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1、考點規(guī)范練31 基本立體圖形
一、基礎(chǔ)鞏固
1.下列說法正確的是( )
A.棱柱的兩個底面是全等的正多邊形
B.平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形
C.{直棱柱}?{正棱柱}
D.{正四面體}?{正三棱錐}
2.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的母線與軸所成的角為( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.在一個密閉透明的圓柱形桶內(nèi)裝一定體積的水,將該圓柱形桶分別豎直、水平、傾斜放置時,圓柱形桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何體形狀不可能是( )
A.圓面
B.矩形面
C.梯形面
D.橢圓面或部分橢圓面
4.過半徑為2的球的一條半
2、徑的中點,作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積與球的體積的比為( )
A.9∶32 B.9∶16
C.3∶8 D.3∶16
5.中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載:“今有羨除”.劉徽注:“羨除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”現(xiàn)有一個羨除如圖所示,四邊形ABCD、ABFE、CDEF均為等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個羨除的體積是( )
A.110 B.116 C.118 D.120
6.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.
3、問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有( )(注:尺是中國古代計量單位,1米=3尺)
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
7.已知球的半徑為2,相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓.若兩圓的公共弦長為2,則兩圓的圓心距等于( )
A.2 B.3
C.2 D.1
8.已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在某球面上,PC為該球的直徑,△ABC是邊長為4的等邊三角形,三棱錐P-ABC
4、的體積為163,則此三棱錐的外接球的表面積為( )
A.16π3 B.40π3
C.64π3 D.80π3
9.點A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90°,若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為( )
A.2π B.4π
C.8π D.16π
10.在如圖所示的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm,則在直角坐標系xOy中,四邊形ABCO的形狀為 ,面積為 cm2.?
11.(2018天津,文11)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為 .
5、?
12.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,若四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周成為幾何體.
(1)求該幾何體的體積;
(2)求出該幾何體的表面積.
二、能力提升
13.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為( )
A.33 B.23 C.3 D.1
14.現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長為9和15,高是5,則該直四棱柱的側(cè)面積為 .?
15.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該
6、紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .?
16.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);
(2)
7、求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.
三、高考預(yù)測
17.若一個四面體的四個側(cè)面是全等的三角形,則稱這樣的四面體為“完美四面體”,現(xiàn)給出四個不同的四面體AkBkCkDk(k=1,2,3,4),記△AkBkCk的三個內(nèi)角分別為Ak,Bk,Ck,其中一定不是“完美四面體”的為( )
A.A1∶B1∶C1=3∶5∶7
B.sin A2∶sin B2∶sin C2=3∶5∶7
C.cos A3∶cos B3∶cos C3=3∶5∶7
D.tan A4∶tan B4∶tan C4=3∶5∶7
考點規(guī)范練31 基本立體圖形
1.D 解析選項A
8、中兩個底面全等,但不一定是正多邊形;選項B中一般的棱柱不能保證側(cè)棱與底面垂直,即截面是平行四邊形,不一定是矩形;選項C中{正棱柱}?{直棱柱},故A,B,C都錯;選項D中,正四面體是各條棱均相等的正三棱錐,故正確.
2.A 解析設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的半徑為r,則圓錐底面周長為12×2πr=πr,
設(shè)底面半徑為r',則2πr'=πr,∴r'=12r.
圓錐的母線長為側(cè)面展開圖的半徑r,
設(shè)該圓錐的母線與軸所成的角為θ,則sinθ=r'r=12,∴θ=30°.
3.C 解析將圓柱形桶豎放,水面為圓面;將圓柱形桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱形桶水平放置,水面為矩形面,所以圓柱形桶內(nèi)的
9、水平面可以呈現(xiàn)出的幾何體形狀不可能是梯形面,故選C.
4.A 解析R=2,設(shè)截面圓M的半徑為r,
則R2=14R2+r2,∴r2=3.
所得截面的面積與球的體積比為πr243πR3=932,故選A.
5.D 解析過點A作AP⊥CD,AM⊥EF,
過點B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分別為P,M,Q,N,
將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè),組成一個三棱柱,底面積為12×10×3=15,棱柱的高為8,
∴V=15×8=120.故選D.
6.B 解析設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h.
∵米堆底部弧長為8尺,
∴14·2πR=8,∴R=16π.
∴體積V=14×13·πR2h=112×π
10、×16π2×5.
∵π≈3,∴V≈3209(立方尺).
∴堆放的米約為3209×1.62≈22(斛).
7.B 解析設(shè)兩圓的圓心分別為O1,O2,球心為O,公共弦為AB,其中點為E,則OO1EO2為矩形,于是對角線O1O2=OE,而OE=OA2-AE2=22-12=3,
∴O1O2=3.故選B.
8.D 解析依題意,記三棱錐P-ABC的外接球的球心為O,半徑為R,點P到平面ABC的距離為h,則由VP-ABC=13S△ABCh=13×34×42×h=163,得h=43.又PC為球O的直徑,因此球心O到平面ABC的距離等于12h=23.又正三角形ABC的外接圓半徑為r=AB2sin60°
11、=43,因此R2=r2+232=203,三棱錐P-ABC的外接球的表面積等于4πR2=803π,選D.
9.D 解析由題意,知S△ABC=3,設(shè)△ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點,當DQ與面ABC垂直時,四面體ABCD的最大體積為13S△ABC·DQ=3,
∴DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,
則在Rt△AQO中,
OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,∴R=2,
則這個球的表面積為S=4π×22=16π.故選D.
10.矩形 8 解析由斜二測畫法的特點知該平面圖形是一個長為4cm,寬為2cm的矩形,所以四邊形ABCO的面積為8cm2.
1
12、1.13 解析∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,
∴V四棱錐A1-BB1D1D=V正方體-V三棱錐A1-ABD-V三棱柱BCD-B1C1D1
=1-13×12×1×1×1-12×1×1×1=13.
12.解(1)如圖所示,過點C作CE⊥AD的延長線于點E,
作CF⊥AB于點F.
由已知得,DE=2,CE=2,
∴CF=4,BF=5-2=3.
∴BC=CF2+BF2=5.
故該平面圖形繞AD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓臺AE除去圓錐DE.
其中圓臺AE的體積V1=π3(AB2+CE2+AB·CE)·AE=π3(52+22+5×2)×4=52π.
圓錐DE的體積
13、
V2=π3×EC2×DE=π3×22×2=8π3.
故所求幾何體的體積
V=V1-V2=52π-8π3=148π3.
(2)由(1)知,幾何體的表面由圓臺AE的下底面、側(cè)面,圓錐DE的側(cè)面構(gòu)成.
圓臺AE的下底面圓的面積S1=25π,
圓臺AE的側(cè)面積S2=π×(2+5)×5=35π,
圓錐DE的側(cè)面積S3=π×2×22=42π,
故所求幾何體的表面積
S=S1+S2+S3=(60+42)π.
13.C 解析如圖,過A作AD垂直SC于D,連接BD.
由于SC是球的直徑,
所以∠SAC=∠SBC=90°.
又∠ASC=∠BSC=30°,
又SC為公共邊,
所以△
14、SAC≌△SBC.
由于AD⊥SC,所以BD⊥SC.
由此得SC⊥平面ABD.
所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13S△ABD·SC.
由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,
所以AC=2,SA=23.
由于AD=SA·CASC=3.
同理在Rt△BSC中也有BD=SB·CBSC=3.
又AB=3,
所以△ABD為正三角形.
所以VS-ABC=13S△ABD·SC
=13×12×(3)2·sin60°×4=3,
所以選C.
14. 160 解析如圖,設(shè)底面對角線AC=a,BD=b,交點為O,對角線A1C=15,B1D=9,
∴a2+52
15、=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵該直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=AC22+BD22=a2+b24=200+564=64,
∴AB=8.
∴直四棱柱的側(cè)面積S=4×8×5=160.
15. 415 解析如圖所示,連接OD,交BC于點G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC.
設(shè)OG=x,
則BC=23x,DG=5-x,
三棱錐的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.
因為S△ABC=12×23x×3x=33x2,
所以三棱錐的體積V=13S△ABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5.
令f(x)=
16、25x4-10x5,x∈0,52,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,
則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減,
所以f(x)max=f(2)=80.
所以V≤3×80=415,所以三棱錐體積的最大值為415.
16.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:
(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因為EHGF為正方形,
所以EH=EF=BC=10.
于是MH=EH2-EM2=6,
AH=10,HB=6.
因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即
17、9779也正確.
17.B 解析若sinA2∶sinB2∶sinC2=3∶5∶7,由正弦定理可得,B2C2∶A2C2∶A2B2=3∶5∶7,設(shè)B2C2=3x,A2C2=5x,A2B2=7x,因為“完美四面體”的四個側(cè)面是全等的三角形,∴D2A2=3x,D2B2=5x,D2C2=7x.把該四面體的頂點當成長方體的四個頂點,四條棱當作長方體的四條面對角線,則長方體面上的對角線長為3x,5x,7x,設(shè)長方體的棱長為a,b,c,則a2+b2=9x2,b2+c2=25x2,a2+c2=49x2,方程組無解,即這樣的四面體不存在,
∴四個側(cè)面不全等,故D2A2B2C2一定不是完美四面體,故選B.
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（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學一輪復(fù)習 考點規(guī)范練31 基本立體圖形（含解析）新人教A版
