(9-6)2=a2,
又由a>0,可得a=.
(2)由兩點(diǎn)間距離公式可得
|PN|==,
|QN|==3,
因?yàn)榫€段PQ(不含端點(diǎn))與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即P、Q兩點(diǎn)一
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