3、兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多n(n為常數(shù))盞，底層的燈數(shù)是頂層的13倍，則塔的底層共有燈( )
A．2盞B．3盞C．26盞D．27盞
答案 C
解析 設(shè)頂層有燈a1盞，底層有燈a9盞，燈數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，
由已知得解得a9＝26.
5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的取值范圍為( )
A.
B.
C.∪
D.∪
答案 C
解析 如圖陰影部分所示，作出的可行域?yàn)槿切?包括邊界)，
把z＝改寫為＝，
所以可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和(5,0)連線的斜率，記為k，則－≤k≤，
所以z∈∪.
6．(2019·浙江省衢州二中模擬)已知f(x)＝，點(diǎn)O(0,
4、0)，A(0,1)，An(n，f(n))，n∈N*，設(shè)∠AOAn＝θn，對一切n∈N*都有不等式＋＋…＋0)即可，故t≥3.
7．(2019·全國Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為( )
A.B.C．2D．3
答案 A
解析 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，
5、
所以|OF|＝.
又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h(yuǎn)＝×＝，所以S△PFO＝××＝.
8．(2019·全國Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“——”，如圖就是一重卦，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽爻的種數(shù)為C＝＝20.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝＝.故選A.
9．(2019·浙江省金華十校聯(lián)考)如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，點(diǎn)C
6、滿足sin∠CAB＝λsin∠CBA(λ>0)，且在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則( )
A．當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是拋物線
B．當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是一條直線
C．當(dāng)λ＝2時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是橢圓
D．當(dāng)λ＝2時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線
答案 B
解析 在△ABC中，
∵sin∠CAB＝λsin∠CBA(λ>0)，
由正弦定理可得＝λ，
當(dāng)λ＝1時(shí)，BC＝AC，過AB的中點(diǎn)作線段AB的垂面β，
則點(diǎn)C在α與β的交線上，
即點(diǎn)C的軌跡是一條直線，
當(dāng)λ＝2時(shí)，BC＝2AC，
設(shè)B在平面α內(nèi)的射影為D，連接BD，CD，AD，
設(shè)BD＝h，AD＝2a，則BC＝，
在平面α內(nèi)，以
7、AD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
A(－a,0)，D(a,0)，
設(shè)C(x，y)，則
|CA|＝，
|CD|＝，
|CB|＝，
∴＝2，
化簡可得2＋y2＝＋.
∴C的軌跡是圓．故選B.
10．(2019·溫州調(diào)研)在正四面體ABCD中，P，Q分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，則能使點(diǎn)M的軌跡是圓的條件是( )
A．PE＋QF＝2 B．PE·QF＝2
C．PE＝2QF D．PE2＋QF2＝2
答案 D
解析 如圖，分別取BC，BD，AC，AD的中點(diǎn)為G，H，K，L，
因?yàn)镻
8、，Q是定點(diǎn)，所以PQ的中點(diǎn)O為定點(diǎn)，
由對稱性可知，PQ，EF的中點(diǎn)在中截面GHLK上運(yùn)動(dòng)，
∵＝＋＋＝＋＋，
∴＝(＋)，
又在正四面體中，對棱垂直，∴PE⊥QF，
∴|＋|2＝2＋2，
∴42＝|＋|2＝2＋2，
若點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心的圓，則2＋2為定值，
只有D符合題意，故選D.
11．已知復(fù)數(shù)z＝(a∈R，i為虛數(shù)單位)的實(shí)部為1，則a＝________，|z|＝________.
答案 1
解析 z＝＝＝a－i，因?yàn)閺?fù)數(shù)z的實(shí)部為1，所以a＝1，|z|＝＝.
12．(2019·金華十校模擬)一個(gè)口袋中裝有大小相同的5個(gè)小球，其中紅球兩個(gè)，其余的3個(gè)球的顏
9、色各不相同．現(xiàn)從中任意取出3個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球顏色相同的概率是________；若變量X為取出的三個(gè)小球中紅球的個(gè)數(shù)，則X的期望E(X)＝________.
答案
解析 記“恰有2個(gè)小球顏色相同”為事件A，則P(A)＝＝.由題意知，X的可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13．(2019·浙江)在二項(xiàng)式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．
答案 16 5
解析 該二項(xiàng)展開式的第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝C()9－kxk，當(dāng)k＝0時(shí)，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以
10、常數(shù)項(xiàng)為()9＝16；當(dāng)k＝1,3,5,7,9時(shí)，對應(yīng)第2,4,6,8,10項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為5.
14．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長度為________，體積為________．
答案 15
解析 該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖中P－ABCD所示，其最長棱的長度等于＝，其體積V＝××(2＋4)×3×5＝15.
15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asinA＝bsinB，a2＋2b2＋3c2＝4，則△ABC面積的最大值為________．
答案
解析 因?yàn)閍sinA＝bsin
11、B，
所以由正弦定理得a2＝b2，∴a＝b，
設(shè)AB邊上的高為h，則a2＝h2＋，
因?yàn)閍2＋2b2＋3c2＝4，
所以h2＋＝，
因?yàn)椋絟2＋≥2＝hc，
當(dāng)且僅當(dāng)h2＝時(shí)取等號，
所以hc≤＝，
所以△ABC的面積S＝hc≤，
即△ABC面積的最大值為.
16．如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)·取得最小值時(shí)，·＝________.
答案 0
解析 方法一 因?yàn)椤ぃ?＋)·(＋)＝·＋·(＋)＋2＝2×2×＋·(＋)＋1＝7＋·(＋)，取AB的中點(diǎn)M，連接CM(圖略)，所以·＝7－2·，所以當(dāng)與同向時(shí)，·有最小值1
12、，此時(shí)與垂直，所以·＝0.
方法二 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(－，3)，B(－2，0)，
圓C的方程為x2＋y2＝1，
設(shè)P(cosθ，sinθ)，0≤θ<2π，
則＝(cosθ＋，sinθ－3)，
＝(cosθ＋2，sinθ)，
·＝(cosθ＋)(cosθ＋2)＋(sinθ－3)sinθ
＝7＋3cosθ－3sinθ＝7＋6cos，
所以當(dāng)θ＝時(shí)，·有最小值1，
此時(shí)＝，
又＝(－，－3)，所以·＝0.
17．已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，且F1，F(xiàn)2在x軸上，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則橢
13、圓和雙曲線的離心率之積的取值范圍是________．
答案 (1，＋∞)
解析 方法一 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a1>b1>0)，
離心率為e1，半焦距為c，滿足c2＝a－b，
雙曲線方程為－＝1(a2>0，b2>0)，
離心率為e2，半焦距為c，滿足c2＝a＋b，
不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是它們在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)，
則由橢圓與雙曲線的定義得，
解得
在△F1PF2中，由余弦定理可得
cos∠F1PF2＝＝－，
整理得4c2＝3a＋a，即3×＋＝4，
即32＋2＝4，則2＝4－32.
由令t＝2，
則t＝2＝∈，
∴2·2＝2·＝－3t2＋4t＝－
14、32＋，
∵函數(shù)f(t)＝－32＋在上單調(diào)遞減，
∴2·2＝－32＋∈(0,1)，
即e1e2的取值范圍為(1，＋∞)．
方法二 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a1>b1>0)，
離心率為e1，半焦距為c，滿足c2＝a－b，
雙曲線方程為－＝1(a2>0，b2>0)，
離心率為e2，半焦距為c，滿足c2＝a＋b，
不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是它們在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m>n>0，
在△F1PF2中，由余弦定理可得m2＋n2＋mn＝4c2，
則由橢圓與雙曲線的定義，得
則·＝＝＝
＝＝1－，
令t＝2＋>3，
則·＝1－＝1－，
∵函數(shù)g(t)＝1－在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴·∈(0,1)，
即e1e2的取值范圍為(1，＋∞)．
9
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 搶分練 選擇題 填空題增分練（一）
