（江蘇專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 加練半小時 專題8 立體幾何 第61練 表面積與體積 理（含解析）

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1、第61練 表面積與體積 [基礎保分練] 1．母線長為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于π，則該圓錐的體積為________． 2．已知正六棱柱的高為8，側(cè)面積為144，則它的外接球的表面積為________． 3.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為________． 4．(2019·江蘇常州期中)底面半徑都是3且高都是4的圓錐和圓柱的全面積之比為________． 5．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，側(cè)棱長等于底面三角形的斜邊長，若其外接球的體積為，則該三棱柱體積的最大值為_______

2、_． 6.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短為50cm，最長為80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2. 7．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________． 8．(2019·江蘇省如東中學調(diào)研)在正四棱錐S—ABCD中，點O是底面中心，SO＝2，側(cè)棱SA＝2，則該棱錐的體積為________． 9.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半

3、徑是________cm. 10．在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為________． [能力提升練] 1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高為6，AB＝4，點D為棱BB1的中點，則四棱錐C—A1ABD的表面積是________． 2．在四面體A－BCD中，AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝2，若四面體A－BCD的外接球的體積V＝π，則CD＝________. 3．(2018·江蘇泰州中學月考)如圖所示的圖形是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的

4、圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降________cm. 4.如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，AC＝BC，且AD＋BC＝4，若BD與平面ABC所成角的正切值為，則四面體A－BCD的體積的最大值為________． 5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，線段EF，GH分別在AB，CC1上移動，且EF＋GH＝，則三棱錐F－HGE的體積最大值為________． 6．已知三棱錐P－ABC滿足PA⊥底面ABC，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是線段AB上一點，且AD＝3BD，球O為三棱錐P－ABC的外接球，過點D作球O的截面，若

5、所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為34π，則球O的表面積為________． 答案精析 基礎保分練 1.π　2.100π　3.　4.　5.4 6．2600π 解析　將相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形， 由題意得所求側(cè)面展開圖的面積為S＝×(50＋80)×(2π×20)＝2600πcm2. 7. 解析　如圖，過點D作BC的垂線，垂足為H.則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐．其中圓柱的底面半徑R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其體積V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圓錐的底面半徑r＝DH＝1

6、，高h2＝1，其體積V2＝πr2h2＝π×12×1＝.故所求幾何體的體積為V＝V1－V2＝2π－＝. 8. 解析　∵在正四棱錐S－ABCD中， 側(cè)棱SA＝2，高SO＝2， ∴底面中心到頂點的距離 AO＝＝2， 因此，底面正方形的邊長AB＝4，底面積S＝AB2＝16， 該棱錐的體積為 V＝SABCD·SO＝×16×2＝. 9．4 解析　設球的半徑為rcm，依等體積法知， πr3·3＋πr2·8＝πr2·6r， ∴2r＝8，r＝4. 10．6π 解析　因為PA⊥平面ABC，且AC⊥BC， 所以三棱錐的外接球等同于以AC，BC，PA為長、寬、高的長方體的外接球，

7、且PA＝2，AC＝BC＝1， 所以長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即2R＝， 解得R＝，所以三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝6π. 能力提升練 1．2＋4＋36　2.2 3．0.6 解析　因為圓錐形鉛錘的體積為 ×π×2×20＝60π(cm3)． 設水面下降的高度為xcm， 則小圓柱的體積為 π×2×x＝100πx(cm3)． 所以60π＝100πx， 解得x＝0.6. 則鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6cm. 4. 解析　設AD＝x(0

8、?平面ABD， 所以AD⊥平面ABC，三棱錐D－ABC的高為AD＝x. 又BD與平面ABC所成角的正切值為＝，故AB＝2x. 在△ABC中，AB邊上的高為＝＝2×(00， 當

9、E，HF，GE，GF， 設EF＝m，GH ＝n(m>0，n>0)， 則m＋n＝. 因為S△HGE∶S△C1CE＝n∶2， 所以V三棱錐F－HGE∶V三棱錐F－C1CE＝n∶2. 又因為V三棱錐F－C1CE＝V三棱錐C1－CEF ＝×2××2×m＝m， 所以V三棱錐F－HGE＝mn. 因為m＋n＝， 所以m·n≤＝， 故V三棱錐F－HGE≤ . 6．100π 解析　將三棱錐P－ABC補成正三棱柱，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為O1，設球的半徑為R，PA＝2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即OO1＝x，連結(jié)O1C，則O1C＝4，∴R2＝x2＋16，在三角形ABC中，取AB的中點為E，連結(jié)O1D，O1E，則O1E＝O1C＝2，DE＝AB＝，∴O1D＝，在Rt△OO1D中，OD＝，由題意得當截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設此時截面圓的半徑為r，則最小截面圓的面積為πr2，當截面過球心時，截面面積最大為πR2， ∴πr2＋πR2＝34π，如圖三，R2＝r2＋x2＋7，聯(lián)立以上三個方程得到r＝3，x＝3，R＝5，∴球的表面積為4π×25＝100π. 7