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1、單元質(zhì)檢卷八 立體幾何(A)
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.(2019屆廣東湛江調(diào)研測(cè)試,10)設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( )
A.α∩β=n,m?α,m∥β?m∥n
B.α⊥β,α∩β=m,m⊥n?n⊥β
C.m⊥n,m?α,n?β?α⊥β
D.m∥α,n?α?m∥n
2.(2019屆山東青島調(diào)研,11)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點(diǎn),用過點(diǎn)A,E,C1的平面截去該正方體的上半部分,則剩余幾何體的左視圖為( )
3.(2019
2、甘肅師大附中期中,8)某幾何體的三視圖如下圖所示,數(shù)量單位為cm,它的體積是( )
A.2732 cm3 B.92 cm3
C.932 cm3 D.272 cm3
4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,平面α過直線BD,α⊥平面AB1C,α∩平面AB1C=m,平面β過直線A1C1,β∥平面AB1C,β∩平面ADD1A1=n,則m,n所成角的余弦值為( )
A.0 B.12
C.22 D.32
5.(2019屆湖南桃江一中期中,5)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為( )
A.25π B.26π C.32π
3、D.36π
6.已知某三棱錐的三視圖如圖所示,圖中的3個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)度已經(jīng)標(biāo)出,則在該三棱錐中,最短的棱和最長(zhǎng)的棱所在直線所成角的余弦值為( )
A.13 B.55
C.12 D.23
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.(2019廣東深圳實(shí)驗(yàn)中學(xué)、珠海一中等六校聯(lián)考,15)在三棱錐D-ABC中,DC⊥底面ABC,AD=6,AB⊥BC且三棱錐D-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積為 .?
8.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=π2,M、N分別是AB和SC的中點(diǎn).則異面直線SM與BN
4、所成的角的余弦值為 ,直線SM與平面SAC所成角的大小為 .?
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面ABC,△SAB是等邊三角形,已知AC=2AB=4,BC=25.
(1)求證:平面SAB⊥平面SAC;
(2)求二面角B-SC-A的余弦值.
10.(15分)(2019湖南師范大學(xué)附中模擬,18)如圖,α∩β=l,二面角α-l-β的大小為θ,A∈α,B∈β,點(diǎn)A在直線l上的射影為A1,點(diǎn)B在直線l上的射影為B1.已知AB=2,AA1=1,BB1=2.
(1)若
5、θ=120°,求直線AB與平面β所成角的正弦值;
(2)若θ=90°,求二面角A1-AB-B1的余弦值.
11.(15分)(2019屆江蘇徐州期中)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD=2,∠ABC=π3,四邊形ACEF為矩形,平面ACEF⊥平面ABCD,AF=1,點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng),且EM=λEF.
(1)當(dāng)λ=12時(shí),求異面直線DE與BM所成角的大小;
(2)設(shè)平面MBC與平面ECD所成二面角的大小為θ0<θ≤π2,求cos θ的取值范圍.
參考答案
單元質(zhì)檢卷八 立體幾何(A)
6、
1.A 對(duì)于A,根據(jù)線面平行性質(zhì)定理即可得A選項(xiàng)正確;對(duì)于B,當(dāng)α⊥β,α∩β=m時(shí),若n⊥m,n?α,則n⊥β,但題目中無(wú)條件n?α,故B不一定成立;對(duì)于C,若m⊥n,m?α,n?β,則α與β相交或平行,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若m∥α,n?α,則m與n平行或異面,則D錯(cuò)誤,故選A.
2.C 取DD1中點(diǎn)F,連接AF,C1F,平面AFC1E為截面.如下圖,所以下半部分的左視圖如C選項(xiàng),所以選C.
3.C 根據(jù)三視圖可將其還原為如下直觀圖,
V=13S·h=13×12×(2+4)×3×332=932,故選C.
4.D 如圖所示,∵BD1⊥平面AB1C,平面α過直線BD,α⊥平面AB
7、1C,
∴平面α即為平面DBB1D1.
設(shè)AC∩BD=O,
∴α∩平面AB1C=OB1=m.
∵平面A1C1D過直線A1C1,與平面AB1C平行,而平面β過直線A1C1,β∥平面AB1C,
∴平面A1C1D即為平面β.β∩平面ADD1A1=A1D=n,
又A1D∥B1C,
∴m,n所成角為∠OB1C,
由△AB1C為正三角形,則cos∠OB1C=cosπ6=32.故選D.
5.C 三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體如圖所示,其中DA⊥平面ABC,∠ABC=90°,所以該四面體的四個(gè)面都是直角三角形且DA=4,AC=4,故四面體外接球的直徑為DC=42,故外接球的表面積為4π×(22)2=
8、32π,故選C.
6.A 由三視圖還原幾何體如圖.
幾何體是三棱錐A-BCD,滿足平面ACD⊥平面BCD,且AD⊥CD,BC⊥CD.
最短棱為CD,最長(zhǎng)棱為AB.在平面BCD內(nèi),過點(diǎn)B作BE∥CD,且BE=CD,連接DE,
∴四邊形BEDC為正方形,可得AE=22,在Rt△AEB中,求得AB=12+(22)2=3,
∴cos∠ABE=BEAB=13.
即最短的棱和最長(zhǎng)的棱所在直線所成角的余弦值為13.故選A.
7.36π 因?yàn)槿忮FD-ABC中,DC⊥底面ABC,所以DC⊥AB,又因?yàn)锳B⊥BC,DC和CB相交于點(diǎn)C,故得到AB⊥面BCD,故得到AB垂直于BD,又因?yàn)镈C
9、垂直于面ABC,故DC垂直于AC,故三角形ACD和三角形ABD均為直角三角形,有公共斜邊AD,取AD中點(diǎn)為O點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊的中點(diǎn)為外心得到O到A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的距離相等,故點(diǎn)O是球心,球的半徑為3,由球的面積公式得S=4πR2=36π.故答案為36π.
8.105 π4 因?yàn)椤螦SB=∠BSC=∠CSA=π2,所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn),SA,SB,SC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)SA=SB=SC=2,則M(1,1,0),B(0,2,0),N(0,0,1),A(2,0,0),C(0,0,2).
因?yàn)镾M=(1,1,0),BN=(0,-2,1),cos=-22×
10、5=-105,
所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為105,平面SAC一個(gè)法向量為SB=(0,2,0),則由cos=22×2=22得=π4,即直線SM與平面SAC所成角大小為π4.
9.(1)證明在△BCA中,∵AB=2,CA=4,BC=25,
∴AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.
又平面SAB⊥平面ABC,平面SAB∩平面ABC=AB,∴AC⊥平面SAB.
又AC?平面SAC,所以平面SAB⊥平面SAC.
(2)解如圖建立空間直角坐標(biāo)系,A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0,3),C(0,4,0),
CS=(1,-4,3),BC
11、=(-2,4,0),AC=(0,4,0),
設(shè)平面SBC的法向量n=(x,y,z),由-2x+4y=0,x-4y+3z=0,則n=2,1,233.
設(shè)平面SCA的法向量m=(a,b,c),由4b=0,a-4b+3c=0,
∴m=(-3,0,1),∴cos=-21919,
∴二面角B-SC-A的余弦值為21919.
10.解 (1)如圖,過點(diǎn)A作平面β的垂線交于點(diǎn)G,連接GB、GA1,
因?yàn)锳G⊥β,所以∠ABG是AB與β所成的角.在Rt△GA1A中,∠GA1A=60°,AA1=1,∴AG=32.
在Rt△AGB中,AB=2,AG=32,sin∠ABG=34,故AB與
12、平面β所成的角的正弦值為34.
(2)如圖,建立坐標(biāo)系,
則A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).
在AB上取一點(diǎn)F(x,y,z),則存在t∈R,使得AF=tAB,即(x,y,z-1)=t(2,1,-1),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2t,t,1-t).
要使A1F⊥AB,須A1F·AB=0,
即(2t,t,1-t)·(2,1,-1)=0,2t+t-(1-t)=0,解得t=14,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為24,14,34,
∴A1F=24,14,34.
設(shè)E為AB1的中點(diǎn),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,12,12.
∴EF=24,-14,14.
又EF·AB=2
13、4,-14,14·(2,1,-1)=12-14-14=0,
∴EF⊥AB,
∴∠A1FE為所求二面角的平面角.又cos∠A1FE=A1F·EF|A1F||EF|=(24,14,34)·(24,-14,14)216+116+916·216+116+116=18-116+31634×14=13=33,
∴二面角A1-AB-B1的余弦值為32.
11.解 (1)在△ABC中,AB=1,BC=AD=2,∠ABC=π3,則AC=3,所以AB2+AC2=BC2,即∠BAC=90°.因?yàn)樗倪呅蜛CEF為矩形,所以FA⊥AC,因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,FA?平面
14、ACEF,所以FA⊥平面ABCD.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,3,0),E(0,3,1),F(0,0,1),
當(dāng)λ=12時(shí),EM=12EF,
所以M0,32,1.
所以BM=-1,32,1,DE=(1,0,1),
所以BM·DE=(1,0,1)·-1,32,1=0,所以BM⊥DE,即異面直線DE與BM所成角的大小為90°.
(2)平面ECD的一個(gè)法向量n1=(0,1,0),設(shè)M(x0,y0,z0),由EM=λ(0,-3,0)=(0,-3λ,0)=(x0,y0-3,z0-1),得x0=0,y0=3(1-λ),z0=1,即M(0,3(1-λ),1),所以BM=(-1,3(1-λ),1),BC=(-1,3,0).
設(shè)平面MBC的法向量n2=(x,y,z),因?yàn)閚2⊥BC,n2⊥BM,
即-x+3y=0,-x+3(1-λ)y+z=0,
取y=1,則x=3,z=3λ,
所以平面MBC的一個(gè)法向量n2=(3,1,3λ),
因?yàn)?<θ≤π2,
所以cos θ=n1·n2|n1||n2|=14+3λ2.
因?yàn)?≤λ≤1,所以cos θ∈77,12.
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