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1、單元質(zhì)檢四 三角函數(shù)、解三角形(A)
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.(2018廣東深圳模擬測試)下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是( )
A.y=sin2x-π2 B.y=cos2x-π2
C.y=sinx+π2 D.y=cosx+π2
答案A
解析對(duì)于選項(xiàng)A,y=-cos2x,周期為π且是偶函數(shù),所以選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,y=sin2x,周期為π且是奇函數(shù),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C,y=cosx,周期為2π,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,y=-sinx,周期為2
2、π,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故答案為A.
2.(2018全國Ⅱ,文7)在△ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,則AB=( )
A.42 B.30 C.29 D.25
答案A
解析∵cosC=2cos2C2-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35=32.
∴AB=42.
3.函數(shù)y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值為( )
A.π,0 B.2π,0 C.π,2-2 D.2π,2-2
答案C
解析因?yàn)閒(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=1+sin2x+(1+c
3、os2x)=2+2sin2x+π4,
所以最小正周期為π,
當(dāng)sin2x+π4=-1時(shí),取得最小值為2-2.
4.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<π2的圖象過點(diǎn)(0,3),則函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( )
A.-π3,0 B.-π6,0 C.π6,0 D.π12,0
答案B
解析由題意,得3=2sin(2×0+φ),即sinφ=32.
因?yàn)閨φ|<π2,所以φ=π3.
由2sin2x+π3=0,得2x+π3=kπ,k∈Z,
當(dāng)k=0時(shí),x=-π6,故選B.
5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若acos B+
4、bcos A=csin C,S=14(b2+c2-a2),則B=( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
答案C
解析由正弦定理,得2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinCsinC,于是sin(A+B)=sin2C,所以sinC=1,即C=π2,從而S=12ab=14(b2+c2-a2)=14(b2+b2),解得a=b,
所以B=45°.故選C.
6.
已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,若x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)等于( )
A.1 B.12 C.
5、22 D.32
答案D
解析由題中圖象可得A=1,T2=2π2ω=π3--π6,
解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).
由題圖可知π12,1在函數(shù)f(x)的圖象上,
故sin2×π12+φ=1,即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f(x)=sin2x+π3.
∵x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),
∴x1+x2=π12×2=π6.
∴f(x1+x2)=sin2×π6+π3=32,故選D.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.已知sinπ4-x=34,且x∈-π2,-π4,則cos 2x的值為
6、 .?
答案-378
解析sin2x=cosπ2-2x=1-2sin2π4-x
=1-2×342=-18,
∵x∈-π2,-π4,∴2x∈-π,-π2.
∴cos2x=-1-sin22x=-378.
8.(2018北京,文14)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B= ;ca的取值范圍是 .?
答案π3 (2,+∞)
解析∵S△ABC=34(a2+c2-b2)=12acsinB,
∴a2+c2-b22ac=sinB3,即cosB=sinB3,
∴sinBcosB=3,即tanB=3,∴∠B=π3,
則ca=sinCsinA=sin
7、2π3-AsinA=32cosA--12·sinAsinA
=32·1tanA+12,
∴∠C為鈍角,∠B=π3,∴0<∠A<π6,
∴tanA∈0,33,1tanA∈(3,+∞),故ca∈(2,+∞).
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.
解因?yàn)锳B·AC=-6,所以bccosA=-6,
又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,
又0
8、a2=9+8-2×3×22×-22=29,所以a=29.
10.(15分)(2018浙江,18)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點(diǎn)P-35,-45.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β滿足sin(α+β)=513,求cos β的值.
解(1)由角α的終邊過點(diǎn)P-35,-45,
得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.
(2)由角α的終邊過點(diǎn)P-35,-45,得cosα=-35,
由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)s
9、inα,
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
11.(15分)已知函數(shù)f(x)=Asinωx+π3(A>0,ω>0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π,且經(jīng)過點(diǎn)π3,32.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若角α滿足f(α)+3fα-π2=1,α∈(0,π),求α的值.
解(1)由條件知周期T=2π,即2πω=2π,所以ω=1,
即f(x)=Asinx+π3.
∵f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)π3,32,
∴Asin2π3=32.∴A=1,∴f(x)=sinx+π3.
(2)由f(α)+3fα-π2=1,
得sinα+π3+3sinα-π2+π3=1,
即sinα+π3-3cosα+π3=1,
可得2sinα+π3-π3=1,即sinα=12.
又α∈(0,π),解得α=π6或5π6.
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