(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第64講 圓的方程練習(xí) 理(含解析)新人教A版

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1、第64講 圓的方程 夯實(shí)基礎(chǔ) 【p146】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程,會(huì)用圓的方程及其幾何性質(zhì)解題. 2.能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?,利用待定系?shù)法求出圓的方程,解決與圓有關(guān)的問(wèn)題. 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1.當(dāng)圓x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面積最大時(shí),圓心坐標(biāo)是(  ) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 【解析】因?yàn)閤2+y2+2x+2ky+2k2=0,所以(x+1)2+(y+k)2=1-k2,因此圓面積為(1-k2)π,∴k=0時(shí)圓面積最大,此時(shí)圓心坐標(biāo)為(-1,0). 【答案】B 2.若點(diǎn)(2a,

2、a+1)在以(0,1)為圓心,半徑為的圓內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-1,1) B.(0,1) C.D. 【解析】由題意,4a2+a2<5, 即a2<1, 解之得:-1<a<1. 【答案】A 3.方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓,則a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)∈RB.a(chǎn)≠1且a∈R C.a(chǎn)≠0且a∈RD.a(chǎn)∈(0,4] 【解析】∵a≠0時(shí),方程為+=,由a2-2a+2>0恒成立,∴a≠0且a∈R時(shí)方程表示圓. 【答案】C 4.圓C是以直線l:(2m+1)x+(m+1)y+2m=0的定點(diǎn)為圓心,半徑r=4的圓,則圓C的方程為(  ) A

3、.(x+2)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-2)2=16 C.(x-2)2+(y+2)2=16D.(x+2)2+(y+2)2=16 【解析】由(2m+1)x+(m+1)y+2m=0有(2x+y+2)m+(x+y)=0,所以直線過(guò)定點(diǎn)(-2,2),則所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=16. 【答案】A 5.在平面直角坐標(biāo)系中,三點(diǎn)O(0,0),A(2,4),B(6,2),則三角形OAB的外接圓方程是________. 【解析】設(shè)三角形OAB的外接圓方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由點(diǎn)O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圓上, 可得解得 所以三角

4、形的外接圓的方程為x2+y2-6x-2y=0. 【答案】x2+y2-6x-2y=0 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.圓的定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合,其中定點(diǎn)是圓心,定長(zhǎng)為半徑. 2.圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心是(a,b),半徑是r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__(x-a)2+(y-b)2=r2__. 當(dāng)圓心在(0,0)時(shí),方程為__x2+y2=r2__. (2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為+=____. 故有:①當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程表示以____為圓心,以____為半徑的圓; ②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)____; ③當(dāng)D2+

5、E2-4F<0時(shí),方程不表示任何圖形. (3)點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系: ①若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,則點(diǎn)P在圓外; ②若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,則點(diǎn)P在圓上; ③若(x0-a)2+(y0-b)2

6、(4,0),(0,2),(0,-2)三點(diǎn),(4,0),(0,-2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y+1=-2(x-2), 令y=0,解得x=,圓心為,半徑為. 【答案】+y2= 根據(jù)下列條件,求圓的方程. (1)經(jīng)過(guò)P(-2,4)、Q(3,-1)兩點(diǎn),并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6; (2)圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2). 【解析】(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得 又令y=0,得x2+Dx+F=0.③ 設(shè)x1,x2是方程③的兩根, 由|x1-x2|=6有D2-4F=36,④ 由①、②、④解

7、得D=-2,E=-4,F(xiàn)=-8,或D=-6,E=-8,F(xiàn)=0. 故所求圓的方程為 x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0. (2)法一:如圖,設(shè)圓心(x0,-4x0),依題意得=1, ∴x0=1,即圓心坐標(biāo)為(1,-4),半徑r=2, 故圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 法二:設(shè)所求方程為(x-x0)2+ (y-y0)2=r2, 根據(jù)已知條件得 解得 因此所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 【點(diǎn)評(píng)】(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心(a,b)和

8、半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; ②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組,進(jìn)而求出D、E、F的值. 考點(diǎn)2 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題 已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若M(m,n),求的最大值和最小值. 【解析】(1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0, 可得(x-2)2+(y-7)2=8, 所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2. 又|QC|==4>2,

9、即點(diǎn)Q在圓C外, 所以|MQ|max=4+2=6, |MQ|min=4-2=2. (2)可知表示直線MQ的斜率, 設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,則=k. 由直線MQ與圓C有交點(diǎn), 所以≤2, 可得2-≤k≤2+, 所以的最大值為2+,最小值為2-. 【點(diǎn)評(píng)】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. (2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類型及解法.①形如u=型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最

10、值問(wèn)題;②形如t=ax+by型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題;③形如(x-a)2+(y-b)2型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問(wèn)題. 考點(diǎn)3 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題 已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱. (1)求圓C的方程; (2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求·的最小值; (3)過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線OP和AB是否平行?請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b), 則解得 又點(diǎn)P(1,1)在圓C

11、上,故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2, ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 所以·的最小值為-4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得). (3)由題意知,直線PA和直線PB的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)PA:y-1=k(x-1), 則PB:y-1=-k(x-1),由, 得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0, 因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解, 故可得xA=, 同理,xB=, 所以kAB== ==1=kOP, 所以直線AB和OP一定平行. 【點(diǎn)評(píng)】(1)兩圓關(guān)于

12、某直線對(duì)稱,其圓心對(duì)稱,半徑相等. (2)通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積,等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. (3)通過(guò)“設(shè)而不求”的思想處理. 方法總結(jié)  【p147】 1.在求圓的方程時(shí),應(yīng)根據(jù)題意,合理選擇圓的方程形式.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突出了圓心坐標(biāo)和半徑,便于作圖使用;圓的一般方程是二元二次方程的形式,便于代數(shù)運(yùn)算;而圓的參數(shù)方程在求范圍和最值時(shí)應(yīng)用廣泛.同時(shí),在選擇方程形式時(shí),應(yīng)熟悉它們的互化.如果問(wèn)題中給出了圓心與圓上的點(diǎn)兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時(shí),一般用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果給出圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),一般用一般方程. 2.在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒(méi)有xy項(xiàng),只是表示圓的必要條件而不是

13、充分條件. 3.在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要充分利用圓的幾何性質(zhì),這樣會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化.涉及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題或范圍問(wèn)題時(shí)應(yīng)靈活、恰當(dāng)運(yùn)用參數(shù)方程. 走進(jìn)高考  【p148】 1.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 【解析】(1)設(shè)A,B,l:x=my+2, 由可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4. 又x1=,x2=,故x1x2==4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·==-1, 所以O(shè)A⊥OB. 故

14、坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m+4=2m2+4. 故圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑r=, 由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),因此·=0, 故+=0, 即x1x2-4+y1y2+2+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4, 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-. 當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為,圓M的方程為+=10. 當(dāng)m=-時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑為,圓M的方程為+=. 2.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且

15、斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 【解析】(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.

16、 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則 ,解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 考點(diǎn)集訓(xùn)  【p259】 A組題                     1.圓x2+y2-2x+6y+6=0的圓心和半徑分別為(  ) A.圓心(1,3),半徑為2B.圓心(1,-3),半徑為2 C.圓心(-1,3),半徑為4D.圓心(1,-3),半徑為4 【解析】將x2+y2-2x+6y+6=0配方得 (x-1)2+(y+3)2=4, 所以圓心為(1,-3),半徑為2. 【答案】B 2.已知兩點(diǎn)A(-1,3),B(3

17、,a),以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  ) A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(x-1)2+(y-2)2=40 C.(x-1)2+(y-1)2=8D.(x-1)2+(y-1)2=32 【解析】以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則OA⊥OB, 所以×=-1,a=1, 線段AB中點(diǎn)為(1,2),半徑r=|AB|=,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5. 【答案】A 3.設(shè)圓的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是(  ) A.原點(diǎn)在圓上B.原點(diǎn)在圓外 C.原點(diǎn)在圓內(nèi)D.不確定 【解析】將圓的一般方

18、程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+a)2+(y+1)2=2a,因?yàn)?<a<1, 所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0, 即>,所以原點(diǎn)在圓外. 【答案】B 4.已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一點(diǎn),M,N分別為圓C1:(x-4)2+(y-1)2=4與圓C2:x2+(y-2)2=1上的點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值為(  ) A.4B.5C.6D.7 【解析】求得C2(0,2)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C(m,n), 由解得C(1,1), 由對(duì)稱性可得|PC|=|PC2|, 則|PC1|-|PC2|=|PC1|-|PC|≤|C1C|=3, 由于|PM|≤|PC1|+2,

19、|PN|≥|PC2|-1, ∴|PM|-|PN|≤|PC1|-|PC2|+3≤6, 故|PM|-|PN|的最大值為6. 【答案】C 5.已知圓O:x2+y2=1.圓O′與圓O關(guān)于直線x+y-2=0對(duì)稱,則圓O′的方程是________________. 【解析】設(shè)圓O′的圓心(a,b),因?yàn)閳AO′的圓心與圓O:x2+y2=1的圓心關(guān)于直線l:x+y-2=0對(duì)稱, 所以解得a=2,b=2; 又圓的半徑為1,則所求圓的方程為:(x-2)2+(y-2)2=1. 【答案】(x-2)2+(y-2)2=1 6.已知點(diǎn)P(x,y)為圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),則x+y的最大值為_______

20、___. 【解析】令x=2cosθ,y=2sinθ(θ∈R), 則x+y=2cosθ+2sinθ=2sin∈[-2,2]. 【答案】2 7.已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上,求a的值; (2)已知點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)Q(5,3),線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上, 所以(6-5)2+(9-6)2=a2, 又由a>0,可得a=. (2)由兩點(diǎn)間距離公式可得 |PN|==, |QN|==3, 因?yàn)榫€段PQ(不含端點(diǎn))與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即P、Q兩點(diǎn)一

21、個(gè)在圓內(nèi)、另一個(gè)在圓外,由于3<,所以3

22、2)設(shè)切線方程為y=x和x+y=2+a, 則=2和=2, 解得a=±或a=1±2, ∴切線方程為y=±x和x+y=3±2. B組題 1.已知點(diǎn)P(3,2),若點(diǎn)A在圓C:(x-1)2+(y+2)2=4上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng),則|+|的最小值為________. 【解析】法一:設(shè)A(x1,y1),B(0,y2),則+=(x1-6,y1+y2-4). 若設(shè)r=|+|,則由題意可得(x1-6)2+(y1+y2-4)2=r2.即點(diǎn)A在以D(6,4-y2)為圓心,以r為半徑的圓D:(x-6)2+(y+y2-4)2=r2上. 由圓C與圓D有公共點(diǎn)A可得r+2≥|CD|=≥5,從而r≥3.

23、 法二:設(shè)A(x1,y1),B(0,y2),則+=(x1-6,y1+y2-4). 從而,|+|=≥=6-x1≥3. 法三:由點(diǎn)A在圓C上可設(shè)A(1+2cosθ,-2+2sinθ),B(0,t), 則+=(2cosθ-5,t+2sinθ-6). 故|+|=≥=5-2cosθ≥3. 法四:設(shè)Q為AB的中點(diǎn),則+=2,過(guò)P,Q,A作y軸的垂線,垂足分別為P′,Q′,A′. 由于|PP′|≤|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|AA′|≤|PQ|+, 因此|PQ|≥|PP′|-=,即|+|=2||≥3. 法五:設(shè)B′為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn), 則|+|=|-|=||. 由于點(diǎn)B

24、′在直線x=6上,點(diǎn)A在圓C:(x-1)2+(y+2)2=4上可得||≥5-2=3. 法六:同法五,設(shè)A′為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),則|+|=|-′|=||. 由于點(diǎn)A′在圓C′:(x-5)2+(y-6)2=4上,點(diǎn)B在y軸上可得||≥5-2=3. 【答案】3 2.已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為________________. 【解析】因?yàn)閳AC:x2+(y-1)2=1的圓心為C(0,1),半徑是r=1,所以四邊形PACB的面積為S=2S△PAC=|P

25、A|×1=,當(dāng)|PC|最小,即圓心C(0,1)到直線kx+y+4=0的距離d=最小時(shí),四邊形PACB的面積最小,由題設(shè)可得-1=4,由k>0,解之得k=2. 【答案】2 3.已知定點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),C(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足:·=k||2. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明方程表示的曲線類型; (2)當(dāng)k=2時(shí),求|2+|的最大值、最小值. 【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y), 則=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y). 因?yàn)椤ぃ絢||2, 所以x2+y2-1=k[(x-1)2+y2], 整理得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0

26、. 若k=1,則方程為x=1,表示過(guò)點(diǎn)(1,0)且平行于y軸的直線. 若k≠1,則方程為+y2=, 表示以為圓心,以為半徑的圓. (2)最大值為3+,最小值為-3. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,記二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C. (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍; (2)求圓C的方程; (3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b的值無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 【解析】(1)令x=0,得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0,b). 令f(x)=x2+2x+b=0, 由題意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0. (2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y

27、2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程,故D=2,F(xiàn)=b. 令x=0,得y2+Ey+F=0,此方程有一個(gè)根為b, 代入得出E=-b-1. 所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圓C必過(guò)定點(diǎn),證明如下: 假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0不依賴于b),將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程, 并變形為x+y+2x0-y0+b(1-y0)=0,(*) 為使(*)式對(duì)所有滿足b<1(b≠0)的b都成立, 必須有1-y0=0,結(jié)合(*)式得x+y+2x0-y0=0, 解得或 經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)(0,1),(-2,1)均在圓C上,因此圓C過(guò)這兩定點(diǎn). 備課札記 15

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