《(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系檢測 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系檢測 文(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
[基礎(chǔ)題組練]
1.已知異面直線a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=c,那么直線c一定( )
A.與a,b都相交
B.只能與a,b中的一條相交
C.至少與a,b中的一條相交
D.與a,b都平行
解析:選C.若c與a,b都不相交,則c與a,b都平行,根據(jù)公理4,知a∥b,與a,b異面矛盾.
2.已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直,順次連接四邊中點的四邊形一定是( )
A.空間四邊形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析:選B.
如圖所示,易證四邊形EFGH為平行四邊形.
因為E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點,
所以EF∥
2、AC.
又FG∥BD,
所以∠EFG或其補角為AC與BD所成的角.
而AC與BD所成的角為90°,
所以∠EFG=90°,故四邊形EFGH為矩形.
3.已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選A.若直線a,b相交,設(shè)交點為P,則P∈a,P∈b.又a?α,b?β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,則a,b可能相交,也可能異面或平行.故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.
4.(20
3、19·廣州市高中綜合測試(一))在四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,AB=CD,AB⊥CD,則異面直線EF與AB所成角的大小為( )
A. B.
C. D.
解析:選B.取BD的中點O,連接OE,OF,因為E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,AB=CD,所以EO∥AB,OF∥CD,且EO=OF=CD,又AB⊥CD,所以EO⊥OF,∠OEF為異面直線EF與AB所成的角,由△EOF為等腰直角三角形,可得∠OEF=,故選B.
5.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中,M,N分別為CD,AD的中點,則MN與A′C′的位置關(guān)系是_______________________
4、_________________________________.
解析:如圖,由題意可知MN∥AC.又因為AC∥A′C′,
所以MN∥A′C′.
答案:平行
6.給出下列四個命題:
①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點;
②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交,則α與β相交;
③若一條直線和兩條平行線都相交,則這三條直線共面;
④若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面.
其中真命題的序號是________.
解析:①正確,因為直線在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面,所以最多有一個公共點.②正確,a,b有交點,則兩平面有公共點,則兩平面相交.③
5、正確,兩平行直線可確定一個平面,又直線與兩平行直線的兩交點在這兩平行直線上,所以過這兩交點的直線也在平面內(nèi),即三線共面.④錯誤,這三條直線可以交于同一點,但不在同一平面內(nèi).
答案:①②③
7.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心,H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證:D1、H、O三點共線.
證明:如圖,連接BD,B1D1,
則BD∩AC=O,
因為BB1綊DD1,
所以四邊形BB1D1D為平行四邊形,
又H∈B1D,
B1D?平面BB1D1D,
則H∈平面BB1D1D,
因為平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,
所以H∈OD1.
6、即D1、H、O三點共線.
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求AC與A1D所成角的大??;
(2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,求A1C1與EF所成角的大?。?
解:(1)如圖,連接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,易知A1D∥B1C,從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角.
因為AB1=AC=B1C,
所以∠B1CA=60°.
即A1D與AC所成的角為60°.
(2)連接BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1.
因為E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點,
所以EF∥BD,所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1
7、C1.
即A1C1與EF所成的角為90°.
[綜合題組練]
1.如圖所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是( )
A.直線AC B.直線AB
C.直線CD D.直線BC
解析:選C.由題意知,D∈l,l?β,所以D∈β,
又因為D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以點D在平面ABC與平面β的交線上.
又因為C∈平面ABC,C∈β,
所以點C在平面β與平面ABC的交線上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,|AB|=|BB1|,則AB1與BC1所成角的大小為( )
A
8、. B.
C. D.
解析:選D.將正三棱柱ABC-A1B1C1補為四棱柱ABCD-A1B1C1D1,連接C1D,BD,則C1D∥B1A,∠BC1D為所求角或其補角.設(shè)|BB1|=,則|BC|=|CD|=2,
∠BCD=120°,|BD|=2,
又因為|BC1|=|C1D|=,所以∠BC1D=.
3.(2019·長沙模擬)如圖,在三棱柱ABC-A′B′C′中,點E,F(xiàn),H,K分別為AC′,CB′,A′B′,B′C′的中點,G為△ABC的重心.從K,H,G,B′四點中取一點作為P,使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行,則P為________.
解析:取A′C′的中點M,連接EM,M
9、K,KF,EF,則EM綊CC′綊KF,得四邊形EFKM為平行四邊形,若取點K為P,則AA′∥BB′∥CC′∥PF,故與平面PEF平行的棱超過2條;因為HB′∥MK,MK∥EF,所以HB′∥EF,若取點H或B′為P,則平面PEF與平面EFB′A′為同一平面,與平面EFB′A′平行的棱只有AB,不符合題意;連接BC′,則EF∥A′B′∥AB,若取點G為P,則AB,A′B′與平面PEF平行.
答案:G
4.如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________.
解析:取圓柱下底面弧
10、AB的另一中點D,連接C1D,AD,
因為C是圓柱下底面弧AB的中點,
所以AD∥BC,
所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角,因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,
所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD,
因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=AD,
所以直線AC1與AD所成角的正切值為,
所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.
答案:
5.如圖所示,A是△BCD所在平面外的一點,E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點.
(1)求證:直線EF與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.
解:(1)證明:假
11、設(shè)EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.
(2)取CD的中點G,連接EG,F(xiàn)G,則AC∥FG,EG∥BD,所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角.
又因為AC⊥BD,則FG⊥EG.
在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即異面直線EF與BD所成的角為45°.
6.(綜合型)如圖,E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)證明:
12、E,F(xiàn),G,H四點共面;
(2)m,n滿足什么條件時,四邊形EFGH是平行四邊形?
(3)在(2)的條件下,若AC⊥BD,試證明:EG=FH.
解:(1)證明:因為AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.
又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E,F(xiàn),G,H四點共面.
(2)當(dāng)EH∥FG,且EH=FG時,四邊形EFGH為平行四邊形.
因為==,所以EH=BD.
同理可得FG=BD,由EH=FG,得m=n.
故當(dāng)m=n時,四邊形EFGH為平行四邊形.
(3)證明:當(dāng)m=n時,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又EH∥BD,所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補角),因為AC⊥BD,所以∠FEH=90°,從而平行四邊形EFGH為矩形,所以EG=FH.
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