（全國通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測（二十三）坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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1、專題檢測（二十三） 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 大題專攻強(qiáng)化練 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，θ∈. (1)求半圓C的參數(shù)方程； (2)若半圓C與圓D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常數(shù)，m＞0)相切，試求切點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 解：(1)半圓C的普通方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)， 則半圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)C，D的圓心坐標(biāo)分別為(2，0)，(5，)， 于是直線CD的斜率k＝＝. 由于切點(diǎn)必在兩個(gè)圓心的連線上， 故切點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)t滿足tan t＝，t＝，

2、所以切點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， 即(2＋，1)． 2．(2019·全國卷Ⅲ) 如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1，0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． 解：(1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cos θ. (2)設(shè)P

3、(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知 若0≤θ ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 3.(2019·福州市第一學(xué)期抽測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為l的傾斜角)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，直線θ＝β，θ＝β＋，θ＝β－(ρ∈R)與曲線E分別交于不同于極點(diǎn)O的三點(diǎn)A，B，C. (1)若＜β＜，求證：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)當(dāng)β＝時(shí)，直線l過B，C兩點(diǎn)，求y0與α的值．

4、 解：(1)證明：依題意，|OA|＝|4sin β|，|OB|＝，|OC|＝， ∵＜β＜， ∴|OB|＋|OC|＝4sin＋4sin＝4sin β＝|OA|. (2)當(dāng)β＝時(shí)，直線θ＝β＋與曲線E的交點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，直線θ＝β－與曲線E的交點(diǎn)C的極坐標(biāo)為， 從而，B，C兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為B(，1)，C(0，4)， ∴直線l的方程為y＝－x＋4， ∴y0＝1，α＝. 4．(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于O的三點(diǎn)A(ρ1，φ)，B，C(ρ1，ρ2，

5、ρ3＞0)都在曲線M上． (1)求證：ρ1＝ρ2＋ρ3； (2)若過B，C兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積． 解：(1)證明：由題意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos，ρ3＝2cos， 則ρ2＋ρ3＝2cos＋2cos＝2 cos φ＝ρ1. (2)由曲線M的極坐標(biāo)方程得曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標(biāo)方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝， ∴在平面直角坐標(biāo)中，B，C(2，0)， 則ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝， ∴ρ1＝. ∴四邊形OBAC的面積S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2 ·sin＋ρ

6、1ρ3sin＝. 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l過點(diǎn)M(－2，－4)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且在兩坐標(biāo)系中長度單位相同，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2cos θ. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|MA|·|MB|＝40，求傾斜角α的值． 解：(1)因?yàn)閮A斜角為α的直線過點(diǎn)M(－2，－4)， 所以直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))． 因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2cos θ， 所以ρ2sin2θ＝2ρcos θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是y2＝2x. (2)把直線的

7、參數(shù)方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，由題意知，Δ＞0，設(shè)t1，t2為方程t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0的兩根， 則t1＋t2＝，t1t2＝，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40， 故α＝或α＝， 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α＞0，所以α＝. 6．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝cos. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)過直線

8、l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長的最小值． 解：(1)由ρ＝cos，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ， ∴x2＋y2－x＋y＝0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為＋＝. (2)設(shè)l上任意一點(diǎn)P(t，t＋2)，過P向圓C引切線，切點(diǎn)為Q，連接PC，CQ， ∵圓C的圓心為C，半徑r＝， ∴|PQ|＝＝ ＝≥2， 即切線長的最小值為2. 7．(2019·石家莊市模擬(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)0＜r＜2時(shí)，若曲線C與射線l交于A，B兩點(diǎn)

9、，求＋的取值范圍． 解：(1)由題意知曲線C的普通方程為(x－2)2＋y2＝r2， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 化簡得ρ2－4ρcos θ＋4－r2＝0. (2)法一：把θ＝代入曲線C的極坐標(biāo)方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0. 令Δ＝4－4(4－r2)＞0，結(jié)合0＜r＜2，得3＜r2＜4. 方程的解ρ1，ρ2分別為點(diǎn)A，B的極徑，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0， ∴＋＝＋＝＝. ∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1， ∴＋∈(2，＋∞)． 法二：射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t≥0)，將其代入曲線C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2

10、＝0， 令Δ＝4－4(4－r2)＞0結(jié)合0＜r＜2，得3＜r2＜4， 方程的解t1，t2分別為點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t1＞0，t2＞0， ∴＋＝＋＝＝. ∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1， ∴＋∈(2，＋∞)． 8．(2019·洛陽市統(tǒng)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)曲線C2經(jīng)過伸縮變換得到曲線C3，M(x，y)是曲線C3上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值． 解：(1)根據(jù)消參可得曲線C1的普通方程為x－2y－5＝0， ∵ρ2＝，∴ρ2＋3ρ2sin2θ＝4， 將代入可得：x2＋4y2＝4. 故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. (2)曲線C2：＋y2＝1，經(jīng)過伸縮變換得到曲線C3的方程為＋y′2＝1， ∴曲線C3的方程為＋y2＝1. 設(shè)M(4cos α，sin α)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得 點(diǎn)M到曲線C1的距離d＝＝＝≤＝2＋(其中tan φ＝2)， ∴點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為2＋. - 6 -