《壽險精算學(xué)》PPT課件.ppt

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1、壽險精算學(xué),教材,指定教材 王曉軍，壽險精算學(xué)，中國人民大學(xué)出版社，2005。 參考資料 Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.,背景知識,保險的基本概念 精算學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域 壽險精算學(xué)的基本思想 精算師 精算師職業(yè)資格考試,保險的概念,保險的概念 投保人根據(jù)合同約定，向保險人支付保險費(fèi)，保險人對于合同約定的可能發(fā)生事故因其發(fā)生所造成的財產(chǎn)損失承擔(dān)賠償保險金責(zé)任，或者當(dāng)被保險人死亡、傷殘、疾病或者達(dá)到約定年齡、期限時

2、承擔(dān)給付保險金責(zé)任的商業(yè)保險行為。 關(guān)鍵概念 保險合同 可保風(fēng)險,保險合同 保險單，是投保人與保險人約定保險權(quán)利義務(wù)的協(xié)議。,保險分類,人身保險 壽險 健康險 意外險,財產(chǎn)保險 車險 房屋保險 火災(zāi)險 信用險 知識產(chǎn)權(quán)保險,人身保險,人身保險是以人的生命和身體為保險標(biāo)的的保險，保險事故是人的生、老、病、死、殘等。 人身保險是比人壽保險更廣的概念，但目前在保險市場上經(jīng)營人身保險業(yè)務(wù)的保險公司名稱都是人壽保險公司。,保險法規(guī)定,財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)，包括財產(chǎn)損失保險，責(zé)任保險，信用保險等保險業(yè)務(wù) 人身保險業(yè)務(wù)包括人壽保險，健康保險，意外傷害保險等業(yè)務(wù)。 同一保險人不得同時兼營財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)和人身保險業(yè)務(wù)。

3、但是，經(jīng)營財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)的保險公司經(jīng)保險監(jiān)督管理機(jī)構(gòu)核定，可經(jīng)營短期健康保險業(yè)務(wù)和意外傷害保險業(yè)務(wù)。,保險中為什么需要精算，精算是什么？,精算學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域,精算學(xué)概念 以概率論和數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)，與經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)及保險理論相結(jié)合的具有應(yīng)用性和交叉性的學(xué)科。 應(yīng)用領(lǐng)域 保險領(lǐng)域 社會保障領(lǐng)域 投資領(lǐng)域 所有與風(fēng)險評估，控制相關(guān)領(lǐng)域,精算學(xué)是評價風(fēng)險和制定經(jīng)濟(jì)安全方案的方法體系。 風(fēng)險：是一種不確定性，風(fēng)險的發(fā)生可能造成損失，通常風(fēng)險指不確定性不利的一面。（如：書中3面的例子） 保險經(jīng)營的對象是風(fēng)險，所以需要精算學(xué)。,保險中精算的工作,確定保險費(fèi)率 計算準(zhǔn)備金 再保險中分出量和自留量的確定 保險基金

4、的投資運(yùn)營,壽險精算學(xué)基本思想,損失補(bǔ)償思想 不能阻止風(fēng)險發(fā)生，但能將風(fēng)險帶來的損失降低最小 事先防范風(fēng)險 凈均衡思想 自助互助性 大數(shù)定律,保險的基本運(yùn)作,以一年定期壽險為例：自保單生效之日起，如果被保險人在1年之內(nèi)去世，則保險人向保單的受益人給付保單規(guī)定的保險金，否則合同在一年后自動失效。 保單組（除保單當(dāng)事人以外，所有其他條件都一樣的保單構(gòu)成的一個整體）：保險人簽發(fā)了10000份條件相同的保單（封閉型保單組）,保單組中條件： 保險金額100,000 被保險人投保年齡 50 保費(fèi)繳納方式 躉交保費(fèi) 死亡給付假設(shè) 保單年度末進(jìn)行,對保單組 0時刻：保險人指定保費(fèi)（毛保費(fèi)，包括給 付成本，費(fèi)用

5、和利潤） 投保人向保險人繳費(fèi)保費(fèi) 1時刻：保險人將所收到的保費(fèi)中很大一部 分返回給若干出險保單 投保人中少數(shù)出險的得到索賠，賠 付額就是保險額，通常是保費(fèi)的數(shù) 倍，沒出險的得不到任何賠付，推出利息 共同體。,保費(fèi)=？（保險人的工作） 首先，統(tǒng)計調(diào)查，死亡概率0.0043 假設(shè)僅考慮純保費(fèi)，100,000*0.0043=430 保險人：0時刻出售10,000張保單，收入 430*10000=4300，000,保險人：1時刻若預(yù)期死亡率與實(shí)際死亡率 相等，死了10,000*0.0043=43，總 賠付=100,000*43=4300,000=純保 費(fèi)收入 保險公司無利潤也無損失 但實(shí)際上在0時刻，

6、未來1年內(nèi)死亡人數(shù)是一個隨機(jī)變量，實(shí)際死亡人數(shù)43，則保費(fèi)收入給付支出，對保險人的不利偏差，在死亡率風(fēng)險上產(chǎn)生了一個損失。,若實(shí)際死亡人數(shù)給付支 出，保險人獲得承保利潤。 保險人的風(fēng)險：索賠數(shù)超過了保險人的預(yù)期，即隨機(jī)變量的不利偏差。,投保人： 1時刻單個投保人中發(fā)生索賠和未 發(fā)生索賠的投保人之間發(fā)生了轉(zhuǎn) 移支付。 整個保單組由大數(shù)定律幾乎可以 確定收支平衡,保險的基本特性（書6面）,自助互助 保費(fèi)的返還性 大數(shù)定律的保證 保險產(chǎn)品的保障性功能,精算師,精算師 金融、保險、投資和風(fēng)險管理的工程師。 精算師的職責(zé) 保證風(fēng)險經(jīng)營的財務(wù)穩(wěn)健性 對風(fēng)險和損失的預(yù)先評價 對風(fēng)險事件做出預(yù)先的財務(wù)安排,精

7、算管理和控制系統(tǒng),精算師職業(yè)資格考試,精算師執(zhí)業(yè)資格認(rèn)證 考試體系 北美、英國、日本、中國 認(rèn)可標(biāo)準(zhǔn) 1998年，歐共體精算協(xié)會顧問團(tuán)公布了歐洲精算培訓(xùn)核心大綱，以此建立歐洲國家精算師互相資格認(rèn)可 1998年國際師精算協(xié)會通過了國際精算教育指南和培訓(xùn)大綱，要求至少到2005年以后正是會員的資格符合教學(xué)大綱的要求 2000年，北美精算學(xué)會，英國精算學(xué)會對各自的教育大綱進(jìn)行修改，向國際精算師協(xié)會推薦的教育體系靠攏 2000年底，開始中國精算師資格考試，2004年，中國精算師分壽險和非壽險兩個方向考試。,課程結(jié)構(gòu),利息理論基礎(chǔ) 生命表基礎(chǔ) 凈保費(fèi)計算 凈責(zé)任準(zhǔn)備金計算 產(chǎn)品定價 責(zé)任準(zhǔn)備金評估 案例

8、分析,第二部分 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造,第二部分,生命表函數(shù)(3.2節(jié)),參數(shù)壽命分布,有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè),多重?fù)p失模型和多損因表,生命表 理論,3.2節(jié) 生存函數(shù),定義 意義：新生兒能活到 歲的概率。 與分布函數(shù)的關(guān)系： 與密度函數(shù)的關(guān)系： 新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：,剩余壽命,定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。 分布函數(shù) ：,基本函數(shù),剩余壽命的生存函數(shù) ： 特別：,基本函數(shù),：x歲的人至少能活到x+1歲的概率 ：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率 ：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率,整值剩余壽命,定義： 未來存活的完

9、整年數(shù)，簡記 概率函數(shù),剩余壽命的期望與方差,期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值(均值),簡記 剩余壽命的方差,整值剩余壽命的期望與方差,期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值(均值),簡記 整值剩余壽命的方差,死亡效力,定義： 的瞬時死亡率，簡記 死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系,死亡效力,死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系 死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù),有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型,De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825),有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型,Makeham模型(1860) Weibull模型(1939),參數(shù)模型的問題,至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型

10、的擬合效果不令人滿意。 使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差 壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。,生命表起源,生命表的定義 根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表. 生命表的發(fā)展歷史 1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類

11、死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 生命表的特點(diǎn) 構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）,3.1節(jié) 生命表的構(gòu)造,原理 在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率） 常用符號 新生生命組個體數(shù)： 年齡： 極限年齡：,生命表的構(gòu)造(3.1節(jié)),個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)： 個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數(shù)： 特別：n=1時，記作,生命表的構(gòu)造,個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)： 個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數(shù)：,例1：,已知 計算下面各值： （1） （2）20歲的人在

12、5055歲死亡的概率。 （3）該人群平均壽命。,例1答案,生命表實(shí)例（美國全體人口生命表）,3.5節(jié) 生命表的編制,生命表編制的一般方法 實(shí)際同批人生命表 假設(shè)同批人生命表 選擇終極生命表 在人口分析中，可以按性別、地區(qū)、種族等對人口進(jìn)行分類，分別編制反映各類人口死亡規(guī)律的生命表。 保險精算中反映死亡規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)生命表與人口生命表是不同的，因保險只提供給符合健康標(biāo)準(zhǔn)的人。,選擇-終極生命表,選擇-終極生命表構(gòu)造的原因 需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失 選擇-終極生命表的使用,選擇-終極表

13、實(shí)例,3.3節(jié) 有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè),使用背景: 生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況 基本原理:插值法 常用方法 均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),三種假定,均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),三種假定下的生命表函數(shù),例2,已知 分別在三種分?jǐn)?shù)年齡假定下，計算下面各值：,例2答案,例2答案,例2答案,第二部分,生命表函數(shù),參數(shù)壽命分布,有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè),多重?fù)p失

14、模型和多減因表（第四章）,生命表 理論,使用背景,如果被保險人投保壽險且在繳費(fèi)期間死亡，那就意味著他將獲得保險賠付而且不再繳納保險費(fèi)了。就此人而言，保險人遭受到了損失。在前面章節(jié)中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時，各種保險要素的確定。 在實(shí)際中，除了死亡這個損失變量，我們可能還會遇到其它的提前終止繳費(fèi)的損失變量，比如，壽險中，被保險人退保；勞動力計劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會對單一考慮死亡因素時的繳納賠付之間的平衡構(gòu)成影響。多重?fù)p失模型就是在這種背景下產(chǎn)生的。,多損失模型的構(gòu)造,兩變量模型 多種損失模型的實(shí)質(zhì)就是一個兩變量模型。變量一是狀況終止的時間 ，在壽險場合它可以表示為剩余壽

15、命； 變量二是狀況終止的原因 ，這是一個離散隨機(jī)變量，比如在壽險場合，我們可以令 表示死亡， ，表示退保。,相關(guān)函數(shù),聯(lián)合密度函數(shù) 邊際分布函數(shù),事件的概率,多重?fù)p失函數(shù)（一）,由原因j引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率 由原因j引起的損失發(fā)生的概率,多重?fù)p失函數(shù)（二）,的密度函數(shù) 的分布函數(shù),多重?fù)p失函數(shù)（三）,由各種原因引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率 損失不會發(fā)生在時間t之前的概率,多重?fù)p失函數(shù)（四）,x+t時刻由原因j造成的損失效力 x+t時刻由所有原因造成的總損失效力,多重?fù)p失函數(shù)（五）,給定損失時間t，J的條件概率函數(shù),例3,考慮2個損失原因的多重?fù)p失模型，其損失效力分別為： 計算該

16、模型的聯(lián)合、邊際、條件概率密度函數(shù)。 計算,例3答案（一）,例3答案,例3答案,多減因隨機(jī)殘存組定義,考察一組a歲的 個生命，每一個生命的終止（損失）時間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數(shù)確定：,隨機(jī)殘存組函數(shù),：在年齡 x與x+n之間因原因j而離開的成員的期望個數(shù) ：在年齡 x與x+n之間因各種原因而總共離開的成員的期望個數(shù),隨機(jī)殘存組函數(shù),：原先 個a歲成員在x歲時的殘存數(shù)隨機(jī)變量的期望,確定性殘存組的定義,總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數(shù)。則一組 個a歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力 演變 ，則原先 個a歲成員在x歲時的殘存數(shù)為,確定性殘存組函數(shù),：在年齡 x與x

17、+1之間因各種原因而離開的成員數(shù) ：現(xiàn)在x歲，將來因?yàn)樵騤而終結(jié)的個體數(shù),確定性殘存組函數(shù),：因原因j而引起的損失效力 ：各種原因引起的總損失效力,絕對損失率,單重?fù)p失函數(shù)定義 稱為絕對損失率，是指原因j在 的決定過程中不與其它損失原因競爭。它也稱為凈損失率（net probabilities of decrement）或獨(dú)立損失率(independent rate of decrement)。,基本關(guān)系,常數(shù)損失效力假定,假定條件 等價推出,關(guān)系式,均勻分布假定,假定條件 等價推出,關(guān)系式,聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布 可得,利用上面的關(guān)系可以推導(dǎo)多減因表的減因概率與聯(lián)合單減因表的減因概率

18、的關(guān)系。（見書79面） 如果具備直接計算多減因表每個減因概率的數(shù)據(jù)資料，可以直接編制多減因表，如果直接編制所需的資料缺乏時，可以通過聯(lián)合單減因表，用上面給出的關(guān)系式求出多減因概率。,壽險精算學(xué)（三） 壽險產(chǎn)品介紹,內(nèi)容,傳統(tǒng)個人壽險和年金產(chǎn)品,1,投資類保險產(chǎn)品,2,附加保險,3,團(tuán)體保險,4,傳統(tǒng)壽險和年金產(chǎn)品,人身險,定期壽險,意外險,終身壽險,兩全保險,健康保險,生存年金,投資類保險產(chǎn)品,分紅產(chǎn)品,投連產(chǎn)品,萬能產(chǎn)品,常見附加險產(chǎn)品,團(tuán)體保險概念,團(tuán)體：5人以上,用一張保單 對一團(tuán)體的人提供保障,同一險種,團(tuán)體保險,團(tuán)體保險特點(diǎn),管理方式和費(fèi)用不同,團(tuán)險種類,第六章 凈保費(fèi),人壽保險的分

19、類,受益金額是否恒定 定額受益保險 變額受益保險 保單簽約日和保障期期始日是否同時進(jìn)行 非延期保險 延期保險,保障標(biāo)的不同 人壽保險（狹義） 生存保險 兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險,純保費(fèi)厘定的基本假定,三個基本假定條件: 同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。 被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。 保險公司可以預(yù)測將來的最低平穩(wěn)收益（即預(yù)定利率）。,凈保費(fèi)厘定原理,原則 保費(fèi)凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時值等于支出期望

20、現(xiàn)時值,基本符號, 投保年齡。 人的極限年齡 保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值,死亡即刻賠付,死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。,死亡年末賠付,死亡即刻賠付的含義 如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險公司將在死亡發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。,由于賠付時刻都發(fā)生在

21、事件發(fā)生的當(dāng)年年末，死亡年末時刻是一個離散隨機(jī)變量，它距離保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉交保費(fèi)時通常先假定的理賠方式。,主要險種的躉繳凈保費(fèi)的厘定,n年期定期壽險 終身壽險 延期m年的終身壽險 n年期生存保險 n年期兩全保險 延期m年的n年期的兩全保險 遞增終身壽險 遞減n年定期壽險,基本函數(shù)關(guān)系 記k為被保險人整值剩余壽命，則,n年期定期壽險 死亡年末賠付,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差,公式 記 等價方差為,終身壽險 死亡年末賠付,符號： a.定義：從投保開始到

22、終身的死亡保險 b.假定：（x）的人x歲投保，一單位元死亡末賠付 c.基本函數(shù)關(guān)系：記k為被保險人的整值剩余壽命,d. 精算現(xiàn)值（純保費(fèi)厘定） e.方差： VarZ=,f.關(guān)系式： 上式左邊：x歲的 個人投保終身壽險的躉繳凈保費(fèi) 上式右邊：x歲到生命表最大年齡w-1歲上所有死亡年末1單位元賠付支出的,延期m年的n年定期壽險,a.假定：（x）的人x歲投保，從x+m年到x+m+n止，死亡賠付1單位元 b.基本函數(shù)關(guān)系：記k為被保險人的整值剩余壽命 符號：,d. 精算現(xiàn)值（純保費(fèi)厘定） 證：,延期m年的終身壽險,a.假定：（x）的人x歲投保，從x+n年到被保險人終身止，死亡賠付1單位元 b.基本函數(shù)

23、關(guān)系：記k為被保險人的整值剩余壽命,c.符號 d.精算現(xiàn)值（純保費(fèi)厘定） e.關(guān)系式：,n年期的兩全保險,a.定義：定期壽險+純生存保險 純生存保險：n年滿期被保險人仍然存活為給付條件的保險 現(xiàn)值r.v. 則兩全保險的現(xiàn)值r.v.,b.精算現(xiàn)值：,延期m年的n年期兩全保險,標(biāo)準(zhǔn)變額壽險,定義：保險契約規(guī)定的賠付額隨死亡時間的變動而不同。 賠付額： or 符號： 標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險的精算現(xiàn)值 標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年定期壽險精算現(xiàn)值 標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年兩全保險精算現(xiàn)值 標(biāo)準(zhǔn)遞減的n年定期壽險精算現(xiàn)值,標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險 相當(dāng)于每年買一個終身壽險的精算現(xiàn)值,2.標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年定期壽險 相當(dāng)于每年買一個終身壽險,

24、意義：0-n年每年買一個終身壽險的精算現(xiàn)值-n個在第n年買的終身壽險的精算現(xiàn)值,3 標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年兩全保險 4標(biāo)準(zhǔn)遞減的n年定期壽險,一般變額壽險(終身壽險) 現(xiàn)金隨機(jī)變量: 精算現(xiàn)值:,死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納,常用計算基數(shù),計算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡化計算 常用基數(shù)：,用計算基數(shù)表示常見險種的躉繳純保費(fèi),例: (x):35歲，保險金額5000元，25年定期壽險，求保單的躉繳純保費(fèi)，i=6%。,例：（x）:35歲，買離散型保額5000元的30年兩全保險，求該保單的躉繳純保費(fèi)，i=6%。,例（x）：30歲，買離散型的遞增30年定期保險，保險利益為：第1年內(nèi)死亡，給付1000元，第二年內(nèi)死亡，

25、給付1100元，第三年內(nèi)死亡，給付1200，.在第30個保單 年度內(nèi)死亡，給付3900元，求躉繳保費(fèi)。,例（x）：30歲，買離散型的遞減20年定期保險，保險利益為：第1年內(nèi)死亡，給付5000元，第二年內(nèi)死亡，給付4900元，第三年內(nèi)死亡，給付4800，.在第20個保單 年度內(nèi)死亡，給付3100元，求躉繳保費(fèi)。,例6.1 某人在40歲時投保了3年期10000元定期壽險，保險金在死亡年末賠付，根據(jù)中國人壽保險業(yè)生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%計算躉繳凈保費(fèi)。,例6.2 某人在40歲時買了保險額為20000元的終身壽險，假設(shè)他的生存函數(shù)可以表示為 死亡賠付在死亡年末，i=10%，求

26、這一保單的精算現(xiàn)值。,1、n年定期壽險,定義 保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。 假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險 基本函數(shù)關(guān)系,6.1.2節(jié) 死亡時刻賠付,符號： 厘定：,方差公式 記 （相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費(fèi)） 所以方差等價為,終身壽險,符號：,兩全保險,符號： 精算現(xiàn)值：,如何利用生命表計算死亡時刻的壽險現(xiàn)值？以終身壽險為例,死亡時刻賠付躉繳凈保費(fèi)的厘定,死亡均勻分布假設(shè)下,分析： 有何解釋？,假設(shè)死亡發(fā)生在每個年齡的中間 平均來說這種賠付比在年末賠付早半年，,則在復(fù)利假設(shè)下,復(fù)利： 類似的在單利假設(shè)

27、下,對定期壽險和兩全保險也有類似的近似計算：,例6.3:某人在30歲時投保了50000元30年兩全保險,預(yù)定利率為6%,根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990-1993)求躉繳凈保費(fèi).,例6.4:在例6.3中,如果契約規(guī)定在投保前10年死亡賠付50000元,后20年死亡賠付30000元,滿期存活給付20000元,求躉繳凈保費(fèi),4變額年金 （1）死亡時賠付的標(biāo)準(zhǔn)遞增變額年金 ：t時刻的賠付額 ：死亡時賠付的終身遞增壽險精算現(xiàn)值,（2）賠付額連續(xù)遞增死亡時賠付,5 賠付發(fā)生在單位時間的等分點(diǎn)處（以終身壽險為例） ：把死亡發(fā)生年劃分成m個相等的部分，死亡給付在死亡發(fā)生的那部分期末進(jìn)行的終身壽險精算現(xiàn)

28、值。 現(xiàn)值隨機(jī)變量： ，其中 為（x）在死亡年所活過的分?jǐn)?shù)年部分，K為整值余壽,另外,例：（死亡時賠付的延遲終身壽險）保險金額為1單位的延期5年的終身壽險，(x)歲的人的死亡力 ，利息力 ，Z為現(xiàn)值隨機(jī)變量，求,練習(xí)：1 （x）:40歲的人，投保標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)型的遞減的10年定期保險；i=6%，保險利益如下圖，求死力均勻分布下的躉交純保費(fèi)。,例：(x)的未來壽命T=T(x)的密度函數(shù) 利息力為 ，給付1個單位保額的終身壽險的現(xiàn)值變量為Z，計算（1）躉交純保費(fèi) （2）Z的方差 （3）求 的分位數(shù),躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式一： 證明：,理解(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的

29、情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式二： 解釋： 直觀意義： 可以分解為在x+1歲上為x歲上投保的人準(zhǔn)備 的現(xiàn)值和為在xx+1歲上死亡的被保險人準(zhǔn)備另外的 現(xiàn)值之和。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式三： 解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險人提供額外的 。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式四： 解釋 (y)的躉繳純保費(fèi)等于其未來所有年份的保險成本的現(xiàn)時值之和。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式五：連續(xù)型終身壽險躉交純保費(fèi)的微分方程,證明： 其中 ， 而 隨機(jī)變量T(x)

30、在 條件下的條件密度函數(shù)為：,則 故,上式中令 綜上,第6.2節(jié) 生存年金的精算現(xiàn)值,生存年金的定義： 以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型 分類 初付年金/延付年金 連續(xù)年金/離散年金 定期年金/終身年金 非延期年金/延期年金,生存年金與確定性年金的關(guān)系,確定性年金 支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金） 生存年金與確定性年金的聯(lián)系 都是間隔一段時間支付一次的系列付款 生存年金與確定性年金的區(qū)別 確定性年金的支付期數(shù)確定 生存年金的支付期數(shù)不確定（以被保險人生存為條件）,生存年金的用途,被保險人保費(fèi)交付常使用生存年金的方式 某些場合保險人保險理

31、賠的保險金采用生存年金的方式，特別在： 養(yǎng)老保險 傷殘保險 撫恤保險 失業(yè)保險,6.2.1節(jié) 純粹的生存保險,定義：現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。 也就是我們在第三章講到的n年期純生存保險。單位元數(shù)的n年期生存保險的躉繳純保費(fèi)為 在生存年金研究中習(xí)慣用 表示該保險的精算現(xiàn)值,1 經(jīng)濟(jì)解釋： 該式說明為了保證n年末每個存活的人能得到1元，在x歲投保時必須每人繳費(fèi) 。,例如：（x）:20歲，存活到60歲將得到1000元，i=6% 可理解為 ,每人繳 ，年后形成資金 ，在歲之間死的106321人在滿期時沒有支付，死者的繳付費(fèi)用由生存者分享，這種情況稱為生存者利益

32、，或生者利。,：利率和生存者利益下n年的積累系數(shù) 其中 是利息積累因子， 是生存積累因子。,3 證明： 表明(x)的n年折現(xiàn)系數(shù)可以分為先折現(xiàn)到x+t歲再折現(xiàn)到x歲兩步完成。,4 證明：從上式直接得到 表明：在利率和生存者利下，先從x+t折現(xiàn)到x歲再累積到x+n歲，等于x+t歲直接累積到x+n歲。,6.2.2節(jié) 生存年金的精算現(xiàn)值,現(xiàn)時值支付法計算步驟 Step1:求出時刻t時給付年金的數(shù)額 Step2:確定時刻t 給付數(shù)額的精算現(xiàn)值 Step3：對給付年金的精算現(xiàn)值按所有可能的給付時間進(jìn)行相加或積分,總額支付法計算步驟 Step1:求出從開始支付至死亡或停止支付這段時間t內(nèi)所有年金給付額的現(xiàn)

33、值，這一現(xiàn)值只與利率有關(guān) Step2:將求出的現(xiàn)值乘以相應(yīng)的死亡概率或概率密度 Step3：對第二部得到的結(jié)果按所有可能的死亡時間t進(jìn)行相加或積分,終身生存年金,a.定義：支付期沒有限制，只要被保險人存活，每隔一定時期發(fā)生一次支付。 b.符號： -(x)的每年1單位元首付終身生存年金 -(x)的每年1單位元末付終身生存年金,c.精算現(xiàn)值： 可證明,d.類似地期末付終身生存年金的精算現(xiàn)值,定期生存年金,e 與 的關(guān)系： 證明： 表明：年齡為(x)的生存者在利率為i下只要繳納1元即可享受期初付d元的終身生存年金，一旦死亡還可在死亡的年度末獲得1元的死亡收益金。,定期生存年金,符號 -(x)的每年1

34、單位元n年定期期首付生存年金的精算現(xiàn)值。 符號 -(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金的精算現(xiàn)值。,期首付現(xiàn)值隨機(jī)變量 期首付精算現(xiàn)值 類似地,與 的關(guān)系：,延期生存年金 定義：n年延期生存年金是從計算時點(diǎn)起延遲n年開始收付的生存年金。 -(x)的n年延期每年1單位元首付終身生存年金的精算現(xiàn)值 -(x)的n年延期每年1單位元末付終身生存年金,精算現(xiàn)值 關(guān)系式,類似的有,延期定期生存年金,-(x)的n年延期m年定期每年1單位元首付生存年金的精算現(xiàn)值，是從x+n到x+n+m的生存年金。 -(x)的n年延期m年定期每年1單位元末付生存年金,現(xiàn)值隨機(jī)變量 精算現(xiàn)值,常見險種的生存年金現(xiàn)值總結(jié),常

35、見險種的生存年金現(xiàn)值總結(jié),等額年金計算基數(shù)公式,例6.6（116面）對于(30)的從60歲起每年6000元的生存年金，預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),例6.7（116面）假設(shè)30歲開始購買從60歲起的生存年金保險，契約規(guī)定，在被保險人6069歲時每年的給付額為6000元，7079歲時每年的給付額為7000元，80歲以后每年給付額為8000元，在預(yù)定利率為6%下，根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),例6.8（117面）某30歲的人投保養(yǎng)老年金保險，保險契約規(guī)定，如果被保險人存活到60歲，則確定給付10年年金；

36、若被保險人在6069歲間死亡，有其知指定的收益人繼續(xù)領(lǐng)取，直到領(lǐng)滿10年為止；如果被保險人在70歲仍然存活，則從70歲起一生存為條件得到年金。如果年金每年支付一次，一次支付6000元，預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),例6.9（117面）某人在30歲時購買了從60歲起每年給付10000元的生存年金，以后每年給付額以4%的比例增長，在利率4%時，根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),練習(xí),已知 假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，求：該生存年金在90歲的凈保費(fèi),解：,連續(xù)生存年金,定義：以生存為條件的連續(xù)支

37、付年金。 實(shí)際中得年金都是離散年金，當(dāng)支付間隔足夠短時，可以用連續(xù)年金近似。,終身生存年金,符號： 現(xiàn)值隨機(jī)變量,c.精算現(xiàn)值,d.關(guān)系式 (i) (ii) 證明：,（iii）,定期生存年金,a.符號： b現(xiàn)值隨機(jī)變量 c.精算現(xiàn)值,延期生存年金,a.符號： b現(xiàn)值隨機(jī)變量,c.精算現(xiàn)值 d.關(guān)系式,延期定期生存年金,a.符號： b現(xiàn)值隨機(jī)變量,c.精算現(xiàn)值 d.關(guān)系式,例：設(shè)死亡力 ，利息力 ，求（1）終身生存年金的精算現(xiàn)值 ，（2）終身生存年金現(xiàn)值 的標(biāo)準(zhǔn)差，（3）,年付次生存年金的精算現(xiàn)值,1符號 ：（x）的每年給付1元，一年給付m此的期首付終身生存年金 2.現(xiàn)值,3.計算 無法從生命表

38、直接獲得，只能做近似計算。,在死亡均勻分布假設(shè)下 則 令 則,很小時,同理可推導(dǎo)如下關(guān)系式 (x)的n年延期每年單位元，1年m次收付的期首期末付終身生存年金 (x)的n年定期1年m次收付的期首期末付生存年金,例6.10.(30)買得從60歲起每年6000元的生存年金，每月支付一次，求躉交凈保費(fèi)的近似值。（在死亡力均勻分布假設(shè)）,例：（x）：30歲，60歲起每月支付500元的生存年金，在60前死亡，在死亡末給付1000元，求躉交 凈保費(fèi)。,練習(xí)：(x):45歲，每月領(lǐng)取800元的期初付25年定期生存年金的精算現(xiàn)值（i=6%）在死亡均勻分布條件下的近似值。 練習(xí)：i=6%,在死亡均勻分布假設(shè)條件下

39、，計算60歲起退休者每月領(lǐng)取1000元的期初終身生存年金的精算現(xiàn)值。,變額生存年金,一般變額生存年金 ：(x)的n年定期生存年金。 若一年給付m次，期首付 若一年給付m次，期末付,等差遞增生存年金 終身首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金 終身末付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金 期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞增年金 期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞增年金,等差遞減生存年金,期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞減年金 期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞減年金,比例變額生存年金,定義：首付額等比例遞增，如某些給付確定型養(yǎng)老金計劃和社會養(yǎng)老保險，期給付額在一個基礎(chǔ)水平上按一個規(guī)定的比例增長，這個規(guī)定的比例有時是價格指數(shù)或社會平均工資增長指數(shù)。,(x)的n年定期期首付生存年金,生存年金的遞

40、推公式,上式簡單變形可得到：,6.3 均衡凈保費(fèi),純保費(fèi)計算的歷史發(fā)展 自然保費(fèi)：根據(jù)被保險人的出險概率和保險金額計算保費(fèi) 均衡純保費(fèi)：把自然保費(fèi)在長期內(nèi)均衡，平均化，在保費(fèi)繳付期內(nèi)每隔一定時期繳付相等 數(shù)額的保險費(fèi),凈均衡計算原理 平衡原理：以預(yù)定年利率和預(yù)定死亡率為基礎(chǔ)，根據(jù)未來給付保險金額，使得未來給付保險金額現(xiàn)值的期望值等于繳納保費(fèi)的精算現(xiàn)值。 由該原理，均衡保費(fèi)的交付以被保險人存活為條件，實(shí)際上是個生存年金，設(shè)保險金的現(xiàn)值為A，每次凈保費(fèi)為P，每次一單位元的純生存年金為 ，則,幾類壽險的年繳保費(fèi),終身壽險的年繳凈保費(fèi) (x)的死亡年末賠付1單位元的終身壽險，保費(fèi)每年1次終身繳付，年繳

41、付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的終身壽險，保費(fèi)每年1次終身繳付，年繳付額記為,(x)的死亡年末賠付1單位元的終身壽險，保費(fèi)每年1次n年繳清，年繳付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的終身壽險，保費(fèi)每年1次n年繳清，年繳付額記為,定期壽險年繳凈保費(fèi) (x)的死亡年末賠付1單位元的n年定期壽險，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的n年定期壽險，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,兩全保險年繳凈保費(fèi) (x)的死亡年末賠付1單位元的n年兩全保險，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的n年兩全保險，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,延

42、期年金年繳凈保費(fèi) （x）的n年延期期首付生存年金，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,例1：設(shè) ，其中 ，求,例：（x）:30歲簽發(fā)了一份死亡年末賠付終身壽險，保險金額為20000元，求： （1）普通終身壽險的年繳純保費(fèi) （2）20年限期繳費(fèi)終身壽險的年繳純保費(fèi) （3）65歲繳清終身壽險的年繳純保費(fèi),練習(xí)：設(shè)年齡為25歲的人，買15年定期壽險，保險金額為1000元，求年繳純保費(fèi)。 練習(xí)：（x）:25歲，購買保險金額為1000元的半連續(xù)式壽險保單，i=6%，計算（1）普通終身壽險，（2）35歲定期壽險，（3）35年兩全保險，（4）35年限期繳費(fèi)終身壽險。,例6.13 證明 證： 經(jīng)濟(jì)含義：(x)

43、歲時的1元等于從x歲開始每年初的終身生存年金，也等于(x)存活年每年初1元預(yù)付利息d和(x)死亡年年末的1元給付現(xiàn)值之和。（x）死亡年末的1元給付又等于每年初 的生存年金，這樣，在每年初的 等于每年初的 。,（2） 代入(1)即得。 經(jīng)濟(jì)含義：假設(shè)一個x歲的人借了躉交凈保費(fèi) 購買1元終身壽險，若在他的有生之年每年初還 ，在死亡年末從1元保險金中歸還 ，則正好還清 。這相當(dāng)于對(x)每年繳 的保費(fèi)獲得在死亡年末的 的保險金，因此1元保險金的每年保費(fèi)為 即,常見險種的完全離散凈均衡保費(fèi)總結(jié),完全連續(xù)年繳凈均衡保費(fèi)的厘定 （以終身人壽保險為例）,條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人

44、從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)） 厘定過程：,常見險種的完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié),6.3.5節(jié) 一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi),符號 一年m次繳費(fèi)各類壽險年繳凈保費(fèi) 見表6-1（130面），將前面各種一年1次繳費(fèi)壽險的年繳凈保費(fèi)公式中的 改為,延期生存年金的均衡保費(fèi) 年金支付在期首的終身生存年金，延期n年，年金現(xiàn)值 支付方式：n年繳清，每年m次（繳費(fèi)不延期） 則,年金支付在期末的終身生存年金，延期n年，年金現(xiàn)值 支付方式：n年繳清，每年m次（繳費(fèi)不延期） 則,的分析 一年分m次繳費(fèi)，平均繳費(fèi)時間晚于年初繳費(fèi)，使保險人得到保費(fèi)利息減少；一年分m次繳費(fèi)，被保險人死后一年內(nèi)其他時間不再繳費(fèi)

45、，平均來說少于年初繳付方式下的保費(fèi)，綜上為得到相同的保險金額，應(yīng)有,例：(50)買了一份保險金額為10000元的20年普通兩全壽險的保單，每年真是繳付保費(fèi)兩次，i=6%, 在死亡均勻分布假設(shè)下計算全離散和半連續(xù)方式下的年繳純保費(fèi)。,例2.（40）簽發(fā)一張保險金額為5000元的全離散式25年的定期壽險，在死亡均勻分布假設(shè)下計算（1）普通年繳純保費(fèi)；（2）季繳純保費(fèi); (3)月繳純保費(fèi),例3. (20)歲的人，購買保險金額為50000元的保單，i=6%，在死亡均勻分布假設(shè)下計算（1）全離散式普通終身壽險，（2）半連續(xù)式65歲繳清的終身壽險，（3）全離散式65歲滿清的普通兩全保險的月繳純保費(fèi),6.3

46、.6節(jié) 比例凈保費(fèi),定義：對一定時期繳付一次保費(fèi)的期繳保費(fèi)保單，投保人會認(rèn)為期初的繳費(fèi)應(yīng)該為接下來的一期提供擔(dān)保，如果在期初繳費(fèi)后不久被保險人出險，保險人不僅應(yīng)按保險合同實(shí)施賠付，還應(yīng)該按比例退還從出險到下次預(yù)計繳費(fèi)期間的保費(fèi)部分。實(shí)踐中有的保單規(guī)定在保險賠付時退還從死亡到下次預(yù)計繳費(fèi)期間的凈保費(fèi)。,如一年 兩次保費(fèi)的比例凈保費(fèi),符號：（以終身壽險為例） （x）的比例保費(fèi)方式的終身繳付的1元死亡年末賠付終身壽險的保費(fèi) ：年繳保費(fèi)，每次繳付,比例保費(fèi)的估計 保費(fèi)的退還是在死亡年末，一年分為了m個等份，在1個小等份內(nèi)，用X表示某個等分區(qū)間內(nèi)的死亡時間，它在 上均勻分布，在一個小區(qū)間的左端點(diǎn)交了保費(fèi)

47、 ，則在死亡年末應(yīng)退還 的保費(fèi)。則死亡年末退還的平均保費(fèi)為：,則死亡賠付同時退還 的現(xiàn)值為 退還發(fā)生在年末，同死亡賠付一起進(jìn)行，就相當(dāng)于賠付額為 的終身壽險。,比例期初年金：是在被保險人死亡時退還從死亡到下次預(yù)計年金收付期間的部分收付的年金 上式左邊是每年支付m次，一年支付總額為1單位元期首付n年定期年金現(xiàn)值，右邊是n年連續(xù)支付年支付額為,記 ：（x）的每年1單位元，1年支付m次的期首付m次的期首付比例年金現(xiàn)值,例：求,比例保費(fèi)的計算 ：死亡時賠付的n年定期兩全保險，保費(fèi)在h年內(nèi)定期比例繳費(fèi),6.3.7節(jié) 退還保費(fèi)保單的凈保費(fèi),在保險實(shí)踐中，有些保單規(guī)定在被保險人死亡時退還過去已繳凈保費(fèi)的累積

48、，這種退還還通常有兩種不同的規(guī)定，一種是不計利息退還過去已繳凈保費(fèi)的累積，一種是以規(guī)定的利息累積退還過去已繳凈保費(fèi)部分。,例6.15（135面）對(x)的n年定期壽險，如果被保險人在保險期內(nèi)死亡，除了賠付10000元外，還退還過去已繳凈保費(fèi)的累積。假設(shè)保險賠付發(fā)生在死亡年年末，保費(fèi)每年繳費(fèi)一次，n年付清，計算下面情況下的年繳均衡凈保費(fèi)。 （1）退還的保費(fèi)部分不計利息 （2）退還的保費(fèi)部分以不同于保單預(yù)定利率i的利率j復(fù)利累積 （3）退還的保費(fèi)部分以保單定價預(yù)定利率復(fù)利累積。,例6.16 對(x)的從x+n歲起每年1單位元生存年金，保險費(fèi)在n年內(nèi)每年繳付一次，如果被保險人在n年內(nèi)死亡，則退還過去

49、已繳凈保費(fèi)的累積，計算年繳凈保費(fèi)。,毛保費(fèi)構(gòu)成,凈保費(fèi),保險費(fèi)用,保險費(fèi)用簡介,保險費(fèi)用的定義 保險公司支出的除了保險責(zé)任范圍內(nèi)的保險金給付外，其它的維持保險公司正常運(yùn)作的所有費(fèi)用支出統(tǒng)稱為經(jīng)營費(fèi)用。這些費(fèi)用必須由保費(fèi)和投資收益來彌補(bǔ)。 保險費(fèi)用的范圍： 稅金、許可證、保險產(chǎn)品生產(chǎn)費(fèi)用、保單銷售服務(wù)費(fèi)用、合同成立后的維持費(fèi)、投資費(fèi)用等,保險機(jī)構(gòu)費(fèi)用開支的一種分類方案,毛保費(fèi),毛保費(fèi)的定義 保險公司實(shí)際收取的保費(fèi)為用于保險金給付的純保費(fèi)和用語各種經(jīng)營費(fèi)用開支的附加費(fèi)用之和，即毛保費(fèi)，簡記為G。 毛保費(fèi)的厘定原則 基本原則：精算等價原則 毛保費(fèi)精算現(xiàn)值=純保費(fèi)精算現(xiàn)值+附加費(fèi)用精算現(xiàn)值 =各種給付

50、的精算現(xiàn)值+各種費(fèi)用支出的 精算現(xiàn)值,注意事項(xiàng),在確定附加費(fèi)用時，一般只考慮保險費(fèi)用，而以投資費(fèi)用沖銷投資收益，體現(xiàn)在保費(fèi)計算中則適當(dāng)降低預(yù)定收益率，即預(yù)定利率。 附加費(fèi)用中要考慮通貨膨脹或通貨緊縮的趨勢。,例2,（30）購買了保險金額為2萬元的半連續(xù)型終身壽險保單，按下表所列各項(xiàng)費(fèi)用，根據(jù)精算等價原理計算年繳純保費(fèi)和年繳毛保費(fèi)。（i=6%） 已知,未來保險費(fèi)用的分配,答案,保單費(fèi)用,定義：有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險金額或保險費(fèi)無關(guān)，這部分費(fèi)用稱為保單費(fèi)用，如準(zhǔn)備新保單、建立會計記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。 保險實(shí)務(wù)一般規(guī)定： 壽險費(fèi)率一般是指每千元保額的保費(fèi)。,毛保費(fèi)分析,毛保

51、費(fèi)可分為三部分： 第一部分：跟保險金額有關(guān)的費(fèi)用，如承保費(fèi)用等 第二部分：跟保費(fèi)數(shù)額有關(guān)的費(fèi)用。如代理人傭金、保險費(fèi)稅金等 第三部分：只與保單數(shù)目有關(guān)的費(fèi)用（保單費(fèi)用）。如準(zhǔn)備新保單、建立會計記錄、郵寄保費(fèi)通知單等。,毛保費(fèi)構(gòu)成公式,解釋,G(b)：保險金額為b元的毛保費(fèi) a：保險成本中與保險金額相關(guān)的部分，其中純保費(fèi)是它的主要部分 c：每份保單分?jǐn)偟馁M(fèi)用，即單位保單費(fèi)用。 f：與毛保費(fèi)數(shù)額相關(guān)的費(fèi)用在毛保費(fèi)中所占比例。,費(fèi)率函數(shù),費(fèi)率函數(shù)的定義 ：,第七章 責(zé)任準(zhǔn)備金,責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因,0,t,未來 責(zé)任,未來 收入,w,未來 責(zé)任,未來 收入,差值,責(zé)任準(zhǔn)備金,責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生原因,凈保

52、費(fèi)厘定原則：凈均衡原則，保證了以保單發(fā)行日為參照點(diǎn)保險公司的未來保費(fèi)收入現(xiàn)時值和未來保險賠付的現(xiàn)時值相等。 但除了保單發(fā)行日以外，以保障期內(nèi)任意某個時刻為參照點(diǎn)，未來收支的現(xiàn)時值都有可能不平衡。,壽險業(yè)務(wù)的長期性和不確定性要求保險公司為未來的給付責(zé)任積累起足夠的資產(chǎn)，所以壽險負(fù)債評估是精算部最重要的工作之一。其中責(zé)任準(zhǔn)備金的評估是該項(xiàng)工作的核心 責(zé)任準(zhǔn)備金的作用包括 保障保單所有人的合理利益 保證壽險公司的償付能力 保證合理的釋放壽險業(yè)務(wù)的利潤,責(zé)任準(zhǔn)備金的作用（1）,責(zé)任準(zhǔn)備金是壽險公司最為重要的負(fù)債，一般占所有負(fù)債的80到90，和總資產(chǎn)的比例也可能超過80。 債權(quán)給出了債權(quán)人對債務(wù)人的資產(chǎn)

53、的索取權(quán)，具體到壽險公司，可以這么說：壽險公司管理和積累起來的資產(chǎn)是一塊蛋糕，而某個時刻的責(zé)任準(zhǔn)備金說明的是在這個時刻有效保單應(yīng)該分到的蛋糕大小。 對個別保單來說，就是評估的責(zé)任準(zhǔn)備金，如果用保單組的概念來描述，就是保單組的責(zé)任準(zhǔn)備金總和。,責(zé)任準(zhǔn)備金的作用（2）,評估責(zé)任準(zhǔn)備金的主要目的是保證保單所有人的利益，監(jiān)管機(jī)構(gòu)原則上應(yīng)該代表保單所有人的利益，所以會要求保險公司持有和責(zé)任準(zhǔn)備金相當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)以保證償付能力。 責(zé)任準(zhǔn)備金是在清算假設(shè)下進(jìn)行的評估，要理解這句話，可以考慮下述問題：如果在這個時刻保險公司破產(chǎn)，那么有效保單應(yīng)該得到多少利益？這個問題沒有唯一正確的答案，責(zé)任準(zhǔn)備金給出的是比較合理的答

54、案。,對責(zé)任準(zhǔn)備金評估工作的監(jiān)管,責(zé)任準(zhǔn)備金的過去法計算公式可以對此作出合理解釋，從公式可以看到，責(zé)任準(zhǔn)備金的評估結(jié)果依賴于所使用的評估方法和評估假設(shè) 監(jiān)管最嚴(yán)格的國家，監(jiān)管機(jī)構(gòu)會規(guī)定適用的準(zhǔn)備金評估方法和評估假設(shè)并要求保險公司遵照執(zhí)行 在監(jiān)管較松的國家，會規(guī)定確定評估假設(shè)的程序和方法，允許精算師在一定范圍內(nèi)選擇他自己認(rèn)為合適的評估假設(shè)。,凈責(zé)任準(zhǔn)備金的定義,定義： 保險公司在任意時刻對每個仍在保障范圍內(nèi)的被保險人的未盡責(zé)任現(xiàn)時值，就稱為凈責(zé)任準(zhǔn)備金。 或者說是每個現(xiàn)存被保險人將來的受益現(xiàn)值，所以也稱為受益責(zé)任準(zhǔn)備金。 實(shí)質(zhì) 責(zé)任準(zhǔn)備金是現(xiàn)存被保險人未來受益與未來繳費(fèi)現(xiàn)時值之差,例1,設(shè)保險公

55、司發(fā)行某保單，被保險人的整值剩余壽命K的概率函數(shù)為 該保單在被保險人死亡年末給付1，年利率6%。根據(jù)凈均衡保費(fèi)原則確定： （1）在躉繳保費(fèi)場合，確定在各年期末責(zé)任準(zhǔn)備金。 （2）在凈均衡保費(fèi)場合，確定在各年期末責(zé)任準(zhǔn)備金。,例1答案,躉繳保費(fèi)場合 期繳保費(fèi)場合,凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定,1 未來法：從未來看，責(zé)任準(zhǔn)備金是未來的凈責(zé)任=未來給付現(xiàn)金未來凈保費(fèi)現(xiàn)值 2 過去法：從過去看，過去凈保費(fèi)收入大于賠付支出的部分=過去的凈保費(fèi)收入-過去給付的保險金終值,責(zé)任準(zhǔn)備金的其它確定方法： 保費(fèi)差公式（premium-difference formula），責(zé)任準(zhǔn)備金等于剩余繳費(fèi)期內(nèi)保費(fèi)差的精算現(xiàn)值。 繳清

56、保險公式（paid-up insurance formula）：責(zé)任準(zhǔn)備金等于部分受益的精算現(xiàn)值。,7.2.1將來法,前瞻虧損的期望即該時刻的凈責(zé)任準(zhǔn)備金 現(xiàn)值隨機(jī)變量： =時刻t未來給付現(xiàn)值變量未來凈保費(fèi)現(xiàn)值變量,終身壽險給付準(zhǔn)備金：,設(shè)(x+k)的整值余壽為J，J的概率密度為， 若保費(fèi)是每年一次終身繳付，則,責(zé)任準(zhǔn)備金 將 代入得,將 代入得 將 代入得,終身壽險，死亡年末給付1單位元，保險費(fèi)在h年內(nèi)繳付,終身壽險，死亡年末給付1單位元，保險費(fèi)一年繳付m次，終身繳付,終身壽險，死亡年末給付1單位元，保險費(fèi)一年繳付m次, h年限期繳費(fèi),終身壽險，死亡時賠付，每年一次的終身繳費(fèi),終身壽險，死亡

57、時賠付，保費(fèi)每年一次，h年限期繳清,定期壽險,兩全保險,延期年金給付準(zhǔn)備金,保費(fèi)在延期的時間內(nèi)交完，如養(yǎng)老保險。,例7.1（146面）某人在20歲時投保了50000元40年兩全保險，保險費(fèi)在40年內(nèi)均衡繳付，預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）的資料，求投保第10年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。,7.2.2 過去法,過去凈保費(fèi)終值-過去賠付金終值。以終身壽險為例 1 對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險，賠付方式為每年一次，終身繳付。 第k年末的過去凈保費(fèi)終值為 第k年末的過去的賠付金在投保時的終值為 則第k年末的給付準(zhǔn)備金為,2. (x)的死亡年末賠付1單位的終身壽險，繳費(fèi)

58、改為h年內(nèi)定期繳付 當(dāng) 時，在這些時間點(diǎn)上不再有保費(fèi)收入，則保費(fèi)累積值為,當(dāng) 時有保費(fèi)收入，又有保險金支出，計算公式同終身繳付的相同 類似可得其他情形下過去法給付準(zhǔn)備金的計算公式,n年繳付的n年兩全保險,k=n時沒有保費(fèi)收入，而在k=n時總有1元的保險賠付 注：,(x)的1單位元n年延期生存年金,保險費(fèi)在n年內(nèi)定期繳付，繳費(fèi)時期與年金生效時期不一致,實(shí)際中根據(jù)具體問題進(jìn)行選擇，已交清保費(fèi)最好用將來法，還未開始繳付的時期用過去法。,例7.2 某人30歲投保了從60歲起每月1000元的生存年金，保費(fèi)從投保起在30年內(nèi)每月繳付一次，預(yù)定利率6%，根據(jù)中國人壽保險也經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993），按

59、過去法計算在投保第10年末和第40年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。,7.4節(jié) 會計年度末給付準(zhǔn)備金,一相關(guān)定義 保險年度：是從保險契約成立日為起點(diǎn)的年度，即從契約成立日到下年同一日為一年。 會計年度：又稱業(yè)務(wù)年度，等同于日歷年度，會計年度末的給付準(zhǔn)備金是保險公司在年度決算日的累積給付準(zhǔn)備金，它可以由保險年度末給付準(zhǔn)備金推算出來。 保單在某保單年度的期末責(zé)任準(zhǔn)備金：該保單年度終了時，次年度保費(fèi)尚未交付時的準(zhǔn)備金。 保單在某保單年度的期初責(zé)任準(zhǔn)備金：該保單年度開始時，本保單年度的保險費(fèi)已繳付的責(zé)任準(zhǔn)備金。,二會計年度準(zhǔn)本金的計算,經(jīng)過一系列公式變形可得到會計年度末給付準(zhǔn)本金的計算公式,7.5節(jié) 修正的凈保費(fèi)給付

60、準(zhǔn)備金的一般方法,均衡保費(fèi)每次繳付的保費(fèi)相同，但保險公司的利潤，費(fèi)用支出，補(bǔ)償保險給付的資金數(shù)量上與金額到達(dá)率在時間上不一致。均衡凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金是在不考慮費(fèi)用支出和費(fèi)用結(jié)果的情況下對準(zhǔn)備金的估計，所以保險公司會從每一期保費(fèi)中提取一部分作為準(zhǔn)備金留下的保費(fèi)用于費(fèi)用支出以及利潤。,問題：費(fèi)用支出不是均均勻的，保單第一年需要大量的費(fèi)用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了均衡凈保費(fèi)的基礎(chǔ)上附加保費(fèi)部分,解決方案：費(fèi)用支出占用一部分凈保費(fèi)，少提給付準(zhǔn)備金，再從以后各年收取的營業(yè)費(fèi)用中逐年歸還，以補(bǔ)足第一年應(yīng)提取的準(zhǔn)備金數(shù)額，見圖,修正責(zé)任準(zhǔn)備金原理階梯保費(fèi)值,原始等額凈保費(fèi),修正后階梯保費(fèi),修正前等額保費(fèi)：P,P,，P,修正

61、后階梯保費(fèi)：， P,由均衡凈保費(fèi)的價值等于調(diào)整后的實(shí)際凈保費(fèi)的價值（收支平衡原理）：,由調(diào)整后的凈保費(fèi)，采用與均衡凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金相同的計算方法，計算修正的給付準(zhǔn)備。 由將來法，對m年兩全保險，繳費(fèi)期為n年，凈保費(fèi)調(diào)整期為k年，t年末的修正給付準(zhǔn)備金如下：,tk時進(jìn)入了費(fèi)調(diào)整期，t年末的給付準(zhǔn)備金就是均衡凈保費(fèi)的給付準(zhǔn)備金。,完全初年修正責(zé)任準(zhǔn)備金,Full preliminary term(FTP) 條件：第一年的修正凈保費(fèi)為第一年的死亡受益現(xiàn)值 則有,美國保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)生背景：FPT適用于低費(fèi)率保單，如果是高費(fèi)率保單，第一年沖銷的費(fèi)用就過多了。 美國保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)： 如果是低保費(fèi)保單：

62、 采用FPT調(diào)節(jié) 如果是高保費(fèi)保單： ，則,加拿大修正制,條件： ，其中 為第一年費(fèi)用按均衡保費(fèi)衡量的額外補(bǔ)貼，有 其中： a150凈均衡保費(fèi) b新契約費(fèi) c仍然提供的管理費(fèi)用及保單持有人分紅時在第二年及以后年中可收回費(fèi)用的精算現(xiàn)值。,現(xiàn)金價值,現(xiàn)金價值（Cash Value）的概念 現(xiàn)金價值的作用 退保 分紅 貸款,資產(chǎn)負(fù)債理論,什么是資產(chǎn)負(fù)債匹配 資產(chǎn)主導(dǎo)資產(chǎn)負(fù)債管理 負(fù)債主導(dǎo)資產(chǎn)負(fù)債管理,資產(chǎn)份額的原理,期交保費(fèi)和躉交保費(fèi)產(chǎn)品在各個保單年度中的保險基金的變化過程 年初 交納保費(fèi)、扣除費(fèi)用 年中 保險人投資保險基金以獲利 年末 退保保單支付退保金、死亡保單支付保險金、滿期則支付滿期給付 如

63、此周而復(fù)始，直至所有保單失效,資產(chǎn)份額原理（圖示）,保費(fèi),資產(chǎn)份額假設(shè),影響資產(chǎn)份額的因素包括 死亡率 退保率 費(fèi)用 投資收益率,資產(chǎn)份額的數(shù)據(jù)來源,死亡率生命表 退保率行業(yè)數(shù)據(jù)或公司經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 費(fèi)用公司的營業(yè)預(yù)算或經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 投資收益率投資部門的研究結(jié)果,資產(chǎn)份額公式（團(tuán)體型）,團(tuán)體型公式更易于理解,，,，,利源分析的公式,通過比較差異和合并同類項(xiàng)，得到利差分解公式,利源分析的四差,死差損益 因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)死亡率不同于假設(shè)死亡率而造成的利潤差異；增加利潤稱為死差益，否則稱為死差損 費(fèi)差損益 因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)費(fèi)用率不同于假設(shè)費(fèi)用率造成的利潤差異；增加利潤稱為費(fèi)差益，否則稱為費(fèi)差損 利差損益 因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)投資收益率不同于假設(shè)收益率造成的利潤差異；增加利潤稱為利差益，否則稱為利差損 退保差損失,利源分析的公式（6）,(1)中計算的是因?yàn)橥顿Y收益率的差異產(chǎn)生的利潤差異，簡稱利差損益；如果這項(xiàng)小于0，則認(rèn)為出現(xiàn)利差損，反之出現(xiàn)利差益； (2)中計算的是因?yàn)橘M(fèi)用的差異，同樣有費(fèi)差損和費(fèi)差益； (3)中計算的是因?yàn)橥吮Ｂ什町愒斐傻睦麧櫜町?，一般稱為退保損益； (4)中計算的是因?yàn)樗劳雎什町愒斐傻睦麧櫜町?，同樣會出現(xiàn)死差損和死差益。,多重生命函數(shù)的定義及作用,多元生命函數(shù)的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數(shù)。 作用 養(yǎng)老金給付場合 合伙人聯(lián)保場合 遺產(chǎn)稅計算場合,連生狀