2016版《一點(diǎn)一練》高考數(shù)學(xué)(理科)專題演練:第五章-數(shù)-列(含兩年高考一年模擬)

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1、第五章 數(shù) 列 考點(diǎn)15 等差數(shù)列 兩年高考真題演練 1.(2015·重慶)在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=(  ) A.-1 B.0 C.1 D.6 2.(2015·北京)設(shè){an}是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是(  ) A.若a1+a2>0,則a2+a3>0 B.若a1+a3<0,則a1+a2<0 C.若0<a1<a2,則a2> D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0 3.(2015·浙江)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則(  )

2、 A.a(chǎn)1d>0,dS4>0 B.a(chǎn)1d<0,dS4<0 C.a(chǎn)1d>0,dS4<0 D.a(chǎn)1d<0,dS4>0 4.(2014·陜西)原命題為“若<an,n∈N+,則{an}為遞減數(shù)列”,關(guān)于其逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是(  ) A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 5.(2014·遼寧)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則(  ) A.d<0 B.d>0 C.a(chǎn)1d<0 D.a(chǎn)1d>0 6.(2015·廣東)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a

3、8=________. 7.(2014·江西)在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為________. 8.(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=________時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大. 9.(2014·湖北)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.

4、 考點(diǎn)15 等差數(shù)列 一年模擬試題精練 1.(2015·云南省昆明模擬)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a10=S4,則等于(  ) A.4 B.5 C.8 D.10 2.(2015·北京西城模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,2a=a+a(n≥2),則a6等于(  ) A.16 B.8 C.2 D.4 3.(2015安徽安慶模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=tan 225°,a5=13a1,設(shè)Sn為數(shù)列{(-1)nan}的前n項(xiàng)和,則S2 014=(  ) A.2 01

5、5 B.-2 015 C.3 021 D.-3 022 4.(2015·烏魯木齊模擬)設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列,a2=2,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(  ) A.+ B.+ C.+ D.+ 5.(2015·江西四縣模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1∈[0,1],a2∈[1,2],a3∈[2,3],則a4的取值范圍為(  ) A.[3,4] B. C. D.[2,5] 6.(2015·四川德陽(yáng)模擬)在數(shù)列{an}中,已知a1=-20,an+1=an+4(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和An; (

6、2)若bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Sn. 7.(2015·河北衡水模擬)已知等差數(shù)列{an }中,a2+a6=6, Sn 為其前n項(xiàng)和,S5=. (1)求數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式; (2)令bn =(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn

7、.84 2.(2015·福建)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 3.(2014·北京)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的(  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 4.(2014·重慶)對(duì)任意等比數(shù)列{an},下列說(shuō)法一定正確的是(  ) A.a(chǎn)1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a(chǎn)2,a3,a6成等比數(shù)列 C.a(chǎn)2

8、,a4,a8成等比數(shù)列 D.a(chǎn)3,a6,a9成等比數(shù)列 5.(2015·安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________. 6.(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=________. 7.(2014·江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是________. 8.(2014·安徽)如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=2.過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為A1;過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線,垂足為A2;過(guò)點(diǎn)A2

9、作A1C的垂線,垂足為A3;…,依此類推,設(shè)BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7=________. 9.(2014·廣東)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=________. 10.(2014·江西)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn=,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=3n-1,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 考

10、點(diǎn)16 等比數(shù)列 一年模擬試題精練 1.(2015·山東日照模擬)設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2·a4=1,S3=7,則S5=(  ) A. B. C. D. 2.(2015·湖北八校模擬)已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論中一定成立的是(  ) A.若a3>0,,則a2 013<0 B.若a4>0,則a2 014<0 C.若a3>0,則S2 013>0 D.若a4>0,則S2 014>0 3.(2015·青島模擬)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…,n),若a1=b1,

11、a11=b11,則(  ) A.a(chǎn)6>b6 B.a(chǎn)6=b6 C.a(chǎn)6<b6 D.a(chǎn)6<b6或a6>b6 4.(2015·江西贛州模擬)在公比大于1的等比數(shù)列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,則a12=(  ) A.96 B.64 C.72 D.48 5.(2015·湖南常德模擬)已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1=(  ) A.16(1-4-n) B.16(1-2-n) C.(1-4-n) D.(1-2-n) 6.(2015·甘肅一模)拋物線 x2=y(tǒng)在第一象限內(nèi)

12、圖象上一點(diǎn)(ai,2a)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為ai+1,其中i∈N*,若a2=32,則a2+a4+a6=(  ) A.64 B.42 C.32 D.21 7.(2015·江蘇宿遷模擬)已知等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則等于________. 8.(2015·安徽安慶模擬)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a=4Sn+4n+1,n∈N*,且a2,a5,a14恰好是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,求實(shí)數(shù)

13、k的取值范圍. 9.(2015·山東濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2n+1+2p(n∈N*). (1)求p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足=(3+p)anbn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 考點(diǎn)17 數(shù)列求和 兩年高考真題演練 1.(2015·天津)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列. (1)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

14、 2.(2014·湖南)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=2an+(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和. 3.(2014·大綱全國(guó))等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且Sn≤S4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 4.(2014·四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*). (

15、1)若a1=-2,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn; (2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 考點(diǎn)17 數(shù)列求和 一年模擬試題精練 1.(2015·山東菏澤一模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且對(duì)任意的n∈N*,都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n·2n+3. (1)若{bn }的首項(xiàng)為4,公比為2,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn; (2)若an=4n+4 ,試探究:數(shù)列{bn}中是否存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它r(r

16、∈N,r≥2)項(xiàng)的和?若存在,請(qǐng)求出該項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 2.(2015·山東濰坊一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+n2-1,數(shù)列{bn}滿足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3. (1)求an,bn; (2)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn,并求滿足Tn<7時(shí)n的最大值. 3.(2015·山東煙臺(tái)一模)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)為a1,且,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求證:

17、+++…+<. 4.(2015·廣東江門模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<. 考點(diǎn)18 數(shù)列的綜合應(yīng)用 兩年高考真題演練 1.(2015·湖北)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1) 求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (2) 當(dāng)d>1時(shí),記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 2.(2

18、014·湖南)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值; (2)若p=,且{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 3.(2014·浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列,且a1=2,b3=6+b2. (1)求an與bn; (2)設(shè)cn=-(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. ①求Sn; ②

19、求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn. 考點(diǎn)18 數(shù)列的綜合應(yīng)用 一年模擬試題精練 1.(2015·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)盟模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,其中n∈N*. (1)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值; (2)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足ci·ci+1<0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”,令cn=(n∈N*),在(1)的條件下,求數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”.

20、 2.(2015·廣東廣州一模)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為10,公差為2,等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1,公比為2,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為cn=min{an,bn},求前n個(gè)正方形的面積之和Sn. (注: min{a,b}表示a與b的最小值.) 第五章 數(shù) 列 考點(diǎn)15 等差數(shù)列 【兩年高考真題演練】 1.B [由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6=2a4-a2=2×2-4=0,故選B.] 2.C [A,B選項(xiàng)易舉反例,C中若0<a1<a2,∴a3>a2>a1>0,∵a1+a3>2,又2a2=a1+a3,∴2a2>2,即a2

21、>成立.] 3.B [∵a3,a4,a8成等比數(shù)列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故選B.] 4.A [從原命題的真假入手,由于<an?an+1<an?{an}為遞減數(shù)列,即原命題和逆命題均為真命題,又原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,則逆命題、否命題和逆否命題均為真命題,選A.] 5.C [{2a1an}為遞減數(shù)列,可知{a1an}也為遞減數(shù)列,又a1an=a+a1(n-1)d=a1dn+a-a1d,故a1d<0,故選C.] 6.10 [因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a

22、3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.] 7. [由題意知當(dāng)d<0時(shí),Sn存在最大值,∵a1=7>0,∴數(shù)列{an}中所有非負(fù)項(xiàng)的和最大. 又∵當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí),Sn取最大值,∴∴解得-1≤d<-.] 8.8 [∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0.∴當(dāng)n=8時(shí),其前n項(xiàng)和最大.] 9.解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化簡(jiǎn)得d2-4d=0,解得d

23、=0或d=4. 當(dāng)d=0時(shí),an=2; 當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)·4=4n-2, 從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2. (2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n. 顯然2n<60n+800, 此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立. 當(dāng)an=4n-2時(shí),Sn==2n2. 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去), 此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. 綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n; 當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41. 【一年模擬試題精

24、練】 1.A [由a10=S4得a1+9d=4a1+d=4a1+6d,即a1=d≠0.所以S8=8a1+d=8a1+28d=36d,所以===4,選A.] 2.D [由2a=a+a(n≥2)可知數(shù)列{a}是等差數(shù)列,且以a=1為首項(xiàng),公差d=a-a=4-1=3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=1+3(n-1)=3n-2,所以a=3×6-2=16,即a6=4.選D.] 3.C [a1=tan 225°=tan 45°=1, 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由a5=13a1,得a5=13, d===3, ∴S2 014=-a1+a2-a3+a4+…+(-1)2 014a2 014=-(a1+a

25、3+…+a2 013)+(a2+a4+…+a2 014)=1 007d=1 007×3=3 021.故選C.] 4.D [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 由a2=2,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,得(2+d)2=(2-d)(2+7d),解得d=1.∴a1=a2-d=2-1=1,∴Sn=na1+=n+=+,故選D.] 5.C 6.解 (1)∵數(shù)列{an}滿足an+1=an+4(n∈N*),∴數(shù)列{an}是以公差為4,以a1=-20為首項(xiàng)的等差數(shù)列.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-20+4(n-1)=4n-24(n∈N*),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和An=2n2-22n(n∈N*)

26、. (2)∵bn===-(n∈N*), ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Sn為Sn=b1+b2+…+bn=++…+=1-=.] 7.解 (1)由a2+a6=6,得a4=3,又由S5==5a3=,得a3=,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則解得 ∴an=n+. (2)當(dāng)n≥2時(shí),bn=== 當(dāng)n=1時(shí),上式同樣成立, ∴Sn=b1+b2+…+bn == 又隨n遞增,且<·1≤m, ∴m≥5,mmin=5. 考點(diǎn)16 等比數(shù)列 【兩年高考真題演練】 1.B [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=

27、2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故選B.] 2.D [由題意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2這三個(gè)數(shù)的6種排序中,成等差數(shù)列的情況有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比數(shù)列的情況有:a,-2,b;b,-2,a. ∴或解之得:或 ∴p=5,q=4,∴p+q=9,故選D.] 3.D [當(dāng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1<0時(shí),若q>1,則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1<0時(shí),要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則01”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條

28、件.故選D.] 4.D [由等比數(shù)列的性質(zhì)得,a3·a9=a≠0,因此a3,a6,a9一定成等比數(shù)列,選D.] 5.2n-1 [由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,所以聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列,∴a1=1,a4=8,從而a1q3=8,∴q=2. ∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn==2n-1.] 6.3n-1 [由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,∴公比q=3,故等比數(shù)列通項(xiàng)an=a1qn-1=3n-1.] 7.4 [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0.則a8=a6+2a4即為a4q4=a4q2+2a

29、4,解得q2=2(負(fù)值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.] 8. [由題意知數(shù)列{an}是以首項(xiàng)a1=2,公比q=的等比數(shù)列,∴a7=a1·q6=2×=.] 9.50 [由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,a10a11+a9a12=2e5,所以a10·a11=e5,于是ln a1+ln a2+…+ln a20=10ln(a10·a11)=10ln e5=50.] 10.解 (1)因?yàn)閍nbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*), 所以-=2,即cn+1-cn=2. 所以數(shù)列{cn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,故cn=2n-1. (2)由bn=3n-1知an

30、=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1, 3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)·3n, 相減得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n= -2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1. 【一年模擬試題精練】 1.B 2.C [設(shè)an=a1qn-1,因?yàn)閝2 010>0所以A,B不成立,對(duì)于C,當(dāng)a3>0時(shí),a1>0,因?yàn)?-q與1-q2 013同號(hào),所以S2 013>0,所以C正確,對(duì)于D,?。?,1,-1,1 ,…不滿足條件

31、,D錯(cuò),故選C.] 3.A [∵a6=,b6==,∴>,∴a6>b6.] 4.A [∵a3a7=a2a8=72,a2+a8=27,∴或 又∵公比大于1,∴∴q6=8即q2=2,∴a12=a2q10=3×25=96.] 5.C [因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以{anan+1}成以8為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n) ,故選C.] 6.B [∵y=2x2(x>0),∴y′=4x,∴x2=y(tǒng)在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)(ai,2a)處的切線方程是:y-2a=4ai(x-ai),整理,得4aix-y-2a=0, ∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ai+1

32、, ∴ai+1=ai,∴{a2k}是首項(xiàng)為a2=32,公比q =的等比數(shù)列,∴a2+a4+a6=32+8+2=42. 故選B.] 7.3+2 [a1,a3,2a2成等差數(shù)列,所以a3=a1+2a2,即q2-2q-1=0,∴q=1+,所以=q2=3+2.] 8.解 (1)當(dāng)n≥2時(shí),4Sn-1=a-4(n-1)-1,4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4a=a+4an+4=(an+2)2,∵an>0,∴an+1=an+2, ∴當(dāng)n≥2時(shí),{an}是公差d=2的等差數(shù)列,∵a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列,∴a=a2·a14,(a2+8)2=a2·(a2+24),解得a2=3, 由條件可知

33、,4a1=a-5=4,∴a1=1, ∵a2-a1=3-1=2,∴{an}是首項(xiàng)a1=1,公差為d=2的等差數(shù)列. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1, 數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n. (2)Tn===,∴k≥3n-6對(duì)n∈N*恒成立,∴k≥對(duì)n∈N*恒成立, 令cn=,cn-cn-1=-=,當(dāng)n≤3時(shí),cn>cn-1,當(dāng)n≥4時(shí),cn<cn-1,∴(cn)max=c3=,k≥. 9.解 (1)由an=Sn-Sn+1=2n+1+2p-2n-2p=2n,n≥2, a1=S1=4+2p=2,由a1,a2,a3成等比得p=-1. (2)由=(3+p)anbn,可得bn=,

34、Tn=++…+, Tn=++…+, Tn=+++…+-, Tn=-, Tn=2--. 考點(diǎn)17 數(shù)列求和 【兩年高考真題演練】 1.解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4), 即a4-a2=a5-a3, 所以a2(q-1)=a3(q-1),又因?yàn)閝≠1, 故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2. 當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),an=a2k-1=2k-1=2; 當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),an=a2k=2k=2. 所以,{an}的通項(xiàng)公式為an= (2)由(1)得bn==. 設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn, 則Sn=1×+2

35、×+3×+…+(n-1)×+n×, Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×. 上述兩式相減得: Sn=1+++…+-=-=2--, 整理得,Sn=4-,n∈N*. 所以,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為4-,n∈N*. 2.解 (1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-=n. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 記A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,則 A==22n+

36、1-2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=A+B=22n+1+n-2. 3.解 (1)由a1=10,a2為整數(shù)知,等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù). 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥0,10+4d≤0. 解得-≤d≤-.因此d=-3. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=13-3n. (2)bn==(-). 于是Tn=b1+b2+…+bn = ==. 4.解 (1)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2. 解得d=a8-a7=2. 所以,Sn=na

37、1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n. (2)函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 它在x軸上的截距為a2-. 由題意得,a2-=2-, 解得a2=2. 所以d=a2-a1=1. 從而an=n,bn=2n. 所以Tn=+++…++, 2Tn=+++…+. 因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=. 所以,Tn=. 【一年模擬試題精練】 1.解 (1)因?yàn)閍1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n·2n+3,所以當(dāng)n≥2時(shí),a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-1)·2n+2,兩式相減

38、,得 anbn=n·2n+3-(n-1)·2n+2=(n+1)·2n+2(n≥2), 而當(dāng)n=1時(shí),a1b1=16適合上式,從而anbn=(n+1)·2n+2(n∈N*), 又因?yàn)閧bn}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,即bn=2n+1,所以an=2n+2, 從而數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+2+n2+3n-4. (2)因?yàn)閍n=4n+4,anbn=(n+1)·2n+2(n∈N*),所以bn=2n, 假設(shè)數(shù)列{bn}中第k項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)bt1,bt2,bt3,…,btn(t1<t2<t3…<tn)的和, 即bk=bt1,bt2,bt3

39、,…,btn,從而2k=2t1+2t2+2t3+…+2tn,易知k≥tn+1,(*) 又2k=2t1+2t2+2t3+…+2tn≤21+22+23+…+2n==2n+1-2<2n+1, 所以k<tn+1此與(*)矛盾,從而這樣的項(xiàng)不存在. 2.解 (1)n≥2時(shí),Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1, 兩式相減,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1, ∴an=2n+1,∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3, ∴bn+1=,當(dāng)n≥2時(shí),bn=,又b1=3適合上式,∴bn=. (2)由(1)知bn=, ∴Tn=+

40、++…++① Tn=+++…++② ①-②,得Tn=3++++…+- =3+4·-=5-, ∴Tn=-, Tn-Tn+1=-=-<0, 所以,Tn<Tn+1即{Tn}為遞增數(shù)列,又T3=<7,T4=>7, 當(dāng)Tn<7時(shí),n的最大值為3. 3.(1)解 ∵,an,Sn成等差數(shù)列,∴2an=Sn+, 當(dāng)n=1時(shí),2a1=S1+,∴a1=, 當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2an-,Sn-1=2an-1-, 兩式相減得:an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴=2 , 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列. an=×2n-1=2n-2. (2)證明 bn=log2a2n+1

41、×log2a2n+3=log222n+1-2×log222n+3-2 =(2n-1)(2n+1) =×= +++…+= = <. 4.(1)解 a1=S1==1. (2)解 n>1時(shí),an=Sn-Sn-1=- =n(2n-1),n=1時(shí),n(2n-1)=1=a1, 所以?n∈N*,an=n(2n-1). (3)證明 由(2)知,n>1時(shí),==<= ++…+<1+ =1+ =1+<1+=, ∵++…+單調(diào)遞增, ∴?n∈N*,++…+<. 考點(diǎn)18 數(shù)列的綜合應(yīng)用 【兩年高考真題演練】 1.解 (1)由題意有,即 解得或故或 (2)由d>1,知an=2n-

42、1,bn=2n-1,故cn=,于是 Tn=1+++++…+,① Tn=+++++…+.② ①-②可得 Tn=2+++…+-=3-, 故Tn=6-. 2.解 (1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn. 而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1. 又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,所以4a2=a1+3a3, 因而3p2-p=0,解得p=,p=0. 當(dāng)p=0時(shí),an+1=an,這與{an}是遞增數(shù)列矛盾. 故p=. (2)由于{a2n-1}是遞增數(shù)列,因而a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>

43、0.① 但<,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.② 由①,②知,a2n-a2n-1>0, 因此a2n-a2n-1==.③ 因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列,同理可得,a2n+1-a2n<0, 故a2n+1-a2n=-=.④ 由③,④即知,an+1-an=. 于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+-+…+ =1+· =+·. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=+·. 3.解 (1)由題意a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6, 知a3=()b3-b2=8, 又由a1=2,得公比q=2(q=-2,舍去), 所以數(shù)列

44、{an}的通項(xiàng)為an=2n(n∈N*). 所以,a1a2a3…an=2 =()n(n+1) 故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=n(n+1)(n∈N*). (2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*),所以Sn=-(n∈N*). ②因?yàn)閏1=0,c2>0,c3>0,c4>0, 當(dāng)n≥5時(shí),cn=, 而-=>0, 得≤<1. 所以,當(dāng)n≥5時(shí),cn<0. 綜上,對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4. 【一年模擬試題精練】 1.解 (1)由題意,當(dāng)n≥2時(shí),有 兩式相減,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2), 所以,當(dāng)n≥2時(shí){an}是等比數(shù)列,要使n≥1時(shí){a

45、n}是等比數(shù)列,則只需==3, 從而得出t=1 (2)由(1)得,等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,公比q=3,∴an=3n-1, ∴cn===1-, ∵c1=1-=-3,c2=1-=,∴c1c2=-1<0, ∵cn+1-cn=-=>0, ∴數(shù)列{cn}遞增. 由c2=>0,得當(dāng)n≥2時(shí),cn>0. ∴數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”為1. 2.解 (1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)為10,公差為2, 所以an=10+(n-1)×2,即an=2n+8. 因?yàn)榈缺葦?shù)列{bn}的首項(xiàng)為1,公比為2, 所以bn=1×2n-1,即bn=2n-1. (2)因?yàn)閍1=10,a2=1

46、2,a3=14,a4=16,a5=18,a6=20, b1=1,b2=2,b3=4,b4=8,b5=16,b6=32. 易知當(dāng)n≤5時(shí),an>bn. 下面證明當(dāng)n≥6時(shí),不等式bn>an成立. 法一?、佼?dāng)n=6時(shí),b6=26-1=32>20=2×6+8=a6,不等式顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥6)時(shí),不等式成立,即2k-1>2k+8. 則有2k=2×2k-1>2(2k+8)=2(k+1)+8+(2k+6)>2(k+1)+8. 這說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 綜合①②可知,不等式對(duì)n≥6的所有整數(shù)都成立. 所以當(dāng)n≥6時(shí),bn>an. 法二 因?yàn)楫?dāng)n≥6時(shí), bn

47、-an=2n-1-(2n+8)=(1+1)n-1-(2n+8) =(C+C+C+…+C)-(2n+8) ≥(C+C+C+C+C+C)-(2n+8) =2(C+C+C)-(2n+8) =n2-3n-6=n(n-4)+(n-6)>0, 所以當(dāng)n≥6時(shí),bn>an. 所以cn=min{an,bn}= 則c= 當(dāng)n≤5時(shí),Sn=c+c+c+…+c=b+b+b+…+b =20+22+24+…+22n-2==(4n-1). 當(dāng)n>5時(shí), Sn=c+c+c+…+c =(b+b+…+b)+(a+a+…+a) = (45-1)+4[(6+4)2+(7+4)2+…+(n+4)2] =341+4[62+72+…+n2)+8(6+7+…+n)+16(n-5)] =341+4[(12+22+…+n2)-(12+22+…+52)]+32(6+7+…+n)+64(n-5) =341+4+32×+64(n-5) =n3+18n2+n-679. 綜上可知,Sn=

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