《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十四 外接球精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十四 外接球精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、培優(yōu)點(diǎn)十四 外接球
一、墻角模型
例1:已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為,體積為,則這個球的表面積是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,,.
二、對棱相等模型
例2:如下圖所示三棱錐,其中,,,則該三棱錐
外接球的表面積為.
【答案】
【解析】對棱相等,補(bǔ)形為長方體,如圖,設(shè)長寬高分別為,,,,.
三、漢堡模型
例3:一個正六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上,
且該六棱柱的體積為,底面周長為,則這個球的體積為.
【答案】
【解析】設(shè)正六邊形邊長為,正六棱柱的高為,
2、底面外接圓的半徑為,
則,正六棱柱的底面積為,
則,∴,
,也可,,
設(shè)球的體積為,則.
四、切瓜模型
例4:正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為,各頂點(diǎn)都在同一球面上,則此球體積為.
【答案】
【解析】方法一:找球心的位置,易知,,,
故球心在正方形的中心處,,.
方法二:大圓是軸截面所截的外接圓,即大圓是的外接圓,
此處特殊,的斜邊是球半徑,,,.
五、垂面模型
例5:一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()
A. B. C. D.以上都不對
【答案】C
【解析】法一:(勾股定理)利用球心的位置求球半徑,球心在圓錐的高線
3、上,
,,.
法二:(大圓法求外接球直徑)如圖,球心在圓錐的高線上,
故圓錐的軸截面三角形的外接圓是大圓,于是,下略.
六、折疊模型
例6:三棱錐中,平面平面,和均為邊長為的正三角形,
則三棱錐外接球的半徑為.
【答案】
【解析】如圖,,,,
,.
法二:,,,
,.
七、兩直角三角形拼接在一起
例7:在矩形中,,,沿將矩形折成一個直二面角,
則四面體的外接球的體積為()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,,故選C.
對點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正
4、四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上,則該球的體積為()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征得:該球的直徑為正四棱柱的體對角線,
故,即得,所以該球的體積.
2.已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且,,則該三棱錐的外接球的半徑
為()
A.3 B.6 C. D.9
【答案】A
【解析】因為三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,
所以該三棱錐的外接球就是以三棱錐的三條側(cè)棱為棱的長方體的外接球,
長方體的外接球的直徑等于長方體對角線;所以外接球的半徑為.
3.在半徑為1的球面上有不共面的四個點(diǎn),,,且,,,則等于()
A.2 B.4 C.8 D.
【答案】C
5、【解析】如圖,構(gòu)造長方體,設(shè)長方體的長,寬,高分別為,,,則,
根據(jù)題意,,,則.
4.正四面體的棱長為,頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正四面體底面三角形的外接圓的半徑,
正四棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為,
設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為,則有,
即,解得.
則所求球的表面積為.
5.一直三棱柱的每條棱長都是3,且每個頂點(diǎn)都在球的表面上,則球的半徑為()
A. B. C. D.3
【答案】A
【解析】球的半徑滿足直三棱柱底面三角形外接圓半徑.
.
6.已知直三棱柱的個頂點(diǎn)都在球的球面上,若,,,,則球的半徑為(
6、)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】可判斷球心應(yīng)在連接上下直角三角形斜邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn),
那么半徑,就是.
7.已知三棱錐中,,,,,,則三棱錐的
外接球的表面積為()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖所示,由已知,,,∴面,∴,
∴,∴,∴,
取的中點(diǎn),由直角三角形的性質(zhì),到,,,的距離均為,
其即為三棱錐的外接球球心,故三棱錐的外接球的表面積為.
8.在三棱錐中,與都是邊長為的正三角形,平面平面,
則該三棱錐的外接球的體積為()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取的中點(diǎn)為,,分別是正三角形和正三角形的中心,
7、
是該三棱錐外接球的球心,連接,,,,,,
則,分別在,上,平面,平面,,,,所以為二面角的平面角,
因為平面平面,所以,
又,所以,
所以四邊形為正方形,所以,在直角三角形中,
球半徑,
所以外接球的體積為.
9.在矩形中,,現(xiàn)將沿對角線折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,得到三棱錐,則三棱錐的外接球的表面積為()
A. B.
C. D.大小與點(diǎn)的位置有關(guān)
【答案】C
【解析】由題意,的中點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心,
∵,∴球的半徑為,∴三棱錐的外接球的表面積為.
二、填空題
10.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,且該棱錐的高為,底面邊長為,則該球的體積為.
8、
【答案】
【解析】如圖所示,正四棱錐的外接球的球心在它的高上,
設(shè)球的半徑為,底面邊長為,所以,
在中,,即,
所以,所以球的體積.
11.如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,它們的面積分別為、、,那么它的外接球的表面積是.
【答案】
【解析】由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直,設(shè)三條側(cè)棱長分別為(),
則,∴,∴,,,,
.
12.在三棱錐中,,,,則三棱錐外接球的表面積為.
【答案】
【解析】設(shè)補(bǔ)形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為,
則,,,∴,
,,.
13.在直三棱柱中,,,,,則直三棱柱的外接球的表面積為.
【答案】
【解析】,,,,
,.
14.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,是邊長為的正三角形,為球的
直徑,且,則此棱錐的體積為.
【答案】
【解析】,,.
15.在直角梯形中,,,,,沿對角線折成四面體,使平面平面,若四面體的頂點(diǎn)在同一個球面上,則該球的表面積為.
【答案】
【解析】如圖,易知球心在的中點(diǎn)處,.
16.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體,則此四面體的外接球表面積為.
【答案】
【解析】如圖,取的中點(diǎn),和的外接圓半徑為,
和的外心到弦的距離(弦心距)為,
四邊形的外接圓直徑,,.
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