2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)專題課-隱零點(diǎn)問題 講義（Word版含答案）

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1、導(dǎo)數(shù)專題課——隱零點(diǎn)問題 如果是超越形式，的零點(diǎn)是存在但無法求出，這時(shí)可采用虛設(shè)零點(diǎn)法。逐步分析出“零點(diǎn)”所在的范圍和滿足的關(guān)系式，然后分析出相應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性，最后通過恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的極值與零點(diǎn)所滿足的“關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果。 PS：可推測(cè)的零點(diǎn)存在，但是又無法求解的題型。隱零點(diǎn)問題常在雙參問題中出現(xiàn)。 零點(diǎn)問題解題步驟 (1)用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍. (2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá) (3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的霧點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小. 例1

2、已知函數(shù). （1）若，求的單調(diào)區(qū)間； （2）若對(duì)于任意的，恒成立，求的最小值. 例2．已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （1）若在x=0處的切線與直線y=ax垂直，求a的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性； （3）當(dāng)時(shí)，求證：． 鞏固練習(xí) 1.已知函數(shù). （1）若在處的切線斜率為,求實(shí)數(shù)a的值； （2）當(dāng)時(shí),判斷的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)； （3）對(duì)任意,有,求a的取值范圍. 2．已知函數(shù)． （1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試討論的單調(diào)性； （2）若在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍． 3.已知函數(shù),．

3、 （1）設(shè)函數(shù),求的最大值； （2）證明：． 4．已知函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)． ①，； ②，． 導(dǎo)數(shù)專題課——隱零點(diǎn)問題解析 如果是超越形式，的零點(diǎn)是存在但無法求出，這時(shí)可采用虛設(shè)零點(diǎn)法。逐步分析出“零點(diǎn)”所在的范圍和滿足的關(guān)系式，然后分析出相應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性，最后通過恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的極值與零點(diǎn)所滿足的“關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果。 PS：可推測(cè)的零點(diǎn)存在，但是又無法求解的題型。隱零點(diǎn)問題常在雙參問題中出現(xiàn)。 零點(diǎn)問題解題步驟 (1)用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列

4、出零點(diǎn)方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍. (2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá) (3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的霧點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小. 例1 已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間； （2）若對(duì)于任意的，恒成立，求的最小值. 【答案】（1）單調(diào)速增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）最小值為. 【解析】（1）求出，進(jìn)一步求出的解，即可得出結(jié)論； （2）先由，得出，通過二次求導(dǎo)并結(jié)合隱零點(diǎn)方法，求出，轉(zhuǎn)化為與隱零點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，再次用導(dǎo)數(shù)法，即可求解. 【詳解】解：（1）因，所以，. 令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 故的單調(diào)速增

5、區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. （2）.因?yàn)椋? 又，所以，則.令，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?，所以，使得且?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故.由，得. 由，得，即. 結(jié)合，得，所以.令.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.故的最小值為. 【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）函數(shù)不等式恒成立問題，要注意應(yīng)用必要條件探路，這樣可以縮小參數(shù)的范圍，減少分類討論情況，甚至無需分類討論； （2）含參函數(shù)的最值經(jīng)常涉及到隱零點(diǎn)，要注意隱零點(diǎn)范圍的確定，如（2）由確定出隱零點(diǎn)的范圍，是解題的關(guān)鍵. 例2．已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （1）若在x=0處的切線與直線

6、y=ax垂直，求a的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性； （3）當(dāng)時(shí)，求證：． 【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析 【解析】【分析】 （1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由直線的位置關(guān)系可求解； （2）由于，令，得或，通過比較兩個(gè)值分類討論得到單調(diào)區(qū)間； （3）方法一：通過單調(diào)性，根據(jù)求最值證明；方法二：運(yùn)用放縮及同構(gòu)的方法證明. (1)，則，由已知，解得 (2) （?。┊?dāng)時(shí)，， 所以，， 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得， ①時(shí)，， 所以或，， 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ②時(shí)，，則在上單調(diào)遞增； ③時(shí)，，

7、所以或，， 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 時(shí)，在上單調(diào)遞增； 時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． (3) 方法一： 等價(jià)于 當(dāng)時(shí)， 令 令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增??? ∵， ∴存在，使得，即 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增 ∴ ∴，故 方法二： 當(dāng)時(shí)， 令，則， 令，則 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增． ∴，即 ∴， 【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】 解決本題的關(guān)鍵：一是導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用，二是通過導(dǎo)函數(shù)等于

8、零，比較方程的根對(duì)問題分類討論，三是隱零點(diǎn)的運(yùn)用及放縮法的運(yùn)用. 鞏固練習(xí) 1.已知函數(shù). （1）若在處的切線斜率為,求實(shí)數(shù)a的值； （2）當(dāng)時(shí),判斷的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)； （3）對(duì)任意,有,求a的取值范圍. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù),根據(jù)極值點(diǎn)的概念即可求解；（3）將可轉(zhuǎn)化為,令,只需求函數(shù)的最小值,利用導(dǎo)數(shù)法求解即可. 【解析】（1）, ,解得 （2）, 令 當(dāng)時(shí),. 易證：,所以. 所以. 所以時(shí),,單調(diào)遞增,時(shí),,單調(diào)遞減, 所以是的唯一極值點(diǎn),所以只有一個(gè)極值點(diǎn). （3）任意,可轉(zhuǎn)化為 令,, 令,,令,得,在遞增,在單調(diào)遞

9、減, 且,,,,所以時(shí), 在內(nèi)存在唯一零點(diǎn), 時(shí),,,單調(diào)遞增,時(shí),,,單調(diào)遞減,時(shí),,,單調(diào)遞增, 所以, 因?yàn)?所以 所以 因?yàn)?所以, 所以,即. 2．已知函數(shù)． （1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試討論的單調(diào)性； （2）若在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍． 【解答】解：（1），是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則．，．， 當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，． 在，上單調(diào)遞減，在遞增． 綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在遞增． （2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有唯一解， 令，，令，可得或． 時(shí)，，時(shí)，，時(shí)， 在遞增，在，遞減， 且時(shí)，，時(shí)，

10、 或．，或 所以，的取值范圍，． 3.已知函數(shù),． （1）設(shè)函數(shù),求的最大值； （2）證明：． 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,由此可求得函數(shù)的最大值； （2）原不等式等價(jià)于,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,結(jié)合基本不等式可證得所求不等式成立. （1）解：因?yàn)?所以． 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),． 所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),從而． （2）證明：原不等式等價(jià)于, 則,令,則, 所以,在上單調(diào)遞增． 令,則,, 所以,存在唯一使得,即, 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), 此時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 要證,即要證． 于是原問題轉(zhuǎn)化為證明不等式組,

11、由,得,代入． 對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得,代入,得． 因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),等號(hào)成立, 所以． 4．已知函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)． ①，； ②，． 【解答】解：（Ⅰ），， ①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ②當(dāng)時(shí)，令，可得或， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減， 時(shí)， 且等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減． 綜上所述： 當(dāng) 時(shí)， 在上單調(diào)遞減；在上 單調(diào)遞增； 當(dāng) 時(shí)， 在， 和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)

12、遞減； 當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 時(shí)， 在和， 上單調(diào)遞增；在， 上單調(diào)遞減． （Ⅱ）證明：若選①，由 （Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，， 單調(diào)遞減，， 上 單調(diào)遞增． 注意到． 在 上有一個(gè)零點(diǎn)；， 由 得，， ，當(dāng) 時(shí)，，此時(shí) 無零點(diǎn)． 綜上： 在 上僅有一個(gè)零點(diǎn)． 另解：當(dāng)，時(shí)，有，， 而，于是 ，所以在沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，， 于是，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，命題得證． 若選②，則由（Ⅰ）知：在， 上單調(diào)遞增， 在，上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增． ， ，，，， 當(dāng) 時(shí)，，此時(shí) 無零點(diǎn)． 當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，注意到， 取，，，又易證， ， 在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．綜上： 在 上有唯一零點(diǎn)．