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1、培優(yōu)點(diǎn)十一 數(shù)列求通項(xiàng)公式
一、公式法
例1:數(shù)列的前項(xiàng)和,則()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和,
所以當(dāng)時,,
當(dāng)時,,符合上式,所以綜上.
二、構(gòu)造法
例2:已知數(shù)列滿足,.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】(1)證明:∵,∴.
又∵,∴是等比數(shù)列,首項(xiàng)為,公比為.
(2)由(1)可得,解得.
三、累加累乘法
例3:已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】.
【解析】,,
∴且,即,
由累乘法得,
∴,
則數(shù)列是
2、首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為.
對點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1.已知數(shù)列滿足,,則()
A.1024 B.1023 C.2048 D.2047
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可得,
∴,
∴,∴.
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,第項(xiàng)滿足,則()
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】C
【解析】時,;時,,
∴,∴,解得,故選C.
3.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意,得,所以,
又當(dāng)時,,即,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故選D.
4.在數(shù)列中,,則()
A. B. C. D.
3、
【答案】A
【解析】由題意可得,
將以上個等式兩邊相加可得,應(yīng)選A.
5.已知數(shù)列中,,,為其前項(xiàng)和,則的值為()
A.63 B.31 C.64 D.32
【答案】A
【解析】由條件可得,即是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,
所以,,,故選A.
6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,∴當(dāng)時,,,
即,
又,∴,,故應(yīng)選B.
7.?dāng)?shù)列中,,則()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得,,
所以
,故選C.
8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,若對任意的,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()
A. B.
4、 C. D.
【答案】B
【解析】由數(shù)列的遞推公式可得:,
則數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
,,
分組求和可得,
題中的不等式即恒成立,
結(jié)合恒成立的條件可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.
二、填空題
9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【答案】
【解析】由題意,可知當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
又因?yàn)椴粷M足,所以.
10.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則通項(xiàng)公式.
【答案】
【解析】∵,∴,
又,∴,
由,得,兩式相減得,即,
而,∴是公比為2的等比數(shù)列,∴.故答案為.
11.在數(shù)列中,,,,則________.
【答案】
【解析】∵,∴,即,
5、
∵,,∴數(shù)列是以首項(xiàng)1,公比為2的等比數(shù)列,
∴,∴,∴.
故答案為.
12.在數(shù)列中,已知,,則使得成立的正整數(shù)的最小值
為_________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
所以,,易知數(shù)列是遞增數(shù)列,
,,
所以使得成立的正整數(shù)的最小值為.
三、解答題
13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)為何值時,取得最大值并求其最大值.
【答案】(1);(2)時,取得最大值為.
【解析】(1)由題意可知:,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,,
當(dāng)時,顯然成立,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2),
由,則時,取得最大值28,
∴當(dāng)為4時,取得最大值,最大值28.
14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】.
【解析】因?yàn)?,?dāng)時,,
兩式相減可得,,即,
整理可得,
,解得,
所以數(shù)列為首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,∴.
15.已知數(shù)列,,,.
(1)求證:是等比數(shù)列;
(2)設(shè)(),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】(1)依題意,,,,
所以,是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)得,,,
數(shù)列的前項(xiàng)和為.
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