(課標通用版)2020版高考數學大一輪復習 第六章 數列 第2講 等差數列及其前n項和檢測 文

上傳人:Sc****h 文檔編號:120401187 上傳時間:2022-07-17 格式:DOC 頁數:5 大?。?MB
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1、第2講 等差數列及其前n項和 [基礎題組練] 1.(2019·開封市高三定位考試)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且a1+a5=10,S4=16,則數列{an}的公差為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選B.法一:設等差數列{an}的公差為d,則由題意,得解得故選B. 法二:設等差數列{an}的公差為d,因為S4==2(a1+a5-d)=2(10-d)=16,所以d=2,故選B. 2.已知數列{an}滿足a1=15,且3an+1=3an-2,若ak·ak+1<0,則正整數k=(  ) A.21 B.22 C.23 D.24 解析:選C

2、.3an+1=3an-2?an+1=an-?{an}是等差數列,則an=-n.因為ak·ak+1<0,所以<0,所以

3、4 036.故選C. 4.(2019·衡水中學二調)今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里;良馬先至齊,復還迎駑馬,問:幾何日相逢?(  ) A.12日 B.16日 C.8日 D.9日 解析:選D.由題易知良馬每日所行里數構成一等差數列,其通項公式為an=103+13(n-1)=13n+90,駑馬每日所行里數也構成一等差數列,其通項公式為bn=97-(n-1)=-n+,二馬相逢時所走路程之和為2×1 125=2 250,所以+=2 250,即+=2 250,化簡得n2+31n-360=0,解得n=9或n

4、=-40(舍去),故選D. 5.已知等差數列{an}的公差d≠0,且a3+a9=a10-a8.若an=0,則n=________. 解析:因為a3+a9=a10-a8, 所以a1+2d+a1+8d=a1+9d-(a1+7d), 解得a1=-4d, 所以an=-4d+(n-1)d=(n-5)d, 令(n-5)d=0(d≠0),可解得n=5. 答案:5 6.(2019·江蘇適應性測試)設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a3=5,且S1,S5,S7成等差數列,則數列{an}的通項公式an=________. 解析:設等差數列{an}的公差為d,因為a3=5,且S1,S5,S7成

5、等差數列,所以解得所以an=2n-1. 答案:2n-1 7.(2019·長春市質量檢測(二))已知數列{an}的通項公式為an=2n-11. (1)求證:數列{an}是等差數列; (2)令bn=|an|,求數列{bn}的前10項和S10. 解:(1)證明:由an=2n-11,可得an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*), 因此數列{an}為等差數列. (2)因為an=2n-11,所以|an|= 因此,S10=5×9+×5×4×(-2)+5×1+×5×4×2=50. 8.已知等差數列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn,且Sk=110. (1)求a

6、及k的值; (2)已知數列{bn}滿足bn=,證明數列{bn}是等差數列,并求其前n項和Tn. 解:(1)設該等差數列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k. 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10. (2)由(1)得Sn==n(n+1), 則bn==n+1, 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即數列{bn}是首項為2,公差為1的等差數列, 所以Tn==. [綜合題組練] 1.(2019

7、·西安市八校聯考)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數n的值為(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:選C.由S6>S7>S5,得S7=S6+a7S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即滿足SnSn+1<0的正整數n的值為12,故選C. 2.(2019·山西太原模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)在函數y=x2-10x的圖象上,等差數列{bn}滿足bn+bn+1=an(n∈

8、N*),其前n項和為Tn,則下列結論正確的是(  ) A.Sn<2Tn B.b4=0 C.T7>b7 D.T5=T6 解析:選D.因為點(n,Sn)(n∈N*)在函數y=x2-10x的圖象上,所以Sn=n2-10n,所以an=2n-11,又bn+bn+1=an(n∈N*),數列{bn}為等差數列,設公差為d,所以2b1+d=-9,2b1+3d=-7,解得b1=-5,d=1,所以bn=n-6,所以b6=0,所以T5=T6,故選D. 3.(2019·重慶適應性測試(二))設Sn是等差數列{an}的前n項和,S10=16,S100-S90=24,則S100=________. 解析

9、:依題意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差數列,設該等差數列的公差為d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=,因此S100=10S10+d=10×16+×=200. 答案:200 4.(創(chuàng)新型)(2019·安徽省淮南模擬)設數列{an}的前n項和為Sn,若為常數,則稱數列{an}為“精致數列”.已知等差數列{bn}的首項為1,公差不為0,若數列{bn}為“精致數列”,則數列{bn}的通項公式為________. 解析:設等差數列{bn}的公差為d,由為常數,設=k且b1=1,得

10、n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因為對任意正整數n,上式恒成立,所以解得d=2,k=,所以數列{bn}的通項公式為bn=2n-1(n∈N*). 答案:bn=2n-1(n∈N*) 5.已知數列{an}滿足:a3=-13,an=an-1+4(n>1,n∈N*). (1)求a1,a2及通項公式an; (2)設Sn為數列{an}的前n項和,則數列S1,S2,S3,…中哪一項最小? 解:(1)因為數列{an}滿足a3=-13,an=an-1+4, 所以an-an-1=4, 即數列{an}為等差數列且公

11、差為d=4, 所以a2=a3-d=-13-4=-17, a1=a2-d=-17-4=-21, 所以通項公式an=a1+(n-1)d=-21+4(n-1)=4n-25. (2)令an=4n-25≥0可解得n≥, 所以數列{an}的前6項為負值,從第7項開始為正數, 所以數列S1,S2,S3,…中S6最小. 6.(2019·洛陽市第一次統(tǒng)一考試)已知數列{an}的前n項和為Sn,an≠0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(n∈N*). (1)求a2的值并證明:an+2-an=2; (2)求數列{an}的通項公式. 解:(1)令n=1得2a1a2=4S1-3, 又a1=1,所以a2=. 2anan+1=4Sn-3,① 2an+1an+2=4Sn+1-3.② ②-①得,2an+1(an+2-an)=4an+1. 因為an≠0,所以an+2-an=2. (2)由(1)可知: 數列a1,a3,a5,…,a2k-1,…為等差數列,公差為2,首項為1, 所以a2k-1=1+2(k-1)=2k-1, 即n為奇數時,an=n. 數列a2,a4,a6,…,a2k,…為等差數列,公差為2,首項為, 所以a2k=+2(k-1)=2k-, 即n為偶數時,an=n-. 綜上所述,an= 5

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