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1、第1講 曲線方程與拋物線
1.如圖所示，已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與點B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動點P的軌跡方程．
(1)△PAB的周長為10.
(2)圓P與圓A外切，且過B點(P為動圓圓心)．
(3)圓P與圓A外切，且與直線x＝1相切(P為動圓圓心)．
解：(1)根據(jù)題意知，PA＋PB＋AB＝10，
即PA＋PB＝6＞4＝AB，
故P點軌跡是橢圓，且2a＝6,2c＝4，
即a＝3，c＝2，b＝.
因此其軌跡方程為＋＝1(y≠0)．
(2)設圓P的半徑為r，
則PA＝r＋1，PB＝r，因此PA－PB＝1.
由雙曲線的定義知，P點的軌跡為雙曲線的右支，
2、且2a＝1，2c＝4，
即a＝，c＝2，b＝，
因此其軌跡方程為4x2－y2＝1.
(3)依題意知，動點P到定點A的距離等于到定直線x＝2的距離，
故其軌跡為拋物線，且開口向左，p＝4.
因此其軌跡方程為y2＝－8x.
2.已知拋物線x2＝2py(p>0)，F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，過點B作x軸的垂線，交直線OA于點C，如圖所示．
(1)求點C的軌跡M的方程；
(2)直線n是拋物線不與x軸重合的切線，切點為P，軌跡M與直線n交于點Q，求證：以線段PQ為直徑的圓過點F.
解：(1)依題意可得，直線l的斜率存在，
故設其方程為y＝kx＋，
又設A(x1，
3、y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，
由?x2－2pkx－p2＝0?x1·x2＝－p2.
易知直線OA的方程為y＝x＝x，直線BC的方程為x＝x2，
由得y＝＝－，
即點C的軌跡M的方程為y＝－.
(2)證明：由題意知直線n的斜率存在．
設直線n的方程為y＝k1x＋m.
由?x2－2pk1x－2pm＝0?Δ＝4p2k＋8pm.
因為直線n與拋物線相切，
所以Δ＝0?pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．
又由?Q，
所以·＝·＝－(p＋2m)＋pm＋＝0?FP⊥FQ，
所以以線段PQ為直徑的圓過點F.
3．(2019·南京三模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物
4、線y2＝2px(p＞0)及點M(2,0)，動直線l過點M交拋物線于A，B兩點，當l垂直于x軸時，AB＝4.
(1)求p的值；
(2)若l與x軸不垂直，設線段AB的中點為C，直線l1經(jīng)過點C且垂直于y軸，直線l2經(jīng)過點M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點P，求證：點P在定直線上．
解：(1)因為l過M(2,0)，且當l垂直于x軸時，AB＝4，
所以拋物線經(jīng)過點(2,2)，
代入拋物線方程，得4＝2p·2，解得p＝1.
(2)證明：設直線l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立消去x，得ky2－2y－4k＝0，
則y1＋y2＝，y1y2＝－
5、4.
因為C為AB中點，所以yC＝＝，
則直線l1的方程為y＝.
因為直線l2過點M且與l垂直，
則l2的方程為y＝－(x－2)，
聯(lián)立解得即P，
所以點P在定直線x＝1上．
4．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點．
(1)求線段AF的中點M的軌跡方程；
(2)若△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線l的方程．
解：因為拋物線的方程為y2＝4x，所以F(1,0)．
(1)設M(x，y)，A(x1，y1)．
因為M為線段AF的中點，所以x＝，y＝，
則x1＝2x－1，y1＝2y，代入拋物線方程得y2＝2x
6、－1，
所以點M的軌跡方程為y2＝2x－1.
(2)由(1)知A(x1，y1)，
設B(x2，y2)，不妨令y1＞0，y2＜0，
設△AOF和△BOF的面積分別為S1，S2，
因為△AOB的面積是△BOF面積的3倍，
所以S1＋S2＝3S2，所以S1＝2S2.
因為S1＝OF·y1，S2＝OF·|y2|＝－OF·y2，所以y1＝－2y2.①
易知直線l的斜率不為0，
設直線l的方程為x＝ty＋1(t＞0)②
與y2＝4x聯(lián)立，消去x得y2－4ty－4＝0，
解得y1,2＝2t±2，則y1＋y2＝4t，③
y1y2＝－4④
由①③④可得t＝，代入②，
得直線l的方程為
7、y＝2(x－1)；
同理，當y1＜0，y2＞0時，
得直線l的方程為y＝－2(x－1)．
綜上，直線l的方程為y＝±2(x－1)．
5．(2019·如皋期中)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為x＝－.若拋物線C與直線l：y＝2x＋m相交于A，B兩點，拋物線的焦點在直線l上，線段AB的中點到拋物線準線的距離為5.
(1)求p，m的值；
(2)設點E為拋物線C上一點，若三角形AEB的面積為4，試確定點E的個數(shù)，并說明理由．
解：(1)因為拋物線的焦點在直線l上，
所以＝－，即m＝－p，
聯(lián)立消去y，得4x2－6px＋p2＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，
8、y2)，
則x1＋x2＝，＝，
因為線段AB的中點到拋物線準線的距離為5，
所以＋＝5，解得p＝4，則m＝－4.
(2)由(1)知，拋物線方程為y2＝8x，直線l的方程為y＝2x－4，聯(lián)立整理得x2－6x＋4＝0，
所以AB＝|x1－x2|＝·＝10.
設點E到直線AB的距離為d，
則三角形AEB的面積為×10×d＝4，解得d＝ .
設平行于AB且與拋物線相切的直線為y＝2x＋n，
聯(lián)立消去y，得4x2＋(4n－8)x＋n2＝0，Δ＝(4n－8)2－16n2＝－64n＋64＝0，n＝1，
此時切線方程為y＝2x＋1，其與直線AB的距離為＞，
而與直線AB的距離為的點在兩條平行直線上，
這兩條直線與拋物線的交點共有4個，
所以符合題意的點E共有4個．
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