《(課標通用版)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性及周期性檢測 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(課標通用版)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性及周期性檢測 文(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 函數(shù)的奇偶性及周期性
[基礎題組練]
1.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上單調(diào)性也相同的是( )
A.y=- B.y=log2|x|
C.y=1-x2 D.y=x3-1
解析:選C.函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),選項A的函數(shù)為奇函數(shù),不符合要求;選項B的函數(shù)是偶函數(shù),但其單調(diào)性不符合要求;選項D的函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不符合要求;只有選項C符合要求.
2.(2019·貴陽第一學期檢測)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=log2(x+2)-1,則f(-6)=( )
A.2 B.4
2、
C.-2 D.-4
解析:選C.根據(jù)題意得f(-6)=-f(6)=1-log2(6+2)=1-3log22=-2.故選C.
3.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函數(shù),則g(x)=2ax3+bx2+9x是( )
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)
解析:選A.因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即bx=-bx,得b=0.所以g(x)=2ax3+bx2+9x=2ax3+9x,g(-x)=2a(-x)3+9(-x)=-(2ax2+9x)=-g(x).所以g(x)為奇函數(shù).故選A.
4.函數(shù)
3、f(x)是周期為4的偶函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為( )
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
解析:選C.f(x)的圖象如圖.
當x∈(-1,0)時,由xf(x)>0得x∈(-1,0);
當x∈(0,1)時,由xf(x)>0得x∈?.
當x∈(1,3)時,由xf(x)>0得x∈(1,3).
故x∈(-1,0)∪(1,3).
5.(2019·山西八校第一次聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x+2)=-,當2≤x≤3時,f(x)=x,則
4、f=________.
解析:因為f(x+2)=-,所以f(x+4)=-=f(x),所以f=f,
又2≤x≤3時,f(x)=x,所以f=,
所以f=.
答案:
6.設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)=則g(f(-8))=________.
解析:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(-8)=-f(8)=-log39=-2,
所以g(f(-8))=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.
答案:-1
7.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=(x+1) ;
(2)f(x)=loga(x+)(a>0且a≠1).
解:(1)定義域要求≥0
5、,所以-10時,f(x)=.
(1)求當x<0時,f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)<-.
解:(1)因為f(x)是奇函數(shù),
所以當x<0時,
6、f(x)=-f(-x),-x>0,
又因為當x>0時,f(x)=,
所以當x<0時,f(x)=-f(-x)=-=.
(2)f(x)<-,當x>0時,即<-,
所以<-,
所以>,所以3x-1<8,
解得x<2,所以x∈(0,2).
當x<0時,即<-,
所以>-,
所以3-x>32,所以x<-2,
所以不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).
[綜合題組練]
1.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)
7、在[0,+∞)上單調(diào)遞增,f(2x-1)
8、時,f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=403×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405,故選B.
3.(創(chuàng)新型)(2019·長春模擬)已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=,則f(-a)=________.
解析:根據(jù)題意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函數(shù),故f(-a)=1+h(-a)=1-h(huán)(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2
9、-=.
答案:
4.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且f(x)-g(x)=,則f(1),g(0),g(-1)之間的大小關系是________.
解析:在f(x)-g(x)=中,用-x替換x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.聯(lián)立方程組解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1).
答案:f(1)>g(0)>g(-1)
5.設f(x)是定義域為R的周期函數(shù),最
10、小正周期為2,且f(1+x)=f(1-x),當-1≤x≤0時,f(x)=-x.
(1)判定f(x)的奇偶性;
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的表達式.
解:(1)因為f(1+x)=f(1-x),所以f(-x)=f(2+x).
又f(x+2)=f(x),所以f(-x)=f(x).又f(x)的定義域為R,
所以f(x)是偶函數(shù).
(2)當x∈[0,1]時,-x∈[-1,0],
則f(x)=f(-x)=x;
從而當1≤x≤2時,-1≤x-2≤0,
f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.
故f(x)=
6.(應用型)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對任
11、意實數(shù)x有f=-f成立.
(1)證明y=f(x)是周期函數(shù),并指出其周期;
(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值;
(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函數(shù),求實數(shù)a的值.
解:(1)由f=-f,
且f(-x)=-f(x),
所以f(x+3)=f=-f=-f(-x)=f(x),
所以y=f(x)是周期函數(shù),且3是其一個周期.
(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,
且f(-1)=-f(1)=-2,
又T=3是y=f(x)的一個周期,
所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
(3)因為y=|f(x)|·g(x)是偶函數(shù),且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|為偶函數(shù).
故g(x)=x2+ax+3為偶函數(shù),
所以a=0.
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