（名師導學）2020版高考數學總復習 第五章 平面向量、復數 第30講 平面向量的數量積練習 理（含解析）新人教A版

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1、第30講　平面向量的數量積 夯實基礎　【p65】 【學習目標】 1．理解平面向量數量積的含義及其物理意義； 2．了解平面向量的數量積與向量投影的關系； 3．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算； 4．能運用數量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關系； 5．會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題及力學問題． 【基礎檢測】 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， ∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a

2、·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 從而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】C 2．已知向量a，b滿足|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角為π.若a⊥(a＋λb)，則實數λ＝(　　) A．1 B. C. D．2 【解析】∵a⊥，∴a·＝0，即a2＋λa·b＝0，3＋λ×2××cosπ＝0，解得λ＝. 【答案】C 3．已知點A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為(　　) A.B.C．－D．－ 【解析】由題意知＝(2，1)

3、，＝(5，5)，則在方向上的投影為||·cos〈，〉＝＝. 【答案】A 4．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a與b的夾角是(　　) A. B. C.D. 【解析】∵(a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，|a|2－|a||b|cos θ＝0，∴2－2cos θ＝0，cos θ＝，所以θ＝. 【答案】B 5．若等邊△ABC的邊長為2，平面內一點M滿足＝＋，則·＝________． 【解析】因為·＝·＝·＝－×12－×12＋×12×＝－2. 【答案】－2 【知識要點】 1．兩向量的夾角 已知非零向量a，b，作＝a，＝b，

4、則∠AOB叫做a與b的夾角． a與b的夾角的取值范圍是__[0，π]__． 當a與b同向時，它們的夾角為__0__；當a與b反向時，它們的夾角為__π__；當夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作a⊥b. 2．向量數量積的定義 已知兩個非零向量a與b，我們把__|a||b|cos__θ__叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任何向量的數量積為0，即0·a＝0. 3．向量數量積的幾何意義 向量的投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，當θ為銳角時，它是正值；當θ為鈍角時，__它是負值__；當θ為直角時，它是零． a

5、·b的幾何意義：數量積a·b等于__a的長度|a|__與b在a方向上的投影|b|cos θ的乘積． 4．平面向量數量積的性質及其坐標表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角. 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝____ 數量積 a·b＝|a|·|b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關系 |a·b|≤|a|·|b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1

6、x2＋y1y2|≤ · 5.平面向量數量積的運算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 典例剖析　【p65】 考點1　平面向量的數量積的運算 (1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝(　　) A．－1 B．－C.D．1 【解析】a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1. 【答案】D (2)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數k的值為________． 【解析】因為a·b＝(e1

7、－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝. 【答案】 (3)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，則實數λ的值為________． 【解析】∵向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2， ∴·＝||·||cos 120°＝2×3×＝－3. ∵＝λ＋，且⊥， ∴·＝·＝·＝0， 即λ·－·＋||2－λ||2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝. 【答案】 (4)正方形ABCD邊長為2，中心為O，直線l經過中心O，交AB于M，交C

8、D于N, P為平面上一點，且2＝λ＋(1－λ)，則·的最小值是(　　) A．－B．－1 C．－D．－2 【解析】由題意可得： ·＝ ＝(42－42)＝2－2， 設2＝，則＝λ＋(1－λ)， ∵λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三點共線． 當MN與BD重合時，最大，且max＝2， 據此：(·)min＝－2＝－. 【答案】C 【點評】向量數量積的2種運算方法 方法 運用提示 適用題型 定義法 當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ 適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題 坐標法 當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，

9、即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2 適用于已知相應向量的坐標求解數量積的有關計算問題 考點2　平面向量的夾角與垂直問題 已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb(λ∈R)． (1)λ為何值時，|c|最??？此時c與b的位置關系如何？ (2)λ為何值時，c與a的夾角最??？此時c與a的位置關系如何？ 【解析】(1)c＝(1－3λ，2＋4λ)， |c|2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， 當λ＝－時， |c|最小，此時c＝， b·c＝(－3，4)·＝0，∴b⊥c， ∴當λ＝－時， |c|最小，此時b

10、⊥c. (2)設c與a的夾角為θ，則cos θ＝＝＝， 要c與a的夾角最小，則cos θ最大， ∵0≤θ≤π，故cos θ的最大值為1，此時θ＝0， cos θ＝1，＝1，解之得λ＝0，c＝(1，2)． ∴λ＝0時，c與a的夾角最小，此時c與a平行． 【點評】本題主要考查向量的數量積和坐標運算．求解兩個向量之間的夾角的步驟：第一步，先計算出兩個向量的數量積；第二步，分別求出這兩個向量的模；第三步，根據公式cos〈a，b〉＝，求解出這兩個向量夾角的余弦值；第四步，根據兩個向量夾角的范圍在[0，π]內及其余弦值，求出這兩個向量的夾角．其中當向量的夾角為銳角時a·b>0，且兩向量不共線，

11、當向量的夾角為鈍角時a·b<0，且兩向量不共線． 考點3　平面向量的模及其應用 (1)已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C.D. 【解析】由(a－c)·(b－c)＝0，得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，因為a與b垂直，所以a·b＝0，進而可得c2＝(a＋b)·c，即|c|2＝|a＋b||c|cos θ，又由a、b為互相垂直的兩個單位向量可知|a＋b|＝.所以|c|＝cos θ，|c|∈，即|c|的最大值為. 【答案】C (2)已知|a|＝4，e為單位向量，當a、e的夾角為時，a＋e在a

12、－e上的投影為(　　) A．5 B. C.D. 【解析】由題設＝＝，(a＋e)·(a－e)＝42－12＝15，所以＝＝. 【答案】D 【點評】解答本題的關鍵是準確理解向量在另一個向量上的投影的概念．求解時先求兩個向量a＋e和a－e的模及數量積的值，然后再運用向量的射影的概念，運用公式進行計算，從而使得問題獲解． 在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)． (1)求向量，夾角的大小； (2)若動點D滿足||＝1，求|＋＋|的最大值． 【解析】(1)因為A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)， 所以＝(4，0)，＝(3，－)， 所以cos〈，

13、〉＝＝， 所以向量，的夾角為30°. (2)因為C的坐標為(3，0)且|CD|＝1，所以動點D的軌跡為以C為圓心的單位圓，則D的坐標滿足參數方程(θ為參數且θ∈[0，2π))，所以設D的坐標為(3＋cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，則|＋＋|＝＝. 因為2cos θ＋sin θ的最大值為＝，所以|＋＋|的最大值為＝＝1＋. 【點評】平面向量數量積求向量的模的策略 ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. 方法總結　　【p66】 1．要準確理解兩個向量的數量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數量積的五個重要性質及三個運

14、算規(guī)律．向量的數量積的運算不同于實數乘法的運算律，數量積不滿足結合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c/ b＝c；a·b＝0/ a＝0或b＝0，但滿足交換律和分配律． 2．公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的關系非常密切，必須能夠靈活綜合運用． 3．通過向量的數量積，可以計算向量的長度，平面內兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷相應的兩直線是否垂直． 4．a∥bx1y2－x2y1＝0與a⊥bx1x2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚． 走進高考　　【p66】 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝

15、1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】因為a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3. 【答案】B 2．(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 【解析】法一：設O為坐標原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓．因為a與e

16、的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數形結合可知|a－b|min＝||－||＝－1. 法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0. 設b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1. 【答案】A 3．(2017·山東)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是______

17、__． 【解析】(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ， |e1－e2|＝＝＝2， |e1＋λe2|＝＝＝， ∴－λ＝2××cos 60°＝，解得λ＝. 【答案】 考點集訓　　【p210】 A組題 1．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·＝(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 【解析】法一：因為cos A＝，所以·＝||||·cos A＝AC2＝16. 法二：在上的投影為||cos A＝||，故·＝||·||cos A＝AC2＝16. 【答案】D 2．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(c

18、os 15°，sin 15°)，則向量a與向量b的夾角為(　　) A．90° B．0°C．45° D．60° 【解析】cos θ＝＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos 60°，所以θ＝60°. 【答案】D 3．已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a與b的夾角為45°，若c＝a＋b，d＝a－b，則c在d方向上的投影為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 【解析】∵a·b＝|a|·|b|cos 45°＝1××＝1， |d|＝|a－b|＝＝＝＝1， c·d＝a2－b2＝－1， ∴|c|cos θ＝＝＝－1. 【答案】D 4．若向量|a

19、|＝，|b|＝1，|c|＝，且a·b＝0，則a·c＋b·c的最大值是(　　) A．1 B.C.D．3 【解析】a·c＋b·c＝(a＋b)·c＝·cos〈a＋b，c〉≤3，選D. 【答案】D 5．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，則·的值為________． 【解析】∵S△ABC＝＝×4×1×sin A，∴sin A＝，∴cosA＝±，∴·＝4×1×＝±2. 【答案】±2 6．已知向量，的夾角是120°，且||＝2，||＝3，若＝λ＋，且⊥，則實數λ的值是________． 【解析】＝－，∵⊥， ∴·＝0·＝0， 即－λ2＋2＋·＝0，① ∵2＝4，2

20、＝9，·＝·cos∠BAC＝－3， ∴①式變?yōu)椋海?λ＋9－3＝0，解得λ＝. 【答案】 7．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°. (1)計算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)當k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)． 【解析】由已知得a·b＝4×8×＝－16. (1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝16. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)

21、＝0， ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. 即k＝－7時，a＋2b與ka－b垂直． 8．已知平面上三點A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4)． (1)若A，B，C三點不能構成三角形，求實數k應滿足的條件； (2)若△ABC為直角三角形，求k的值． 【解析】(1)由A，B，C三點不能構成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行， ∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝. (2)∵＝(2－k，3)，∴＝(k－2，－3)， ∴＝＋＝(k，1)．若△ABC為直角三角形， 則當A是直角時，⊥，即·＝0， ∴2

22、k＋4＝0，解得k＝－2； 當B是直角時，⊥，即·＝0， ∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1； 當C是直角時，⊥，即·＝0， ∴16－2k＝0，解得k＝8. 綜上得k的值為－2，－1，3，8. B組題 1．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，則·的值為(　　) A．－B．－ C.D. 【解析】在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，＝2，＝3， ∴·＝· ＝||2－||2－· ＝×4－×4－×2×2×＝－. 【答案】A 2．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且MN＝，則·的取值范圍是

23、(　　) A. B. C. D. 【解析】以C為坐標原點，CA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(3，0)，B(0，3)， ∴AB所在直線的方程為＋＝1，則y＝3－x. 設M(a，3－a)，N(b，3－b)，且0≤a≤3，0≤b≤3，不妨設a＞b，∵MN＝， ∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2， ∴·＝(a，3－a)·(b，3－b)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)＝2(b－1)2＋4， 又0≤b≤2， ∴當b＝0或b＝2時有最大值6；當b＝1時有最小值4， ∴·的取值范圍是[4，6]． 【答案】D 3．已知

24、向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x與y之間的關系式； (2)在(1)的條件下，若⊥，求x，y的值及四邊形ABCD的面積． 【解析】(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4，2－y)， 又∥且＝(x，y)， ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.?、? (2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x－2，y－3)， 又⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.　② 聯立①②，化簡得y2－2y－3＝0. 解得y＝3或y＝－1. 故當y＝3時，x＝－6， 此時＝(0，4)，＝(－8，0

25、)， ∴S四邊形ABCD＝||·||＝16； 當y＝－1時，x＝2， 此時＝(8，0)，＝(0，－4)， ∴S四邊形ABCD＝||·||＝16. 4．已知向量a，b夾角為，|b|＝2，且對任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|.求|tb－a|＋|tb－|(t∈R)的最小值． 【解析】向量a，b夾角為，|b|＝2，對任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|， 兩邊平方整理可得x2a2＋2xa·b－(a2－2a·b)≥0， 則Δ＝4(a·b)2＋4a2(a2－2a·b)≤0，即有(a2－a·b)2≤0，即a2＝a·b， 則(a－b)⊥a，由向量a，b夾角為，|b|＝2， 由a2＝a·b＝|a|·|b|·cos，即有|a|＝1， 則|a－b|＝＝， 畫出＝a，＝b，建立平面直角坐標系，如圖所示． 則A(1，0)，B(0，)，∴a＝(－1，0)，b＝(－1，)． ∴|tb－a|＋ ＝＋ ＝＋ ＝2 表示P(t，0)與M，N的距離之和的2倍， 當M，P，N共線時，取得最小值2|MN|. 即有2|MN|＝2＝. 備課札記 17