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1、考點(diǎn)規(guī)范練23 解三角形
一、基礎(chǔ)鞏固
1.在△ABC中,c=3,A=75°,B=45°,則△ABC的外接圓的面積為( )
A.π4 B.π C.2π D.4π
答案B
解析在△ABC中,c=3,A=75°,B=45°,
故C=180°-A-B=60°.
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,
則由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,
故△ABC的外接圓的面積S=πR2=π.
2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,則c=( )
A.12 B.1 C.3 D.2
答案B
解析
2、由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,
整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故選B.
3.(2018廣東中山質(zhì)檢)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面積S=3,則b等于( )
A.13 B.4 C.3 D.15
答案A
解析由題意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,
∴cosB=12,∴B=π3.
又S=12ac·sinB=12×1×c×32=3,∴c=4.
又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=13
3、,
∴b=13.
4.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,sin A,sin B,sin C成等比數(shù)列,則這個(gè)三角形的形狀是( )
A.直角三角形 B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
答案D
解析∵△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,∴B=π3.
∵sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,
∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3,
∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.
∴△ABC為等邊三角形.
5.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度
4、分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案B
解析依題意可得AD=2010m,AC=305m,
又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)2-5022×305×2010=600060002=22,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.
6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,則△ABC的面積的最
5、大值為( )
A.43 B.23 C.2 D.3
答案A
解析∵在△ABC中,2a-cb=cosCcosB,
∴(2a-c)cosB=bcosC.
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.
∴cosB=12,即B=π3.
由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,
故ac≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),
因此,△ABC的面積S=12acsinB=34ac≤43,故選A.
7.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,
6、c,且滿足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,則C= .?
答案π3
解析在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,
∴(a-c)(a+c)b=a-b.
∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12.
∴C=π3.
8.在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分線AD=3,則AC= .?
答案6
解析由題意及正弦定理,可知ABsin∠ADB=ADsinB,
即2sin∠ADB=332,故∠ADB=45°.
所以12A=180°-120°-45°,故A=30°,
則C=30°,
7、所以三角形ABC是等腰三角形.
所以AC=22sin60°=6.
9.
某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:在C處(點(diǎn)C在水平地面下方,O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射,水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A,B兩地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米,A地測得該儀器在C處的俯角為∠OAC=15°,A地測得最高點(diǎn)H的仰角為∠HAO=30°,則該儀器的垂直彈射高度CH為 米.?
答案1406
解析由題意,設(shè)AC=x米,則BC=(x-40)米,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BA
8、·CA·cos∠BAC,
即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.
在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,
∠CHA=90°-30°=60°,
由正弦定理得CHsin∠CAH=ACsin∠AHC,
可得CH=AC·sin∠CAHsin∠AHC=1406(米).
10.已知島A南偏西38°方向,距島A 3 n mile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5 h能截住該走私船?
參考數(shù)據(jù):sin38°=5314,sin22°=3314
9、
解設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點(diǎn),緝私艇的速度為xnmile/h,
則BC=0.5xnmile,AC=5nmile,
依題意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,
解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×327=5314,所以∠ABC=38°.
又∠BAD=38°,所以BC∥AD.
故緝私艇以14nmile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5h截住該走私船.
二、能力提升
11.△ABC的內(nèi)角A,B,
10、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
答案B
解析由題意結(jié)合三角形的內(nèi)角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,
整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,
則sinC(sinA+cosA)=0,
因?yàn)閟inC>0,所以sinA+cosA=0,
即tanA=-1,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=3π4.
由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,
即sinC=12,所以C=π6,
11、故選B.
12.(2018全國Ⅰ,文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為 .?
答案233
解析由正弦定理及條件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則csinC=2R,所以a=R.
因?yàn)閎2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0
12、中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,如果△ABC的面積等于8,a=5,tan B=-43,那么a+b+csinA+sinB+sinC= .?
答案5654
解析在△ABC中,∵tanB=-43,
∴sinB=45,cosB=-35.
又S△ABC=12acsinB=2c=8,∴c=4,
∴b=a2+c2-2accosB=65.
∴a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB=5654.
14.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.
(1)求角B的大小;
(2)若BC邊上的高等于14a,求cos A的值.
解(
13、1)因?yàn)閎cosC+bsinC=a,
由正弦定理,得sinBcosC+sinBsinC=sinA.
因?yàn)锳+B+C=π,
所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).
即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.
因?yàn)閟inC≠0,所以sinB=cosB.
因?yàn)閏osB≠0,所以tanB=1.
因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π4.
(2)設(shè)BC邊上的高線為AD,
則AD=14a.因?yàn)锽=π4,
則BD=AD=14a,CD=34a.
所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.
由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22
14、AB·AC=-55.
三、高考預(yù)測
15.△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,若43S=b2+c2-a2.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,b=23,求角C的大小.
解(1)∵△ABC中,b2+c2-a2=43S=43·12bcsinA=2bc·3sinA,
∴cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,∴tanA=33,
∵0A,∴B=π3或2π3,∴C=π2或π6.
8
廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練23 解三角形 文
