（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 第2講 空間幾何體的表面積與體積練習（含解析）

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1、第2講　空間幾何體的表面積與體積 一、選擇題 1.(2015·全國Ⅰ卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析　設米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝. 所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺). 故堆放的米

2、約有÷1.62≈22(斛). 答案　B 2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是(　　) A.2 B. C. D.3 解析　由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3. 答案　D 3.(2017·合肥模擬)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A.1＋ B.2＋ C.1＋2 D.2 解析　四面體的直觀圖如圖所示. 側(cè)面SAC⊥底面ABC，且△SAC與△ABC均為腰長是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2. 設AC的中

3、點為O，連接SO，BO，則SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC，又BO?平面ABC，∴SO⊥BO. 又OS＝OB＝1，∴SB＝， 故△SAB與△SBC均是邊長為的正三角形，故該四面體的表面積為2×××＋2××()2＝2＋. 答案　B 4.(2015·全國Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析　因為△AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐O－ABC的體積

4、取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.從而球O的表面積S＝4πR2＝144π. 答案　C 5.(2017·青島模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐N－PAC與三棱錐D－PAC的體積比為(　　) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶6 D.1∶3 解析　設點P，N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點P′，N′，則PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′， 則在△BPP′中，由BN＝2PN得＝. V三棱錐N－PAC＝V三棱錐P－ABC－V三棱錐N－ABC ＝S△ABC·PP′－S△ABC·NN′ ＝S△ABC

5、·(PP′－NN′)＝S△ABC·PP′ ＝S△ABC·PP′，V三棱錐D－PAC＝V三棱錐P－ACD＝S△ACD·PP′， 又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ACD， ∴＝.故選D. 答案　D 二、填空題 6.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________. 解析　設新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 答案　 7.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一

6、個球面上，則該球的體積為________. 解析　依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設球半徑為R，則2R＝＝2， 解得R＝1，所以V＝R3＝. 答案　π 8.(2017·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________. 解析　由三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為2的圓柱和底面半徑為1，高為1的半圓錐拼成的組合體. ∴體積V＝π×12×2＋×π×12×1＝π. 答案　π 三、解答題 9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示. (1)求此幾何體的表面積； (2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在

7、幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長. 解　(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和. S圓錐側(cè)＝(2πa)·(a)＝πa2， S圓柱側(cè)＝(2πa)·(2a)＝4πa2， S圓柱底＝πa2， 所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2. (2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖. 則PQ＝＝＝a， 所以從P點到Q點在側(cè)面上的最短路徑的長為a. 10.(2015·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1

8、上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 解　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱， 所以其體積的

9、比值為. 11.若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 解析　若俯視圖為A，則該幾何體為正方體，其體積為1，不滿足條件.若俯視圖為B，則該幾何體為圓柱，其體積為π×1＝，不滿足條件.若俯視圖為C，則該幾何體為三棱柱，其體積為×1×1×1＝，滿足條件.若俯視圖為D，則該幾何體為圓柱的，體積為π×1＝，不滿足條件. 答案　C 12.(2015·全國Ⅰ卷)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A.1 B.2

10、 C.4 D.8 解析　該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖. 則表面積 S＝×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2， 又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2. 答案　B 13.圓錐被一個平面截去一部分，剩余部分再被另一個平面截去一部分后，與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若r＝1，則該幾何體的體積為________. 解析　根據(jù)三視圖中的正視圖和俯視圖知，該幾何體是由一個半徑r＝1的半球，一個底面半徑r＝1、高2r＝2的圓

11、錐組成的，則其體積為V＝πr3×＋πr2×2r×＝. 答案　 14.四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H. (1)求四面體ABCD的體積； (2)證明：四邊形EFGH是矩形. (1)解　由該四面體的三視圖可知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1， 又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC， ∴四面體ABCD的體積V＝××2×2×1＝. (2)證明　∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH， ∴FG∥EH. 同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形. 又∵AD⊥平面BDC，BC?平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形. 7