（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第3講 圓的方程練習(xí)（含解析）

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1、第3講　圓的方程 一、選擇題 1.已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　) A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝ C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4 解析　AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)， |AB|＝＝2， ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 答案　A 2.(2017·漳州模擬)圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為(　　) A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1 解析　已知圓的圓心C(1，2)關(guān)

2、于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為C′(2，1)，∴圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選A. 答案　A 3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－∞，－2)∪ B. C.(－2，0) D. 解析　方程為＋(y＋a)2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜. 答案　D 4.(2017·淄博調(diào)研)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4

3、)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析　設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡(jiǎn)得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案　A 5.(2015·全國Ⅱ卷)已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(　　) A. B. C. D. 解析　由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，① 由點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為 y－＝，② 聯(lián)立①②，解得△

4、ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為， 其到原點(diǎn)的距離為 ＝.故選B. 答案　B 二、填空題 6.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4，0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________. 解析　設(shè)圓心C坐標(biāo)為(2，b)(b<0)，則|b|＋1＝.解得b＝－，半徑r＝|b|＋1＝，故圓C的方程為：(x－2)2＋＝. 答案　(x－2)2＋＝ 7.(2017·廣州模擬)已知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為________. 解析　圓C的方程可化為＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，當(dāng)k＝0時(shí)圓C的面積最大. 答案　(0，－1) 8.已知點(diǎn)M(1，0)是

5、圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是________. 解析　過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2，1)，∵kCM＝＝1， ∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案　x＋y－1＝0 三、解答題 9.已知三條直線l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0兩兩相交，先畫出圖形，再求過這三個(gè)交點(diǎn)的圓的方程. 解　l2平行于x軸，l1與l3互相垂直.三交點(diǎn)A，B，C連線構(gòu)成直角三角形，經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓就是以AB為直徑的圓. 解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2，－

6、1). 解方程組得 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，－1). 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是， 又|AB|＝＝3. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋(y＋1)2＝. 10.在△ABC中，已知|BC|＝2，且＝m，求點(diǎn)A的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形. 解　如圖，以直線BC為x軸、線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系. 則有B(－1，0)，C(1，0)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y). 由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.① 當(dāng)m2＝1時(shí)，m＝1，方程是x＝0，軌跡是y軸. 當(dāng)m2≠1時(shí)，對(duì)①式配方，得＋y2＝. 所以，點(diǎn)A的軌跡是以為圓心，為半徑

7、的圓(除去圓與BC的交點(diǎn)). 11.若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為(　　) A.1 B.5 C.4 D.3＋2 解析　由題意知圓心C(2，1)在直線ax＋2by－2＝0上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， ∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋ ≥3＋2 ＝3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2－，a＝－1時(shí)，等號(hào)成立. ∴＋的最小值為3＋2. 答案　D 12.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________. 解析　由題意知

8、，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓. ∵△OPQ為直角三角形， ∴圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2，1)，半徑r＝＝， 因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝5 13.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn).記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，則d的最大值為________. 解析　設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y為圓上任一點(diǎn)到

9、原點(diǎn)距離的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74. 答案　74 14.(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2，4). (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|＝|OA|，求直線l的方程； (3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解　(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6，7)，半徑r＝5， 由

10、題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)， 且＝b＋5. 解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2，∴可設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又|BC|＝|OA|＝＝2， 由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d＝＝＝2， 即＝2，解得m＝5或m＝－15. ∴直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)由＋＝，則四邊形AQPT為平行四邊形， 又∵P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，∴|PQ|≤2r＝10. ∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10， 解得2－2≤t≤2＋2. 故所求t的范圍為[2－2，2＋2]. 5