九年級數學下冊 二次函數知識點總結 人教新課標版

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1、二次函數知識點 一、二次函數概念： 1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數． 2. 二次函數的結構特征： ⑴ 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2． ⑵ 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項． 二、二次函數的基本形式 1. 二次函數基本形式：的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．

2、 向下 軸 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 2. 的性質： 上加下減。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 3. 的性質： 左加右減。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減??；時，隨的增

3、大而增大；時，有最大值． 4. 的性質： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 三、二次函數圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二

4、： ⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成 （或） ⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數與的比較 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函數圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 六、二次函數的性質 1. 當時

5、，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為． 當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值． 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。划敃r，有最大值． 七、二次函數解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數，）； 2. 頂點式：（，，為常數，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數的圖象與各項

6、系數之間的關系 1. 二次項系數 二次函數中，作為二次項系數，顯然． ⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大?。? 2. 一次項系數 在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在的前提下， 當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側． ⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即 當時，，

7、即拋物線的對稱軸在軸右側； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側． 總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置． 的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異” 總結： 3. 常數項 ⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； ⑵ 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； ⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負． 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確

8、定的． 二次函數解析式的確定： 根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式． 九、二次函數圖象的對稱 二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸

9、對稱后，得到的解析式是； 2. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°） 關于頂點對稱后，得到的解析式是； 關于頂點對稱后，得到的解析式是． 5. 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是 根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選

10、擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 十、二次函數與一元二次方程： 1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數： ① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當時，圖象與軸只有一個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有． 2. 拋物線

11、的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： ⑴ 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式； ⑶ 根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； ⑷ 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根 拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負

12、一元二次方程有兩個相等的實數根 拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數根. ⑸ 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系： 圖像參考： 十一、函數的應用 二次函數應用 二次函數考查重點與常見題型 1． 考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如： 已知以為自變量的二次函數的圖像經過原點， 則的值是 2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數

13、的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數的圖像在第一、二、三象限內，那么函數的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3

14、． 考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。 4． 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如： 已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－ （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。 【例題經典】 由拋物線的位置確定系數的符號 例1 （1）二次函數的圖像如圖1，則點在（

15、 ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (1) (2) 【點評】弄清拋物線的位置與系數a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵． 例2.已知二次

16、函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正確結論的個數為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D．4個 答案：D 會用待定系數法求二次函數解析式 例3.已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

17、例4、（2006年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2． （1）寫出y與x的關系式； （2）當x=2，3.5時，y分別是多少？ （3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時， 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、 對稱軸. 例5、已知拋物線y=x2+x-． （1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸． （2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長． 【點評】本題（1）是對二次函數的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數與一元二次方程的關系． 例6.已

18、知：二次函數y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經過點P(4，10)，交x軸于，兩點，交y軸負半軸于C點，且滿足3AO=OB． (1)求二次函數的解析式；(2)在二次函數的圖象上是否存在點M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請你求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由． (1)解：如圖∵拋物線交x軸于點A(x1，0)，B(x2，O)， 則x1·x2=3<0，又∵x1O，x1

19、O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函數的解析式為y-2x2-4x-6． (2)存在點M使∠MC0<∠ACO． (2)解：點A關于y軸的對稱點A’(1，O)， ∴直線A，C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)． ∴符合題意的x的范圍為-1∠ACO． 例7、 “已知函數的圖象經過點A（c，－2）， 求證：這個二次函數圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。 （1）根據已知和結論中現有的信息，

20、你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。 （2）請你根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整。 點評： 對于第（1）小題，要根據已知和結論中現有信息求出題中的二次函數解析式，就要把原來的結論“函數圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經過點A（c，－2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函數解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個

21、任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。 [解答] （1）根據的圖象經過點A（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，得 解得 所以所求二次函數解析式為圖象如圖所示。 （2）在解析式中令y=0，得，解得 所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標是 令x=3代入解析式，得 所以拋物線的頂點坐標為 所以也可以填拋物線的頂點坐標為等等。 函數主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數的具體特征；借助多種現實背景理解函數；將函數視為“變化過程中變量之間關系”的數學模型；滲透函數的思想；關注函數與相關知識的聯系。

22、 用二次函數解決最值問題 例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積． 【評析】本題是一道代數幾何綜合題，把相似三角形與二次函數的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間． 例2 某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價x的一次函數． （1）求出日銷售量y（件

23、）與銷售價x（元）的函數關系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設此一次函數表達式為y=kx+b．則 解得k=-1，b=40，即一次函數表達式為y=-x+40． （2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 產品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元． 【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設未知數在“

24、當某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5 m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示) ( ) A．1．5 m B．1．625 m　　　　　　 C．1．66 m D．1．67 m 分析：本題考查二次函數的應用 答案：B