(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第2課時(shí) 正、余弦定理的綜合問題檢測(cè) 文

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《(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第2課時(shí) 正、余弦定理的綜合問題檢測(cè) 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第2課時(shí) 正、余弦定理的綜合問題檢測(cè) 文(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講 第2課時(shí) 正、余弦定理的綜合問題 [基礎(chǔ)題組練] 1.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b=,c=4,cos B=,則△ABC的面積等于(  ) A.3           B. C.9 D. 解析:選B.法一:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,代入數(shù)據(jù),得a=3,又cos B=,B∈(0,π),所以sin B=,所以S△ABC=acsin B=,故選B. 法二:由cos B=,B∈(0,π),得sin B=,由正弦定理=及b=,c=4,可得sin C=1,所以C=,所以sin A=cos B=,所以S△ABC=bcsin A=,故選B.

2、 2.在△ABC中,已知C=,b=4,△ABC的面積為2,則c=(  ) A.2 B. C.2 D.2 解析:選D.由S=absin C=2a×=2,解得a=2,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12,故c=2. 3.(2019·河南三市聯(lián)考)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin A∶sin B=1∶,c=2cos C=,則△ABC的周長(zhǎng)為(  ) A.3+3 B.2 C.3+2 D.3+ 解析:選C.因?yàn)閟in A∶sin B=1∶,所以b=a, 由余弦定理得cos C===, 又c=,所以a=,b=3,所以△ABC的周

3、長(zhǎng)為3+2,故選C. 4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,則邊AC上的高為(  ) A. B. C. D.3 解析:選B.由余弦定理知cos A===,所以sin A=. 所以S△ABC=AB·AC·sin A=×3×4×=3. 設(shè)邊AC上的高為h,則S△ABC=AC·h=×4×h=3,所以h=. 5.在△ABC中,A=,b2sin C=4sin B,則△ABC的面積為________. 解析:因?yàn)閎2sin C=4sin B, 所以b2c=4b,所以bc=4, S△ABC=bcsin A=×4×=2. 答案:2 6.在△ABC中,A=60°,AB=2

4、,且△ABC的面積為,則BC的長(zhǎng)為________. 解析:因?yàn)镾△ABC=·AB·ACsin A=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3, 所以BC=. 答案: 7.(2017·高考北京卷)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面積. 解:(1)在△ABC中,因?yàn)椤螦=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C==×=. (2)因?yàn)閍=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×, 解得b=8或b=-5(舍).

5、所以△ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6. 8.(2017·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b. 解:(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sin B=8sin2,故 sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,則ac=. 由余弦定理及a+c=6得 b

6、2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B) =36-2×× =4. 所以b=2. [綜合題組練] 1.(2019·河北石家莊一模)在△ABC中,AB=2,C=,則AC+BC的最大值為(  ) A. B.2 C.3 D.4 解析:選D.在△ABC中,AB=2,C=,則===4, 則AC+BC=4sin B+4sin A =4sin+4sin A =2cos A+6sin A=4sin(A+θ), 所以AC+BC的最大值為4.故選D. 2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=2,∠ACD=60°,則AD=(  

7、) A.2 B. C. D.13-6 解析:選B.因?yàn)樵谔菪蜛BCD中,AB∥CD,∠ACD=60°,所以∠BAC=60°.在△ABC中,AB=1,AC=2,由余弦定理,得BC==,所以AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=∠BCD=90°.在△BCD中,由勾股定理,得CD==3,所以在△ACD中,由余弦定理,得AD==.故選B. 3.(2019·福建第一學(xué)期高三期末考試)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(acos C-ccos A)=b,B=60°,則A的大小為________. 解析:由正弦定理及(acos C-ccos A)=b,得(sin Acos

8、 C-sin Ccos A)=sin B,所以sin(A-C)=sin B,由B=60°,得sin B=,所以sin(A-C)=.又A-C=120°-2C∈(-120°,120°),所以A-C=30°,又A+C=120°,所以A=75°. 答案:75° 4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,=a,a=2.若b∈[1,3],則c的最小值為________. 解析:由=a,得=sin C.由余弦定理可知cos C=,即3cos C=sin C,所以tan C=,故cos C=,所以c2=b2-2b+12=(b-)2+9,因?yàn)閎∈[1,3],所以當(dāng)b=時(shí),c取最小值3. 答案

9、:3 5.(綜合型)(2019·遼寧大連檢測(cè))已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足cos2B-cos2C-sin2A=sin Asin B. (1)求角C; (2)若c=2,△ABC的中線CD=2,求△ABC的面積S的值. 解:(1)由已知得sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B, 由正弦定理得a2+b2-c2=-ab, 由余弦定理可得cos C==-. 因?yàn)?

10、in ∠ACB=ab=. 法二:延長(zhǎng)CD到M,使CD=DM,連接AM,易證△BCD≌△AMD, 所以BC=AM=a,∠CBD=∠MAD, 所以∠CAM=. 由余弦定理得 所以ab=4,S=absin ∠ACB=×4×=. 6.已知a,b,c分別是△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,acsin A+4sin C=4csin A. (1)求a的值; (2)圓O為△ABC的外接圓(O在△ABC內(nèi)部),△OBC的面積為,b+c=4,判斷△ABC的形狀,并說明理由. 解:(1)由正弦定理可知,sin A=,sin C=, 則acsin A+4sin C=4csin A?a2c+4c=4ac

11、, 因?yàn)閏≠0,所以a2c+4c=4ca?a2+4=4a?(a-2)2=0,可得a=2. (2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則OD⊥BC, 所以S△OBC=BC·OD. 又因?yàn)镾△OBC=,BC=2, 所以O(shè)D=, 在Rt△BOD中,tan∠BOD====, 又0°<∠BOD<180°,所以∠BOD=60°, 所以∠BOC=2∠BOD=120°, 因?yàn)镺在△ABC內(nèi)部, 所以∠A=∠BOC=60°, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A. 所以4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=4, 所以bc=4,所以b=c=2, 所以△ABC為等邊三角形. 7

12、.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin(A+C)=2sin Acos(A+B),且sin2A+sin2B-sin2C+sin Asin B=0. (1)求證:a,b,2a成等比數(shù)列; (2)若△ABC的面積是2,求c. 解:(1)因?yàn)锳+B+C=π,sin(A+C)=2sin Acos(A+B), 所以sin B=-2sin Acos C, 在△ABC中,由正弦定理得,b=-2acos C, 因?yàn)閟in2A+sin2B-sin2C+sin Asin B=0, 所以由正弦定理可得a2+b2-c2+ab=0, 所以cos C==-, 所以C=, 所以b

13、=a,則b2=2a2=a·2a, 所以a,b,2a成等比數(shù)列. (2)△ABC的面積S=absin C=ab=2,則ab=4, 由(1)知,b=a,聯(lián)立兩式解得a=2,b=2, 所以c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×2×2×(-)=20, 所以c=2. 8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且+=sin A. (1)求b的值; (2)若sin B+cos B=2,求△ABC的面積的最大值. 解:(1)因?yàn)椋絪in A, 所以+=, 由正弦定理可得cos B+cos C=, 所以+=, 所以=,故b=2. (2)因?yàn)閟in B+cos B=2,所以sin(B+)=1. 因?yàn)锽∈(0,π),所以B=. 因?yàn)閎=2,b2=a2+c2-2accos B, 所以4≥2ac-ac,所以ac≤4, 所以S△ABC=acsin B=ac≤, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2,即△ABC為等邊三角形時(shí),S△ABC有最大值,最大值為. 7

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