（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和專題強(qiáng)化訓(xùn)練

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1、第2講 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和 專題強(qiáng)化訓(xùn)練 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7　　　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 解析：選B.據(jù)已知可轉(zhuǎn)化為>，整理得2n>128，解得n>7，故原不等式的初始值為n＝8. 2．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4a8＝32，則S11的最小值為(　　) A．22 B．44 C．22 D．44 解析：選B.因?yàn)閿?shù)列{an}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a4＋a8≥2＝8，S11＝＝(a4＋a8)≥×8＝44，故S11的最小值為44

2、，當(dāng)且僅當(dāng)a4＝a8＝4時(shí)取等號(hào)． 3．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝，a＝4a2a8，若＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：選A.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝4a2a8，所以(a1q3)2＝4a1q·a1q7，即4q2＝1，所以q＝或q＝－(舍)，所以an＝＝2－n，所以log2an＝log22－n＝－n，所以＝－(1＋2＋3＋…＋n)＝－，所以bn＝－＝－2， 所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為 －2 ＝－2＝－. 4．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為

3、，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為(　　) A． B． C．1 D．2 解析：選D.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第2，3，4項(xiàng)分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝?aq3＝，兩式相除得＝＋＋＋＝2. 5．證明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假設(shè)n＝k時(shí)成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．1 B．k－1 C．k D．2k 解析：選D.當(dāng)n＝k時(shí)， 左邊＝1＋＋＋…＋. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， 增加了＋…＋，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k(項(xiàng)

4、)． 6．在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a6＝21，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2n＋1－Sn≤對(duì)任意的n∈N*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C.在等差數(shù)列{an}中，因?yàn)閍2＝5，a6＝21， 所以解得a1＝1，d＝4， 所以＝＝. 因?yàn)椋? ＝－ ＝－－＝－－ ＝＋>0，所以數(shù)列 (n∈N*)是遞減數(shù)列，數(shù)列(n∈N*)的最大項(xiàng)為S3－S1＝＋＝，所以≤，m≥.又m是正整數(shù)，所以m的最小值是5. 7．(2019·溫州七杭聯(lián)考)在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝2，且點(diǎn)(a，a)在直線x－9y＝0上，則數(shù)

5、列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于(　　) A．3n－1 B． C． D． 解析：選A.由點(diǎn)(a，a)在直線x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝2，所以an＋3an－1>0，所以an－3an－1＝0，即＝3，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公比q＝3的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝3n－1，故選A. 8．(2019·高考浙江卷)設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝a＋b，n∈N*，則(　　) A．當(dāng)b＝時(shí)，a10>10 B．當(dāng)b＝時(shí)，a10>10 C．當(dāng)b＝－2時(shí)，a10>10

6、D．當(dāng)b＝－4時(shí)，a10>10 解析：選A.當(dāng)b＝時(shí)，因?yàn)閍n＋1＝a＋，所以a2≥，又an＋1＝a＋≥an，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10>a≥32>10.當(dāng)b＝時(shí)，an＋1－an＝，故a1＝a＝時(shí)，a10＝，所以a10>10不成立．同理b＝－2和b＝－4時(shí)，均存在小于10的數(shù)x0，只需a1＝a＝x0，則a10＝x0<10，故a10>10不成立．所以選A. 9．(2019·嘉興一中高考適應(yīng)性考試)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則an>0的最大n＝________，滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝________． 解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)

7、和為Sn，若S6>S7>S5， 所以依題意a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0， 所以an>0的最大n＝6. 所以S11＝＝11a6>0， S12＝＝>0， S13＝＝13a7<0， 所以S12S13<0，即滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝12. 答案：6　12 10．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝，則通項(xiàng)公式an＝________． 解析：因?yàn)閍n＋1＝，所以＝＋. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 所以＝＋(n－1)×＝＋＝， 所以an＝. 答案： 11．(2019·麗水調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＋a7＝36，a

8、4a6＝275，且anan＋1有最小值，則這個(gè)最小值為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍3＋a7＝36， 所以a4＋a6＝36， 與a4a6＝275，聯(lián)立，解得或 當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知當(dāng)n≤2時(shí)，an<0，當(dāng)n≥3時(shí)，an>0，所以a2a3＝－12為anan＋1的最小值； 當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知當(dāng)n≤7時(shí)，an>0，當(dāng)n≥8時(shí)，an<0，所以a7a8＝－12為anan＋1的最小值． 綜上，anan＋1的最小值為－12. 答案：－12 12．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為

9、d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________． 解析：由S5S6＋15＝0，得·＋15＝0. 整理可得2a＋9a1d＋10d2＋1＝0. 因?yàn)閍1，d為實(shí)數(shù)，所以Δ＝(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0， 解得d≤－2或d≥2. 答案：d≤－2或d≥2 13．(2019·蘭州診斷考試)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時(shí)，有＝1成立，則S2 017＝________． 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1， 所以－＝1，又＝2，所以是

10、以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， 所以＝n＋1，故Sn＝， 則S2 017＝. 答案： 14．已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________． 解析：所有的正奇數(shù)和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成{an}，在數(shù)列{an}中，25前面有16個(gè)正奇數(shù)，即a21＝25，a38＝26.當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當(dāng)n＝3時(shí)，S3＝6<12

11、a4＝48，不符合題意；當(dāng)n＝4時(shí)，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；…；當(dāng)n＝26時(shí)，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當(dāng)n＝27時(shí)，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27. 答案：27 15．(2018·高考天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求

12、正整數(shù)n的值． 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.由b1＝1，b3＝b2＋2， 可得q2－q－2＝0. 因?yàn)閝>0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以，Tn＝＝2n－1. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，從而a1＝1，d＝1，故an＝n. 所以，Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n

13、＝4. 所以，n的值為4. 16．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，an＝a＋an－1(n≥2且n∈N)． (1)求a2，a3； (2)設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為An，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Bn，證明：＝an＋1. 解：(1)a2＝a＋a1＝＋＝， a3＝a＋a2＝＋＝. (2)證明：因?yàn)閍n＝a＋an－1，所以a＝an－an－1， 所以An＝a＋a＋a＋…＋a＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝an＋1－， 因?yàn)閍n＝a＋an－1＝an－1(an－1＋1)， 所以＝＝－， 所以＝－， 所以Bn＝＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－. 所以＝

14、＝an＋1. 17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通項(xiàng)公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項(xiàng)和． 解：(1)由題意得則又當(dāng)n≥2時(shí)， 由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an. 所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1，n∈N*. (2)設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1. 當(dāng)n≥3時(shí)，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1＝2，T2＝3. 當(dāng)n≥3時(shí)， Tn＝3＋－＝， 所

15、以Tn＝ 18．(2019·浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Sn，試求數(shù)列{S2n－Sn}的最小值． 解：(1)由條件an＋1＝2an得＝2·，又a1＝2，所以＝2，因此數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而＝2·2n－1＝2n，因此，an＝n·2n. (2)由(1)得bn＝，設(shè)cn＝S2n－Sn，則cn＝＋＋…＋， 所以cn＋1＝＋＋…＋＋＋， 從而cn＋1－cn＝＋－>＋－＝0， 因此數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增的，所以{cn}min＝c1＝. - 7 -