2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 文（含解析）

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1、專題03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，-1)處的切線方程為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 則在點(diǎn)處的切線方程為，即． 故選C． 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò)，首先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若是切點(diǎn)，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再求導(dǎo)，然后列出切線方程． 2．【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則 A． B．a(chǎn)=

2、e，b=1 C． D．， 【答案】D 【解析】∵ ∴切線的斜率，， 將代入，得. 故選D． 【名師點(diǎn)睛】本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到含有a，b的等式，從而求解，屬于常考題型. 3．【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則 A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0 【答案】C 【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a， 則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2

3、+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b， ， 當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增， 則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時(shí)，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn). 根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)， 如圖： ∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0， 解

4、得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3， 則a>–1，b<0. 故選C． 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，從而結(jié)合題意可列不等式組求解． 4．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】曲線在點(diǎn)處的切線方程為____________． 【答案】 【解析】 所以切線的斜率， 則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即． 【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌

5、握不熟，而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求． 5．【2019年高考天津文數(shù)】曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________. 【答案】 【解析】∵， ∴， 故所求的切線方程為，即. 【名師點(diǎn)睛】曲線切線方程的求法： （1）以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟： ①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)； ②求切線的斜率f′(x0)； ③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡． （2）如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程． 6．【2019

6、年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由，得， 設(shè)斜率為的直線與曲線切于， 由得（舍去）， ∴曲線上，點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為. 故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. 7．【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ▲ . 【答案】 【解析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解

7、方程得到橫坐標(biāo)的值，可得切點(diǎn)坐標(biāo). 設(shè)點(diǎn)，則. 又， 當(dāng)時(shí)，， 則曲線在點(diǎn)A處的切線為， 即， 將點(diǎn)代入，得， 即， 考察函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 且， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 注意到， 故存在唯一的實(shí)數(shù)根， 此時(shí)， 故點(diǎn)的坐標(biāo)為. 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題： 一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆． 二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)． 8．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知函數(shù)f（x）=2

8、sinx-xcosx-x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)． （1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)； （2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】（1）設(shè)，則. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 又，故在存在唯一零點(diǎn). 所以在存在唯一零點(diǎn). （2）由題設(shè)知，可得a≤0. 由（1）知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 又，所以，當(dāng)時(shí)，. 又當(dāng)時(shí)，ax≤0，故. 因此，a的取值范圍是. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍

9、的問題.對于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值. 9．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知函數(shù)．證明： （1）存在唯一的極值點(diǎn)； （2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)． 【答案】（1）見解析；（2）見解析. 【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，+）. . 因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，又， ，故存在唯一，使得. 又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. 因此，存在唯一的極值點(diǎn). （2）由（1）知，又，所以在內(nèi)存在唯一根. 由得. 又，故是在

10、的唯一根. 綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，屬于常考題型. 10．【2019年高考天津文數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中. （1）若a≤0，討論的單調(diào)性； （2）若， （i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)； （ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明. 【答案】（1）在內(nèi)單調(diào)遞增.；（2）（i）見解析；（ii）見解析. 【解析】（1）解：由已知，的定義域?yàn)?，? . 因此當(dāng)a≤0時(shí)，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增. （2）證明：（i）由（Ⅰ）知.令，由， 可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且

11、. 故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則.當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn). 令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，，所以.從而 ， 又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn). （ii）由題意，即從而，即.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，故，兩邊取對數(shù)，得，于是 ， 整理得. 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力. 11．【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)0

12、0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若a=0，在單調(diào)遞增； 若a<0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是 ， 所以 當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞減，所以的取值范圍是． 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的取值范圍是． 綜上，的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的導(dǎo)數(shù)題目，難度比往年降低了不少.考查函數(shù)的單調(diào)性，最大值、最小值的計(jì)算

13、. 12．【2019年高考北京文數(shù)】已知函數(shù)． （1）求曲線的斜率為1的切線方程； （2）當(dāng)時(shí)，求證：； （3）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值． 【答案】（1）與；（2）見解析；（3）. 【解析】（1）由得． 令，即，得或． 又，， 所以曲線的斜率為1的切線方程是與， 即與． （2）令． 由得． 令得或． 的情況如下： 所以的最小值為，最大值為． 故，即． （3）由（2）知， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 綜上，當(dāng)最小時(shí)，．

14、【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 13．【2019年高考浙江】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）對任意均有求的取值范圍． 注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)． 【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）. 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，． ， 所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+）． （2）由，得． 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于． 令，則． 設(shè)， 則． （i）當(dāng)時(shí)，，則 ． 記，則 . 故

15、1 0 + 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以，． 因此，． （ii）當(dāng)時(shí)，． 令，則， 故在上單調(diào)遞增，所以． 由（i）得，． 所以，． 因此． 由（i）（ii）知對任意，， 即對任意，均有． 綜上所述，所求a的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（

16、4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 14．【2019年高考江蘇】設(shè)函數(shù)、為f（x）的導(dǎo)函數(shù)． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值； （3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤． 【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析. 【解析】（1）因?yàn)椋裕? 因?yàn)?，所以，解得? （2）因?yàn)椋? 所以， 從而．令，得或． 因?yàn)槎荚诩现?，且? 所以． 此時(shí)，． 令，得或．列表如下： 1 + 0 – 0 + 極大值 極小值 所以的極小值為．

17、（3）因?yàn)椋裕? ． 因?yàn)?，所以? 則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為． 由，得． 列表如下： + 0 – 0 + 極大值 極小值 所以的極大值． 解法一： ．因此． 解法二： 因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，． 令，則． 令，得．列表如下： + 0 – 極大值 所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故． 所以當(dāng)時(shí)，，因此． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力． 15．【河北省武邑中學(xué)2019屆高三第二次

18、調(diào)研考試數(shù)學(xué)】函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間是 A．(0,1] B．[1,+∞) C．(-∞,-1]∪(0，1] D．[-1,0)∪(0,1] 【答案】A 【解析】f'(x)=2x-2x=2x2-2x(x>0)， 令f'(x)≤0，解得：0

19、題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某一點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是能夠利用構(gòu)造方程組的方式求得函數(shù)的解析式. 17．【云南省玉溪市第一中學(xué)2019屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】函數(shù)的最小值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題得，， 令，解得， 則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)， 所以處的函數(shù)值為最小值，且. 故選C. 【名師點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，解此類題首先確定函數(shù)的定義域，其次判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定最值點(diǎn)，最后代回原函數(shù)求得最值. 18．【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】若函數(shù)f(x)=12ax2+xlnx-x存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范

20、圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ∴在x∈上成立， 即ax+0在x∈上成立， 即a在x∈上成立． 令g（x），則g′（x）， ∴g（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增， ∴g（x）的最小值為g（e）=， ∴a＞． 故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用，屬中檔題． 19．【山西省太原市2019屆高三模擬試題（一）數(shù)學(xué)】已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-f(x)<0，且f(2)=2，則fex-ex>0的解集是 A．(-∞,ln2) B．(ln2,+∞) C．0

21、,e2 D．e2,+∞ 【答案】A 【解析】令gx=fxx,g'x=xf'x-fxx2<0, ∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且g2=f22=1, 故fex-ex>0等價(jià)為fexex>f22，即gex>g2， 故ex<2,即xc>b C．a(chǎn)>b>c D．b>a>c 【答案】

22、D 【解析】依題意，得，，. 令fx=lnxx，所以f'x=1-lnxx2. 所以函數(shù)fx在0,e上單調(diào)遞增，在e,+∞上單調(diào)遞減， 所以fxmax=fe=1e=b，且f3>f8，即a>c， 所以b>a>c. 故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造出函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 21．【安徽省毛坦廠中學(xué)2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考數(shù)學(xué)】已知fx=lnx+1-aex，若關(guān)于x的不等式fx<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由恒成立得恒成立， 設(shè)，則. 設(shè)，則恒成立， ∴gx在0,+∞上單調(diào)遞減

23、， 又∵g1=0，∴當(dāng)0g1=0，即h'x>0； 當(dāng)x>1時(shí)，gx1e. 故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，分離參數(shù)是常見的方法，屬于中檔題. 22．【遼寧省丹東市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試】若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值為 A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2 【答案】B 【解析】， 由題意可知，即或， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減， 顯然是函數(shù)的極值點(diǎn)；

24、當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去. 故. 故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的問題.本題易錯(cuò)的地方是求出的值，沒有通過單調(diào)性來驗(yàn)證是不是函數(shù)的極值點(diǎn)，也就是說使得導(dǎo)函數(shù)為零的自變量的值，不一定是極值點(diǎn). 23．【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試】已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)， 因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)， 所以， 即為上的奇函數(shù) 對求導(dǎo)，得， 而當(dāng)時(shí)，有， 故時(shí)，，即單調(diào)遞增， 所以在上單調(diào)遞

25、增， 則不等式即， 即， 即， 所以，解得. 故選A. 【名師點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)解不等式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，題目較綜合，有一定的技巧性，屬于中檔題. 24．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則________. 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以? 因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為， 又該切線與直線垂直，所以. 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解，屬于?？碱}型. 25．【河南省新鄉(xiāng)市2019屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x)=ex-al

26、nx在[1,2]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是__________. 【答案】(-∞,e] 【解析】由題意知f'(x)=ex-ax≥0在[1,2]上恒成立，則a≤(xex)min， 令g(x)=xex，，知g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增， 則g(x)的最小值為g1=e， 故a≤e. 故答案為(-∞,e]. 【名師點(diǎn)睛】對于恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù). 26．【廣東省深圳市高級中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)若方

27、程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的最大值是______． 【答案】 【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示， 由，可得，即， 不妨設(shè)，則， 令，則， ， 令，則， 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，取得最大值，為. 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查方程的根與圖象交點(diǎn)的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)的極值與最值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）判斷在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.

28、（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該點(diǎn)處取得極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)處的函數(shù)值與極值的大小. 27．【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試（一模）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，. （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值． 【答案】（1）； （2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，極大值為，極小值為. 【解析】（1）由題意，所以當(dāng)時(shí)，，， 因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是， 即. （2）因?yàn)椋? 所以 ， 令，則， 令得， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，單

29、調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，， 也就說，對于恒有. 當(dāng)時(shí)，， 在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時(shí)，令，可得． 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值； 當(dāng)時(shí)，取得極小值. 綜上所述： 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 函數(shù)既有極大值，又有極小值， 極大值為， 極小值為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題． 28．【陜西省2019屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=x2，a∈R. （1）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)； （2）

30、若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范圍. 【答案】（1）極大值點(diǎn)為1a，無極小值點(diǎn).（2）a≥-1. 【解析】（1）的定義域?yàn)?,+∞，f'x=1x-a， 當(dāng)a≤0時(shí)，f'x=1x-a>0， 所以fx在0,+∞上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)； 當(dāng)a>0時(shí)，解f'x=1x-a>0得01a， 所以fx在0,1a上單調(diào)遞增，在1a,+∞上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)fx有極大值點(diǎn)，為1a，無極小值點(diǎn). （2）由條件可得lnx-x2-ax≤0(x>0)恒成立， 則當(dāng)x>0時(shí)，a≥lnxx-x恒成立， 令hx=lnxx-x(x>0)，則h'x=1-x2-ln

31、xx2， 令kx=1-x2-lnx(x>0)， 則當(dāng)x>0時(shí)，k'x=-2x-1x<0，所以kx在0,+∞上為減函數(shù). 又k1=0，所以在0,1上，h'x>0；在1,+∞上，h'x<0. 所以hx在0,1上為增函數(shù)，在1,+∞上為減函數(shù)， 所以hxmax=h1=-1，所以a≥-1. 【名師點(diǎn)睛】對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù). 29．【山東省濟(jì)寧市2019屆高三二模數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x)=lnx-xex+ax(a∈R).

32、（1）若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）若a=1，求f(x)的最大值. 【答案】（1）a≤2e-1；（2）f(x)max=-1. 【解析】（1）由題意知，f'(x)=1x-(ex+xex)+a=1x-(x+1)ex+a≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a≤(x+1)ex-1x在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x+1)ex-1x，則g'(x)=(x+2)ex+1x2>0， 所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(1)=2e-1， 所以a≤2e-1. （2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-xex+x(x>0). 則f'(

33、x)=1x-(x+1)ex+1=(x+1)(1x-ex)， 令m(x)=1x-ex， 則m'(x)=-1x2-ex<0， 所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0滿足m(x0)=0，即ex0=1x0. 當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，m(x)>0，f'(x)>0；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，m(x)<0，f'(x)<0. 所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減. 所以f(x)max=fx0=lnx0-x0ex0+x0， 因?yàn)閑x0=1x0，所以x0=-lnx0， 所以f(x0)=-x0-1+x0=-1， 所以f(

34、x)max=-1. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 30．【福建省2019年三明市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試】已知函數(shù)f(x)=exex-ax+a有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2. （1）求a的取值范圍； （2）求證：2x1x2

35、， 令， 所以， 當(dāng)x<1時(shí)，g'(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0， 所以g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減， 又因?yàn)椋? 當(dāng)x→-∞時(shí)，g(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0， 因此，當(dāng)時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)， 即a的取值范圍為(2e,+∞). （2）由（1）不妨設(shè)0

36、∈(1,+∞)上恒成立， 記， ， 所以h(t)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減， 所以h(t)

37、（2）-2e

38、x)在(-∞,-1)，(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞增. 所以h(x)有極小值h(-1)=-2，極大值h(1)=2. （2）由f(x)=mex-x2+3=0，得m=x2-3ex. 所以“f(x)在區(qū)間[-2?,?4]上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線y=m與曲線g(x)=x2-3ex，x∈[-2?,?4]有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”. 對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g'(x)=-x2+2x+3ex. 由g'(x)=0，解得x1=-1，x2=3. 當(dāng)x變化時(shí)，g'(x)與g(x)的變化情況如下表所示： x (-2,-1) -1 (-1,3) 3 (3,

39、4) g'(x) - 0 + 0 - g(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上單調(diào)遞減，在(-1,3)上單調(diào)遞增. 又因?yàn)間(-2)=e2，g(-1)=-2e，g(3)=6e3g(-1)， 所以當(dāng)-2e