(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(cè)(十九)基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程
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1、專題檢測(cè)(十九) 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 A組——“12+4”滿分練 一、選擇題 1.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.(0,+∞) B. C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 解析:選D 設(shè)f(x)=xa,則2a=,所以a=-2,所以f(x)=x-2,它是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0).故選D. 2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則( ) A.a
2、函數(shù)的單調(diào)性可得b=20.2>20=1,0 3、,則函數(shù)h=f(t)的圖象大致是( )
解析:選B 水位由高變低,排除C、D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故選B.
5.若函數(shù)y=(a>0,且a≠1)的定義域和值域都是[0,1],則loga+loga=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選C ∵當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=在[0,1]上單調(diào)遞減,∴=1且=0,解得a=2;當(dāng)0
4、f(x)的解析式為( )
A.f(x)=ex+1 B.f(x)=ex-1
C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=e-x-1
解析:選D 與y=ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=e-x.依題意,f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得y=e-x的圖象,∴f(x)的圖象是由y=e-x的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
7.某商場(chǎng)為了解商品的銷售情況,對(duì)某種電器今年一至五月份的月銷售量Q(x)(臺(tái))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得數(shù)據(jù)如下:
x(月份)
1
2
3
4
5
Q(x)(臺(tái))
6
9
10
8
6
根據(jù)表中的數(shù)據(jù), 5、你認(rèn)為能較好地描述月銷售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)是( )
A.Q(x)=ax+b(a≠0)
B.Q(x)=a|x-4|+b(a≠0)
C.Q(x)=a(x-3)2+b(a≠0)
D.Q(x)=a·bx(a≠0,b>0且b≠1)
解析:選C 觀察數(shù)據(jù)可知,當(dāng)x增大時(shí),Q(x)的值先增大后減小,且大約是關(guān)于Q(3)對(duì)稱,故月銷售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)的圖象是關(guān)于x=3對(duì)稱的,顯然只有選項(xiàng)C滿足題意,故選C.
8.已知函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù),且在x=0處有意義,則該函數(shù)為( )
A.(-∞,+∞)上的減函數(shù)
B.(-∞,+ 6、∞)上的增函數(shù)
C.(-1,1)上的減函數(shù)
D.(-1,1)上的增函數(shù)
解析:選D 由題意知,f(0)=lg(2+a)=0,∴a=-1,∴f(x)=lg=lg,令>0,則-1 7、在定義域上單調(diào)遞減,且恒過(guò)點(diǎn)(-1,0),故選A.
10.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
解析:選C 令h(x)=-x-a,則g(x)=f(x)-h(huán)(x).在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=f(x),y=h(x)的示意圖,如圖所示.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則y=f(x)的圖象與y=h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),平移y=h(x)的圖象,可知當(dāng)直線y=-x-a過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),此時(shí)1=-0-a,a=-1.當(dāng)y=-x-a在y=-x+1 8、上方,即a<-1時(shí),僅有1個(gè)交點(diǎn),不符合題意.當(dāng)y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),符合題意.綜上,a的取值范圍為[-1,+∞).故選C.
11.(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減,若a=f,b=f(log24.1),c=f(20.5),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<a<b D.c<b<a
解析:選D 由題意,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f=f(-log25)=f(log25),因?yàn)閘og25>log 9、24.1>2>20.5>0,所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.5),即c<b<a,故選D.
12.(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=當(dāng)x∈[m,m+1]時(shí),不等式f(2m-x)<f(x+m)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-∞,-4) B.(-∞,-2)
C.(-2,2) D.(-∞,0)
解析:選B 易知函數(shù)f(x)=在x∈R上單調(diào)遞減,
又f(2m-x)<f(x+m)在x∈[m,m+1]上恒成立,
所以2m-x>x+m,即2x<m在x∈[m,m+1]上恒成立,所以2(m+1)<m,解得m<-2,故選B.
二、填空題
13.(2 10、019·廣州市綜合檢測(cè)(一))已知函數(shù)f(x)=x3+alog3x,若f(2)=6,則f=________.
解析:由f(2)=8+alog32=6,解得a=-,所以f=+alog3=-alog32=+×log32=.
答案:
14.(2019·河北模擬調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)=loga(-x+1)(a>0,且a≠1)在[-2,0]上的值域是[-1,0],則實(shí)數(shù)a=________;若函數(shù)g(x)=ax+m-3的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.
解析:函數(shù)f(x)=loga(-x+1)(a>0且a≠1)在[-2,0]上的值域是[-1,0].當(dāng)a>1時(shí),f(x 11、)=loga(-x+1)在[-2,0]上單調(diào)遞減,∴無(wú)解;當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)=loga(-x+1)在[-2,0]上單調(diào)遞增,∴解得a=.∵g(x)=-3的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限,∴g(0)=-3≤0,解得m≥-1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,+∞).
答案: [-1,+∞)
15.已知某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房.當(dāng)每套房月租金定為3 000元時(shí),這70套公寓房能全部租出去;當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會(huì)多一套房子不能出租.設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)沒(méi)有出租的房子不需要花這些費(fèi)用),則要使公司獲得最大利潤(rùn),每套房月 12、租金應(yīng)定為_(kāi)_______元.
解析:設(shè)利潤(rùn)為y元,租金定為3 000+50x(0≤x≤70,x∈N)元.則y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,當(dāng)且僅當(dāng)58+x=70-x,即x=6時(shí),等號(hào)成立,故每月租金定為3 000+300=3 300(元)時(shí),公司獲得最大利潤(rùn).
答案:3 300
16.已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1,m]上的最大值是2,則m的取值范圍是________.
解析:f(x)=作出函數(shù)的圖象,如圖所示,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[-1,m]上的最大值為2,又f(-1) 13、=f(4)=2,所以-1 14、( )
A. B.(0,+∞)
C. D.
解析:選A 當(dāng)x∈時(shí),2x2+x∈(0,1),因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí),恒有f(x)>0,所以00得x>0或x<-.又2x2+x=2-,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
3.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=4,M是PB上(P,B點(diǎn)除外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作平面α∥平面PAD,截棱錐所得截面面積為y,若平面α與平面PAD之間的距離為x,則函數(shù)y=f(x)的大致圖象是( )
解析:選D 法一:如圖,過(guò)點(diǎn)M作MT∥PA交AB于點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)M
作MN∥BC交 15、PC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NS∥PD交CD于點(diǎn)S,連接TS,則平面MTSN∥平面PAD,所以y=S四邊形MTSN.由PA⊥平面ABCD,可得MT⊥平面ABCD,所以平面α與平面PAD之間的距離x=AT,且四邊形MTSN為直角梯形.由MT∥PA,MN∥BC,得=,=,所以MT=×4=2(2-x),MN=×2=x,所以y=S四邊形MTSN=·(MN+ST)=(2-x)(x+2)=4-x2(0<x<2).故選D.
法二:設(shè)M,N,S,T分別為棱PB,PC,CD,AB的中點(diǎn),連接MN,NS,ST,MT,則易知四邊形MTSN為直角梯形.易證CD⊥平面PAD,平面MTSN∥平面PAD,所以此時(shí)x=1,y=(M 16、N+ST)×MT=×(1+2)×2=3,即函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3),排除A、C;又當(dāng)x→0時(shí),y→S△PAD=×2×4=4,所以排除B.故選D.
4.(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=kx-|x-e-x|有兩個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn),則k的取值范圍是( )
A.(0,+∞) B.
C.(0,1) D.(0,e)
解析:選C 令f(x)=kx-|x-e-x|=0,得kx=|x-e-x|,當(dāng)x>0時(shí),k==,令g(x)=1-,x>0,則g′(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)間=1-<0,g(1)=1->0,所以在上存在一個(gè)a,使得g(a)=0,所 17、以y=|g(x)|的圖象如圖所示.由題意知,直線y=k與y=|g(x)|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以0<k<1,故選C.
5.已知函數(shù)f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是( )
A.(1,2 019) B.(1,2 020)
C.[2,2 020] D.(2,2 020)
解析:選D 法一:由于函數(shù)y=sin πx的周期為2,0≤x≤1,故它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.不妨設(shè)0<a<b<c,則a+b=1,c>1,故有a+b+c>2,再由正弦函數(shù)的定義域和值域可得f(a)=f(b)=f(c)∈[0,1],故有0≤log2 019c<1,解得 18、c<2 019.綜上可得,2<a+b+c<2 020,故選D.
法二:作出函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m,如圖所示,不妨設(shè)a<b<c,當(dāng)0≤x≤1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)分別為A,B,由正弦曲線的對(duì)稱性,可得A(a,m)與B(b,m)關(guān)于直線x=對(duì)稱,因此a+b=1,當(dāng)直線y=m=1時(shí),由log2 019x=1,解得x=2 019.若滿足f(a)=f(b)=f(c),且a,b,c互不相等,由a<b<c可得1<c<2 019,因此可得2<a+b+c<2 020,即a+b+c∈(2,2 020).故選D.
6.已知在(0,+∞)上函數(shù)f(x)=則不等式log2x-[log(4x 19、)-1]·f(log3x+1)≤5的解集為_(kāi)_______.
解析:原不等式等價(jià)于
或
解得1≤x≤4或<x<1,
所以原不等式的解集為.
答案:
7.某工廠常年生產(chǎn)紅木家具,根據(jù)預(yù)測(cè)可知,該產(chǎn)品近10年的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記2016年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位:萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表所示:
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.61
7.00
8.87
若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:①f(x)=ax+b,②f(x)=2x+a,③f(x)=logx+a.則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號(hào)為_(kāi)_______.
解析:若模型為 20、f(x)=2x+a,則由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此時(shí)f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與表格數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為f(x)=logx+a,則f(x)是減函數(shù),與表格數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為f(x)=ax+b,由已知得解得所以f(x)=x+,x∈N,所以最適合的函數(shù)模型的序號(hào)為①.
答案:①
8.(2019·吉林長(zhǎng)春四校5月聯(lián)考)已知g(x)為偶函數(shù),h(x)為奇函數(shù),且滿足g(x)-h(huán)(x)=2x.若存在x∈[-1,1],使得不等式m·g(x)+h(x)≤0有解,則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)間(x)-h(huán)(x)=2x,①
所以g(-x)-h(huán)(-x)=2-x.
又g(x)為偶函數(shù),h(x)為奇函數(shù),所以g(x)+h(x)=2-x,②
聯(lián)立①②,得g(x)=,h(x)=.
由m·g(x)+h(x)≤0,
得m≤==1-.
因?yàn)閥=1-為增函數(shù),所以當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),=1-=,所以m≤,即實(shí)數(shù)m的最大值為.
答案:
- 9 -
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