（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 單科標(biāo)準(zhǔn)練3 理

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1、單科標(biāo)準(zhǔn)練(三) (滿分：150分　時(shí)間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)b等于(　　) A．3　　　　　　 B．－ C. D．－1 B　[∵＝＝＋i為純虛數(shù)， ∴，即b＝－.故選B.] 2．已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，則A∩(RB)＝(　　) A．(－1,0) B．[0,1) C．(0,1) D．(－1,0] D　[∵A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{y|y＞0}，∴RB＝{y|y≤0}，∴A∩(RB)

2、＝(－1,0]，故選D.] 3．南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多項(xiàng)求值比較先進(jìn)的算法，已知f(x)＝2 019x2 018＋2 018x2 017＋…＋2x＋1，程序框圖設(shè)計(jì)的是f(x)的值，在M處應(yīng)填的執(zhí)行語(yǔ)句是(　　) A．n＝i B．n＝2 019－i C．n＝i＋1 D．n＝2 018－i B　[由題意，n的值為多項(xiàng)式的系數(shù)，由2 019,2 018,2 017，直到1，由程序框圖可知，處理框處應(yīng)該填入n＝2 019－i.故選B.] 4.在如圖所示的矩形中隨機(jī)投擲30 000個(gè)點(diǎn)，則落在曲線C下方(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的正態(tài)曲線)的點(diǎn)的個(gè)

3、數(shù)的估計(jì)值為(　　) 附：正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率分別為0.683,0.954,0.997. A．4 985 B．8 185 C．9 970 D．24 555 B　[由題意P(0＜X＜3)＝0.683＋(0.954－0.683)＝0.818 5，∴落在曲線C下方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為30 000×0.818 5×＝8 185.] 5．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，且y＝f(x)的圖象平移m個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則|m|的最小值為(　　) A. B. C. D.

4、 C　[∵函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin， y＝f(x)的圖象平移m個(gè)單位后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2sin， 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則－±2m＝kπ，k∈Z，令k＝0，得|m|的最小值為，故選C.] 6．已知變量x，y滿足則k＝的取值范圍是(　　) A．k＞或k≤－5 B．－5≤k＜ C．－5≤k≤ D．k≥或k≤－5 A　[由變量x，y滿足作出可行域如圖，由解得A(2,4)， k＝的幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)D(3，－1)連線的斜率． ∵kDA＝＝－5，x－2y＋4＝0的斜率為， ∴k＝的取值范圍是

5、k＞或k≤－5.故選A.] 7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，若＝，則·＝(　　) A. B．－ C. D．－ A　[由題意，如圖所示： 則＝＝(－) ＝－＋， ＝＋＝－＋＝＋. ∴·＝· ＝－||2＋||2－· ＝－×4＋×9－||||cos∠BAC ＝－＋4－×2×3cos ＝.故選A.] 8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的外接球的體積為(　　) A. B. C．180π D．90π A　[根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱PA⊥底面ABC的三棱錐，如圖所示. 其中AC＝AB＝3，BC＝6， ∴A

6、C⊥AB.三棱錐P-ABC的外接球即為以AB、AC、AP為共頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體的外接球，則該外接球的直徑為 (2R)2＝AB2＋AC2＋AP2＝18＋18＋9＝45，∴R＝， ∴外接球的體積為V＝·＝.故選A.] 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝acos xsin x＋x－(a－1)x2，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝3x C．y＝2x D．y＝2x或y＝－2x C　[函數(shù)f(x)＝acos xsin x＋x－(a－1)x2，若f(x)為奇函數(shù)，可得f(－x)＝－f(x)，則－acos xsin x－x－(a－1)x2＝－acos

7、 xsin x－x＋(a－1)x2， 即為(a－1)x2＝0恒成立，故a＝1， 即f(x)＝sin xcos x＋x，∴f′(x)＝cos2x－sin2x＋1， 可得f(x)在x＝0處的斜率為k＝2，則f(x)在x＝0處的切線方程為y＝2x.故選C.] 10．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為半徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，若PF2⊥PA，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線C的離心率為(　　) A．1＋ B．1＋ C. D. A　[由題意，圓心A(a,0)，所以|PA|＝a，|AF2|＝

8、c－a， ∵PF2⊥PA，∴|PF2|＝＝. ∵|PF1|＝2|PF2|， ∴由雙曲線的性質(zhì)得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a， ∴＝2a，即c2－2ac＝4a2，即e2－2e＋1＝5，解得e＝1＋(e＝1－舍去)，故選A.] 11．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，D是邊AC上的一點(diǎn)，將△ABC沿BD折疊，得到三棱錐A-BCD，若該三棱錐的頂點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上，設(shè)BM＝x，則x的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．(，) C．(，2) D．(2，2) C　[將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A-BCD，且點(diǎn)A在底面BC

9、D的射影M在線段BC上，如圖2, AM⊥平面BCD，則AM⊥BD，過M作MN⊥BD，連接AN，則AN⊥BD，因此，折疊前在圖1中，AM⊥BD，垂足為N.在圖1中，過A作AM1⊥BC于M1，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D點(diǎn)與C點(diǎn)無限接近時(shí)，折痕BD接近BC，此時(shí)M與點(diǎn)M1無限接近；在圖2中，由于AB是Rt△ABM的斜邊，BM是直角邊，∴BM＜AB. 圖1　　　　　　　　　　圖2 由此可得：BM1＜BM＜AB， ∵△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理可得AC＝2， ∴BM1＝＝， ∴＜BM＜2， 由BM＝x可得x的取值范圍為(，2)．故選C. ] 12．已知拋物線C：y2

10、＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F與拋物線C分別交于A，B兩點(diǎn)，且直線l不與x軸垂直，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)T(5,0)，則S△AOB＝(　　) A．2 B. C. D．3 A　[如圖所示，F(xiàn)(1,0)．設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－1)，(k≠0)， 則線段AB的垂直平分線的方程為：y＝－(x－5)． 聯(lián)立，整理得ky2－4y－4k＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)E(x0，y0)， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－4， ∴y0＝(y1＋y2)＝，x0＝＋1＝＋1， 把E代入線段AB的垂直平分線的方程： y＝－(x－5)． 可得：＝－，

11、解得k2＝1. S△OAB＝×1×|y1－y2|＝ ＝＝2.故選A. ] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的轎車，產(chǎn)量之比依次為2∶3∶4，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本，若樣本中A種型號(hào)的轎車比B種型號(hào)的轎車少8輛，則n＝________. 72　[設(shè)樣本中A型號(hào)車為x輛，則B型號(hào)為(x＋8)輛，則＝，解得x＝16，即A型號(hào)車16輛，則＝，解得n＝72.] 1

12、4．已知cos＋cos α＝，則cos＝________. 　[cos＋cos α＝， 可得cos αcos ＋sin αsin ＋cos α＝， 即cos α＋sin α＝，可得cos＝， 即cos＝.] 15．二項(xiàng)式的展開式中x5的系數(shù)為，則dx＝________. 　[二項(xiàng)式的展開式中x5的系數(shù)為C·a5·＝，∴a＝1， ∴dx＝dx＝·x＝.] 16．函數(shù)f(x)＝ex－ax2在(0，＋∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 　[∵f(x)＝ex－ax2，∴f′(x)＝ex－2ax， 若f(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(0＜x1＜x

13、2)， 則y＝ex和y＝2ax在(0，＋∞)上有2個(gè)交點(diǎn)， 設(shè)直線y＝2ax和y＝ex相切時(shí)切點(diǎn)是A(m，em)，則y′＝ex，y′|x＝m＝em， 故y－em＝em(x－m)，即y＝emx＋(1－m)em＝2ax， 故(1－m)em＝0，解得m＝1， 故A(1，e)，故2a＝e，a＝， 故直線y＝2ax和y＝ex相交時(shí)，a＞. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.] 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2log2an－11，數(shù)列

14、{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的最小值及取得最小值時(shí)n的值． [解]　(1)數(shù)列{an}滿足Sn＝2an－2， ① 當(dāng)n＝1時(shí)，有S1＝2a1－2＝a1，變形可得a1＝2， 當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＝2an－1－2， ②， ①－②可得：an＝2an－2an－1，變形可得：an＝2an－1， 則數(shù)列{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n. (2)根據(jù)題意，bn＝2log2an－11＝2log22n－11＝2n－11， 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝2－11＝－9， 數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)b1＝－9，公差d＝2， 則Tn＝＝＝n2－10n， 則當(dāng)n＝5時(shí)

15、，Tn取得最小值，且其最小值為－25. 18. (本小題滿分12分)如圖，在圓柱W中，點(diǎn)O1、O2分別為上、下底面的圓心，平面MNFE是軸截面，點(diǎn)H在上底面圓周上(異于N、F)，點(diǎn)G為下底面圓弧ME的中點(diǎn)，點(diǎn)H與點(diǎn)G在平面MNFE的同側(cè)，圓柱W的底面半徑為1，高為2. (1)若平面FNH⊥平面NHG，證明：NG⊥FH； (2)若直線NH與平面NFG所成線面角α的正弦值等于，證明：平面NHG與平面MNFE所成銳二面角的平面角大于. [證明]　(1)由題知：平面FNH⊥平面NHG，平面FNH∩平面NHG＝NH. 因?yàn)镹H⊥FH，F(xiàn)H平面FHN， 所以FH⊥平面NHG， 所以FH⊥

16、NG. (2)以點(diǎn)O2為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以O(shè)2G，O2E，O2O1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O2-xyz所以N(0，－1，2)，G(1,0,0)，F(xiàn)(0,1,2)， 設(shè)H(m，n,2)(由圖知m＞0)，則m2＋n2＝1， ＝(m，n＋1,0)， 設(shè)平面NFG的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 因?yàn)樗? 所以即法向量n1＝(2,0,1)． 因此sin α＝＝＝＝＝， 所以2m2＝3n＋3，解得n＝－，m＝，所以點(diǎn)H. 設(shè)平面NHG的法向量n2＝(x2，y2，z2)， 因?yàn)樗? 所以 即法向量n2＝， 因?yàn)槠矫鍹NFE的法向量n3＝(1,0,0)，所以cos θ

17、＝＝＜. 所以平面NHG與平面MNFE所成銳二面角的平面角大于. 19．(本小題滿分12分)已知B(－1,0)，C(1,0)，且△ABC的周長(zhǎng)為2＋2，記點(diǎn)A的軌跡為曲線E. 直線l：y＝kx＋m(k≠0)與曲線E交于不同兩點(diǎn)M，N. (1)求曲線E的方程； (2)是否存在直線l使得|BM|＝|BN|？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由． [解]　(1)由題意知|AB|＋|AC|＝2，可得曲線的軌跡E為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， 根據(jù)題設(shè)可知a＝，c＝1，故橢圓方程為：＋y2＝1(y≠0)． (2)聯(lián)立得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由Δ＝(4km)

18、2－4(1＋2k2)(2m2－2)＞0，得：2k2＋1＞m2，?、? 設(shè)MN的中點(diǎn)為P，由根與系數(shù)的關(guān)系可知點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴MN的垂直平分線l′方程為：y－＝－， 若l′過B(－1,0)，把B(－1,0)代入l′得：2k2＋1＝mk，　② 聯(lián)立①②，消去m可得，k2＜－1，此方程無解，∴k不存在． 故這樣的直線不存在． 20．(本小題滿分12分)目前，浙江和上海已經(jīng)成為新高考綜合試點(diǎn)的“排頭兵”，有關(guān)其它省份新高考改革的實(shí)施安排，教育部部長(zhǎng)在十九大上做出明確表態(tài)：到2020年，我國(guó)將全面建立起新的高考制度．新高考規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷

19、史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定．例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案． 某校為了解高一年級(jí)840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如表： 性別 選考方案 確定情況 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確 定的有16人 16 16 8 4 2 2 選考方案待 確定的有12人 8 6 0 2 0 0

20、女生 選考方案確 定的有20人 6 10 20 16 2 6 選考方案待 確定的有12人 2 8 10 0 0 2 (1)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？ (2)將列聯(lián)表填寫完整，并通過計(jì)算判定能否有99.9%把握認(rèn)為選歷史是否與性別有關(guān)？ 選歷史 不選歷史 總計(jì) 選考方案確定的男生 選考方案確定的女生 總計(jì) (3)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，設(shè)隨機(jī)變量ξ＝，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ. 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.05 0.0

21、1 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)由題可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有8人，選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有20人，則該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有××840＝392人． (2)列聯(lián)表為： 選歷史 不選歷史 總計(jì) 選考方案確定的男生 4 12 16 選考方案確定的女生 16 4 20 總計(jì) 20 16 36 由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值k＝＝＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān)． (3)由數(shù)據(jù)可知，選考

22、方案確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物；有4人選擇物理、化學(xué)和歷史；有2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治，由已知ξ的取值為0,1. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝， (或P(ξ＝0)＝＝) 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 P Eξ＝0×＋1×＝. 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋x)ln －ax，g(x)＝x3＋(1－a)x2－2ax＋b，a，b∈R. (1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求b－2a的最小值． [解]　(1)函數(shù)的定義域是R， g′(x)＝(2x＋2

23、)(x－a)， 令g′(x)＝0，解得：x＝－1或x＝a， ①a＜－1時(shí)，令g′(x)＞0，解得：x＞－1或x＜a， 令g′(x)＜0，解得：a＜x＜－1， 故g(x)在(－∞，a)上遞增，在(a，－1)上遞減，在(－1，＋∞)上遞增， ②a＝－1時(shí)，g′(x)≥0，g(x)在R上遞增， ③當(dāng)a＞－1時(shí)，令g′(x)＞0，解得：x＞a或x＜－1， 令g′(x)＜0，解得：－1＜x＜a， 故g(x)在(－∞，－1)上遞增，在(－1，a)上遞減，在(a，＋∞)上遞增． (2)f(x)≤g(x)?g(x)－f(x)≥0， 設(shè)F(x)＝g(x)－f(x)， 則F′(x)＝(2x＋

24、1)ln x＋(x2＋x)＋2x2＋2(1－a)x－a＝(2x＋1)(ln x＋x＋1－a)， ∵x∈(0，＋∞)，令F′(x)＝0，得ln x＋x＋1－a＝0， 設(shè)h(x)＝ln x＋x＋1－a，由于h(x)在(0，＋∞)上遞增， 當(dāng)x→0時(shí)，h(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞， 故存在唯一x0∈(0，＋∞) ，使得h(x0)＝0， 即a＝x0＋ln x0＋1， 當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，故F(x)在(0，x0)上遞減， 當(dāng)x＞x0時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)在(x0，＋∞)上遞增， 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)， F(x)min＝F(x0)＝(x＋x0)ln x

25、0＋x＋(1－a)x－ax0＋b＝(x＋x0)ln x0＋x＋(－x0－ln x0)x－(x0＋ln x0＋1)x0＋b＝－x－x－x0＋b， ∵f(x)≤g(x)恒成立， 故F(x)min＝－x－x－x0＋b≥0， 即b≥x＋x＋x0， 故b－2a≥x＋x＋x0－2a＝x＋x－x0－2ln x0－2， 設(shè)t(x)＝x3＋x2－x－2ln x－2，x∈(0，＋∞)， 則t′(x)＝， 令t′(x)＝0，解得：x＝1， 故t(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增， 故t(x)min＝t(1)＝－2， 故x0＝1即a＝1＋x0＋ln x0＝2，b＝x＋x＋x0＝時(shí)，(b

26、－2a)min＝－. 請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，將線段OP繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OQ，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)在(1)的條件下，若射線θ＝(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)(除極點(diǎn)外)，且有定點(diǎn)M(4,0)，求△MAB的面積． [解]　(1)由題設(shè)，得C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1

27、， 即x2＋y2－2y＝0， 故C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＝0， 即ρ＝2sin θ. 設(shè)點(diǎn)Q(ρ，θ)(ρ≠0)，則由已知得P， 代入C1的極坐標(biāo)方程得ρ＝2sin， 即C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ(ρ≠0)． (2)將θ＝代入C1，C2的極坐標(biāo)方程得A，B. 又∵M(jìn)(4,0)，所以S△MOA＝|OA|·|OM|sin ＝3， S△MOB＝|OB|·|OM|sin ＝， ∴S△MAB＝S△MOA－S△MOB＝3－. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|ax＋1|，若不等式f(x)≤a的解集為. (1)求a的值； (2)若存在x∈R，使得不等式f(x)＜a|x|＋a＋k成立，求k的取值范圍． [解]　(1)∵f(x)＝|ax＋1|， ∴f(x)≤a，即，解得≤x≤， 又∵不等式f(x)≤a的解集為，∴a＝2， (2)依題意，f(x)＝|2x＋1|， 故不等式f(x)＜a|x|＋a＋k可化為|2x＋1|＜2|x|＋2＋k. 要使不等式存在解，即＜|x|＋1＋存在解，即－|x|－1＜存在解， 令g(x)＝－|x|－1＝ ∴g(x)的最小值為－，依題意得＞－， ∴k＞－3. - 14 -