（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 仿真模擬卷二 理

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1、仿真模擬卷二 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，則P∩Q＝(　　) A．{0} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,2} 答案　B 解析　因?yàn)榧螾＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，所以P∩Q＝{0,1}． 2．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，z＋＝2(為z的共軛復(fù)數(shù))(i為虛數(shù)單位)，則z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．1＋i或1－i

2、 D．－1＋i或－1－i 答案　C 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，z＋＝2a， 所以得所以z＝1＋i或z＝1－i. 3．若a>1，則“ax>ay”是“l(fā)ogax>logay”的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　由a>1，得ax>ay等價(jià)為x>y，logax>logay等價(jià)為x>y>0，故“ax>ay”是“l(fā)ogax>logay”的必要不充分條件． 4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)

3、log0.50.25＝2,0.51

4、展開式的通項(xiàng)為C(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展開式的通項(xiàng)為C()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3. 解法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)為C·1＋C·(－1)1·1＝－3. 解法三：在(1－)6(1＋)4的展開式中要出現(xiàn)x，可分為以下三種情況： ①(1－)6中選2個(gè)(－)，(1＋)4中選0個(gè)作積，這樣得到的x項(xiàng)的系數(shù)

5、為CC＝15； ②(1－)6中選1個(gè)(－)，(1＋)4中選1個(gè)作積，這樣得到的x項(xiàng)的系數(shù)為C(－1)1C＝－24； ③(1－)6中選0個(gè)(－)，(1＋)4中選2個(gè)作積，這樣得到的x項(xiàng)的系數(shù)為CC＝6. 故x項(xiàng)的系數(shù)為15－24＋6＝－3. 7．已知直線y＝x＋m和圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若·＝，則實(shí)數(shù)m＝(　　) A．±1 B．± C．± D．± 答案　C 解析　聯(lián)立得2x2＋2mx＋m2－1＝0， ∵直線y＝x＋m和圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴Δ＝－4m2＋8＞0，解得－

6、x2＝－m，x1x2＝，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)， ∵·＝，∴·＝x－x1x2＋y－y1y2＝1－－＋m2－m2＝2－m2＝，解得m＝±. 8．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若△ABC的面積為S，且4S＝(a＋b)2－c2，則sin＝(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　由4S＝(a＋b)2－c2，得4×absinC＝a2＋b2－c2＋2ab，∵a2＋b2－c2＝2abcosC， ∴2absinC＝2abcosC＋2ab， 即sinC－cosC＝

7、1，即2sin＝1，則sin＝，∵0

8、一零點(diǎn)，故C正確；根據(jù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，可知它一定不是周期函數(shù)，故D錯(cuò)誤． 10．已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，則2a＋b取到最小值時(shí)，ab＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．9 答案　D 解析　由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，可得a－2>0，b－1>0且(a－2)(b－1)≥2.所以2a＋b＝2(a－2)＋(b－1)＋5≥2＋5≥2＋5＝9，當(dāng)2(a－2)＝b－1且(a－2)(b－1)＝2時(shí)等號(hào)成立，解得a＝b＝3.所以2a＋b取到最小值時(shí)，ab＝3×3＝9. 11．已知實(shí)數(shù)a>0，函數(shù)f(x)＝ 若關(guān)于x的方程f[－f

9、(x)]＝e－a＋有三個(gè) 不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1，f′(x)為增函數(shù)，令f′(x)＝0，解得x＝1，故函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，最小值為f(1)＝0. 由此畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．令t＝－f(x)，因?yàn)閒(x)≥0，所以t≤0， 則有解得－a＝t－1， 所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1. 所以方程要有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 則需＜a－1＜＋，解得2＜a＜＋2. 12．已知△AB

10、C的頂點(diǎn)A∈平面α，點(diǎn)B，C在平面α同側(cè)，且AB＝2，AC＝，若AB，AC與α所成的角分別為，，則線段BC長(zhǎng)度的取值范圍為(　　) A．[2－，1] B．[1，] C．[， ] D．[1, ] 答案　B 解析　如圖，過點(diǎn)B，C作平面的垂線，垂足分別為M，N， 則四邊形BMNC為直角梯形． 在平面BMNC內(nèi)，過C作CE⊥BM交BM于點(diǎn)E. 又BM＝AB·sin∠BAM＝2sin＝，AM＝AB·cos∠BAM＝2cos＝1， CN＝AC·sin∠CAN＝sin＝， AN＝AC·cos∠CAN＝cos＝， 所以BE＝BM－CN＝，故BC2＝MN2＋. 又AN－AM≤

11、MN≤AM＋AN， 即＝AN－AM≤MN≤AM＋AN＝， 所以1≤BC2≤7，即1≤BC≤ ，故選B. 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．已知向量a＝(1，λ)，b＝(3,1)，c＝(1,2)，若向量2a－b與c共線，則向量a在向量c方向上的投影為________． 答案　0 解析　向量2a－b＝(－1,2λ－1)， 由2λ－1＝－2，得λ＝－.∴向量a＝， ∴向量a在向量c方向上的投影為|a|cos〈a，c〉＝＝＝0.

12、 14．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2absinC＝(b2＋c2－a2)，若a＝，c＝3，則△ABC的面積為________． 答案　3 解析　由題意得＝·， 即＝cosA，由正弦定理得sinA＝cosA, 所以tanA＝，A＝. 由余弦定理得13＝32＋b2－2×3bcos， 解得b＝4，故面積為bcsinA＝×4×3×＝3. 15．已知點(diǎn)M為單位圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線x＝2上，則·的最小值為________． 答案　2 解析　設(shè)A(2，t)，M(cosθ，sinθ)， 則＝(cosθ－2，sinθ－t)，＝(－2

13、，－t)， 所以·＝4＋t2－2cosθ－tsinθ. 又(2cosθ＋tsinθ)max＝， 故·≥4＋t2－. 令s＝，則s≥2，又4＋t2－＝s2－s≥2， 當(dāng)s＝2，即t＝0時(shí)等號(hào)成立，故(·)min＝2. 16．已知函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋m＋2，g(x)＝mx－m，若存在實(shí)數(shù)x0∈R，使得f(x0)<0且g(x0)<0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(3，＋∞) 解析　當(dāng)m>0，x<1時(shí)，g(x)<0， 所以f(x)<0在(－∞，1)上有解， 則或 即m>3或故m>3. 當(dāng)m<0，x>1時(shí)，g(x)<0，所以f(x)<0在(1，＋

14、∞)上有解，所以此不等式組無解． 綜上，m的取值范圍為(3，＋∞)． 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx－cosx)＋. (1)求f的值； (2)當(dāng)x∈時(shí)，不等式c

15、如圖，在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC. (1)若M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面CDEF； (2)若BD＝，求二面角E－AC－F的余弦值． 解　(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接GM，GN， 在△ADE中，∵M(jìn)，G分別為AE，AD的中點(diǎn)， ∴MG∥DE， ∵DE?平面CDEF，MG?平面CDEF， ∴MG∥平面CDEF. 由于G，N分別為AD，BC的中點(diǎn)， 由棱柱的性質(zhì)可得GN∥DC， ∵CD?平面CDEF，GN?平面CDEF， ∴GN∥平面CDEF. 又

16、GM?平面GMN，GN?平面GMN，MG∩GN＝G， ∴平面GMN∥平面CDEF， ∵M(jìn)N?平面GMN，∴MN∥平面CDEF. (2)如圖，連接EB， 在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝， ∴BE＝2，又ED＝1，DB＝， ∴EB2＋ED2＝DB2， ∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，AE，EB?平面ABFE， ∴DE⊥平面ABFE. 以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EF，ED所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得E(0,0,0)，A(，0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，C(0,1,1)， ＝(－，1,1)，＝(－，0,0)，＝(0,0,1)．

17、 設(shè)平面AFC的法向量為m＝(x，y，z)， 則 則z＝0，令x＝1，得y＝，則m＝(1，，0)為平面AFC的一個(gè)法向量， 設(shè)平面ACE的法向量為n＝(x1，y1，z1)， 則 則x1＝0，令y1＝1，得z1＝－1， ∴n＝(0,1，－1)為平面ACE的一個(gè)法向量． 設(shè)m，n所成的角為θ，則cosθ＝＝＝， 由圖可知二面角E－AC－F的余弦值是. 19．(本小題滿分12分)為調(diào)查某公司五類機(jī)器的銷售情況，該公司隨機(jī)收集了一個(gè)月銷售的有關(guān)數(shù)據(jù)，公司規(guī)定同一類機(jī)器銷售價(jià)格相同，經(jīng)分類整理得到下表： 機(jī)器類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 銷售總額(萬元

18、) 100 50 200 200 120 銷售量(臺(tái)) 5 2 10 5 8 利潤(rùn)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 利潤(rùn)率是指一臺(tái)機(jī)器銷售價(jià)格減去出廠價(jià)格得到的利潤(rùn)與該機(jī)器銷售價(jià)格的比值． (1)從該公司本月賣出的機(jī)器中隨機(jī)選一臺(tái)，求這臺(tái)機(jī)器利潤(rùn)率高于0.2的概率； (2)從該公司本月賣出的銷售單價(jià)為20萬元的機(jī)器中隨機(jī)選取2臺(tái)，求這兩臺(tái)機(jī)器的利潤(rùn)率不同的概率； (3)假設(shè)每類機(jī)器利潤(rùn)率不變，銷售一臺(tái)第一類機(jī)器獲利x1萬元，銷售一臺(tái)第二類機(jī)器獲利x2萬元，……，銷售一臺(tái)第五類機(jī)器獲利x5萬元，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一臺(tái)機(jī)器獲利的期

19、望為E(x)，設(shè)＝，試判斷E(x)與的大小．(結(jié)論不要求證明) 解　(1)由題意知，本月共賣出30臺(tái)機(jī)器， 利潤(rùn)率高于0.2的是第一類和第四類，共有10臺(tái)． 設(shè)“這臺(tái)機(jī)器利潤(rùn)率高于0.2”為事件A，則 P(A)＝＝. (2)用銷售總額除以銷售量得到機(jī)器的銷售單價(jià)，可知第一類與第三類的機(jī)器銷售單價(jià)為20萬元，第一類有5臺(tái)，第三類有10臺(tái)，共有15臺(tái)，隨機(jī)選取2臺(tái)有C種不同方法， 兩臺(tái)機(jī)器的利潤(rùn)率不同則每類各取一臺(tái)有CC種不同方法， 設(shè)“兩臺(tái)機(jī)器的利潤(rùn)率不同”為事件B，則P(B)＝＝. (3)由題意可得，獲利x可能取的值為8,5,3,10， P(x＝8)＝＝，P(x＝5)＝＝，

20、 P(x＝3)＝＝，P(x＝10)＝＝， 因此E(x)＝×8＋×5＋×3＋×10＝； 又＝＝，所以E(x)<. 20．(本小題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連接DF1.已知|DF1|＝. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 解　(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因?yàn)镕1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以|F1F2|＝2，c＝1

21、. 又因?yàn)閨DF1|＝，AF2⊥x軸， 所以|DF2|＝＝＝， 因此2a＝|DF1|＋|DF2|＝4，從而a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝3. 因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)解法一：由(1)知，橢圓C：＋＝1，a＝2， 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1. 將x＝1代入圓F2的方程(x－1)2＋y2＝16， 解得y＝±4. 因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1,4)． 又F1(－1,0)，所以直線AF1：y＝2x＋2. 由得5x2＋6x－11＝0， 解得x＝1或x＝－. 將x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－， 因此B點(diǎn)坐標(biāo)為. 又F2(1,0)，所以

22、直線BF2：y＝(x－1)． 由得7x2－6x－13＝0， 解得x＝－1或x＝. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以x＝－1. 將x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－. 因此E點(diǎn)坐標(biāo)為. 解法二：由(1)知，橢圓C： ＋＝1. 如圖，連接EF1. 因?yàn)閨BF2|＝2a，|EF1|＋|EF2|＝2a， 所以|EF1|＝|EB|， 從而∠BF1E＝∠B. 因?yàn)閨F2A|＝|F2B|，所以∠A＝∠B， 所以∠A＝∠BF1E，從而EF1∥F2A. 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸． 因?yàn)镕1(－1,0)，由得y＝±. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以y＝

23、－. 因此E點(diǎn)坐標(biāo)為. 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－xex＋ax(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若a＝1，求f(x)的最大值． 解　(1)由題意知，f′(x)＝－(ex＋xex)＋a＝－(x＋1)ex＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立， 所以a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝(x＋1)ex－， 則g′(x)＝(x＋2)ex＋>0， 所以g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，所以a≤2e－1. (2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ln x－xe

24、x＋x(x>0)． 則f′(x)＝－(x＋1)ex＋1＝(x＋1)， 令m(x)＝－ex，則m′(x)＝－－ex<0， 所以m(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 由于m>0，m(1)<0，所以存在x0>0滿足m(x0)＝0，即ex0＝. 當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，m(x)>0，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減． 所以f(x)max＝f(x0)＝ln x0－x0e x0＋x0， 因?yàn)閑x0＝，所以x0＝－ln x0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1， 所以f(x)max＝－1

25、. 請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝8sinθ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指出該曲線是什么曲線； (2)若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別為M，N，求|MN|. 解　(1)因?yàn)棣裞os2θ＝8sinθ，所以ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即x2＝8y， 所以曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線． (2)

26、設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，點(diǎn)N(x2，y2)， 直線l過拋物線的焦點(diǎn)(0,2)，則直線的參數(shù)方程化為一般方程為y＝x＋2，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得x2－4x－16＝0， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝－16， 所以|MN|＝ ＝· ＝· ＝·＝10. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集為M. (1)求M； (2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)． 解　(1)將f(x)＝|x＋4|代入不等式， 整理得|x＋4|＋|2x－2|>8. ①當(dāng)x≤－4時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為

27、－x－4－2x＋2>8， 解得x<－，所以x≤－4； ②當(dāng)－48， 解得x<－2，所以－48， 解得x>2，所以x>2. 綜上，M＝{x|x<－2或x>2}． (2)證明：因?yàn)閒(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|， 所以要證f(ab)>f(2a)－f(－2b)， 只需證|ab＋4|>|2a＋2b|， 即證(ab＋4)2>(2a＋2b)2， 即證a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2， 即證a2b2－4a2－4b2＋16>0， 即證(a2－4)(b2－4)>0， 因?yàn)閍，b∈M，所以a2>4，b2>4， 所以(a2－4)(b2－4)>0成立， 所以原不等式成立． - 16 -