2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題05 平面解析幾何 文（含解析）

《2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題05 平面解析幾何 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題05 平面解析幾何 文（含解析）（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題05 平面解析幾何 1．【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是 A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C. 【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進(jìn)一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤. 2．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【答案】D 【解析】由

2、已知可得， ， 故選D． 【名師點(diǎn)睛】對于雙曲線：，有； 對于橢圓，有，防止記混． 3．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則， 由橢圓的定義有． 在中，由余弦定理推論得． 在中，由余弦定理得，解得． 所求橢圓方程為，故選B． 法二：由已知可設(shè)，則， 由橢圓的定義有． 在和中，由余弦定理得， 又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化

3、歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 4．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，所以，解得，故選D． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于的方程，從而解出，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如時，拋物線焦點(diǎn)為（1，0），橢圓焦點(diǎn)為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D． 5．【2019年高考全國Ⅱ卷

4、文數(shù)】設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸， 又，為以為直徑的圓的半徑， ∴，， 又點(diǎn)在圓上，，即． ，故選A． 【名師點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．解答本題時，準(zhǔn)確畫

5、圖，由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a的關(guān)系，可求雙曲線的離心率． 6．【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知F是雙曲線C：的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)點(diǎn)，則①． 又，②． 由①②得，即， ， 故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題易錯在忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢.設(shè)，由，再結(jié)合雙曲線方程可解出，利用三角形面積公式可求出結(jié)果. 7．【2019年高考北京卷文數(shù)】已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a= A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【解析】∵雙曲線的離心率

6、，， ∴，解得， 故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. 8．【2019年高考天津卷文數(shù)】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為 A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為， 雙曲線的漸近線方程為， 則有， ∴，，， ∴. 故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度.解答時，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的

7、定義求得離心率. 9．【2019年高考北京卷文數(shù)】設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________． 【答案】 【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2， 焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=?1， 以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x?1)2+y2=22，即為. 【名師點(diǎn)睛】本題可采用數(shù)形結(jié)合法，只要畫出圖形，即可很容易求出結(jié)果. 10．【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________. 【答案】 【解析】由已知可得， ，∴． 設(shè)點(diǎn)的坐

8、標(biāo)為，則， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐標(biāo)為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．解答本題時，根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo). 11．【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ . 【答案】 【解析】由已知得，解得或， 因?yàn)?，所? 因?yàn)椋噪p曲線的漸近線方程為. 【名師點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

9、中的密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程. 12．【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線相切位置時，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P，此時到直線x+y=0的距離最小. 由，得，，即切點(diǎn)， 則切點(diǎn)Q到直線x+y=0的距離為， 故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. 13．【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長是.若直線與圓C相切于

10、點(diǎn)，則=___________，=___________． 【答案】， 【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線的斜率，進(jìn)一步得到其方程，將代入后求得，計算得解.解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì). 14．【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________． 【答案】 【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知， 由中位線定理可得，設(shè)，可得， 與

11、方程聯(lián)立，可解得（舍）， 又點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以. 方法2：（焦半徑公式應(yīng)用）由題意可知， 由中位線定理可得，即， 從而可求得，所以. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡潔. 15．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，│AB│ =4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切． （1）若A在直線x+y=0上，求⊙M

12、的半徑； （2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時，│MA│?│MP│為定值？并說明理由． 【答案】（1）的半徑或；（2）存在，理由見解析. 【解析】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，所以M在直線上，故可設(shè). 因?yàn)榕c直線x+2=0相切，所以的半徑為. 由已知得，又，故可得，解得或. 故的半徑或. （2）存在定點(diǎn)，使得為定值. 理由如下： 設(shè)，由已知得的半徑為. 由于，故可得，化簡得M的軌跡方程為. 因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以. 因?yàn)椋源嬖跐M足條件的定點(diǎn)P. 【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解問

13、題、圓錐曲線中的定點(diǎn)定值類問題.解決定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動點(diǎn)所滿足的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義得到定值，驗(yàn)證定值符合所有情況，使得問題得解. 16．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）若為等邊三角形，求C的離心率； （2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍． 【答案】（1）；（2），a的取值范圍為. 【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是. （2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在．當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，① ，② ，③ 由②③及得，又由①知，故． 由②③

14、得，所以，從而故. 當(dāng)，時，存在滿足條件的點(diǎn)P． 所以，的取值范圍為． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題. 17．【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B． （1）證明：直線AB過定點(diǎn)； （2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程． 【答案】（1）見詳解；（2）或. 【解析】（1）設(shè)，則． 由于，所以切線DA的斜率為，故． 整理得 設(shè)，同理可得． 故直線AB的方程為．

15、 所以直線AB過定點(diǎn)． （2）由（1）得直線AB的方程為． 由，可得． 于是. 設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則． 由于，而，與向量平行，所以．解得t=0或． 當(dāng)=0時，=2，所求圓的方程為； 當(dāng)時，，所求圓的方程為． 【名師點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題和第二問是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計算量不小. 18．【2019年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)． （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過

16、定點(diǎn)． 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】（1）由題意得，b2=1，c=1． 所以a2=b2+c2=2． 所以橢圓C的方程為． （2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則直線AP的方程為． 令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)． 又，從而． 同理，． 由得． 則，． 所以 ． 又， 所以． 解得t=0，所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）． 【名師點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意： (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件； (2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的

17、面積等問題． 19．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知（O為原點(diǎn)）. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，圓C同時與x軸和直線l相切，圓心C在直線x=4上，且，求橢圓的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知有，又由，消去得，解得. 所以，橢圓的離心率為. （2）由（1）知，，故橢圓方程為. 由題意，，則直線的方程為， 點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足消去并化簡，得到，解得. 代入到的方程，解得. 因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以. 由圓心在直線上，可設(shè). 因?yàn)椋矣桑?）知

18、，故，解得. 因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑長為2， 又由圓與相切，得，可得. 所以，橢圓的方程為. 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力. 20．【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1． 已知DF1=． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）

19、求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因?yàn)镕1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸， 所以DF2=， 因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2. 由b2=a2?c2，得b2=3. 因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）解法一： 由（1）知，橢圓C：，a=2， 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1. 將x=1代入圓F2的方程(x?1) 2+y2=16，解得y=±4. 因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4). 又F1(?1，0)，所以直線AF1：y=2x+2. 由，得， 解得

20、或. 將代入，得 ， 因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：. 由，得，解得或. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以. 將代入，得. 因此. 解法二： 由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1. 因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 從而∠BF1E=∠B. 因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A. 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸. 因?yàn)镕1(?1，0)，由，得. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以. 因此. 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、

21、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力. 21．【2019年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為． （1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程； （2）求的最小值及此時點(diǎn)G的坐標(biāo)． 【答案】（1）p=2，準(zhǔn)線方程為x=?1；（2）最小值為，此時G（2，0）． 【解析】（1）由題意得，即p=2. 所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1. （2）設(shè)，重心.令，則. 由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得 ， 故，即

22、，所以. 又由于及重心G在x軸上，故，得. 所以，直線AC方程為，得. 由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故.從而 . 令，則m>0， . 當(dāng)時，取得最小值，此時G（2，0）． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力. 22．【遼寧省丹東市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)（二）】經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線，則的方程為 A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為， 當(dāng)過點(diǎn)的切線存在斜率，切線方程為，圓心到它的距離為，所以有，即切線方程為， 當(dāng)過點(diǎn)的切線不存在斜率時，即，顯然圓心到它的距離

23、為，所以不是圓的切線. 因此切線方程為，故本題選C. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了求圓的切線.本題實(shí)際上是過圓上一點(diǎn)求切線，所以只有一條.解答本題時，設(shè)直線存在斜率，點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，再討論直線不存在斜率時，是否能和圓相切，如果能，寫出直線方程，綜合求出切線方程. 23．【廣東省深圳市深圳外國語學(xué)校2019屆高三第二學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)試題】已知橢圓 的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為12，則橢圓短軸長為 A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】橢圓的離心率：， 橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，即，可得：，， ， 則橢圓

24、短軸長為. 本題正確選項(xiàng)為A. 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解答本題時，利用橢圓的定義以及離心率，求出，然后求解橢圓短軸長即可． 24．【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)試題】已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同，可得：，即， ∴，可得， ∴雙曲線的漸近線方程為：， 故選A． 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．解答本題時，由題意可得，即，代入

25、雙曲線的漸近線方程可得答案. 25．【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為. 由，得：， 由拋物線定義可知：，設(shè)直線的傾斜角為， 由拋物線焦半徑公式可得：，解得：， ，解得：， 本題正確選項(xiàng)為B. 【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用焦半徑公式中的傾斜角構(gòu)造出方程，從而使問題得以解決. 26．【福建省廈門市廈門外國語學(xué)校2019屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題】雙曲線的焦點(diǎn)是，若雙曲

26、線上存在點(diǎn)，使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是______. 【答案】 【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應(yīng)為與或與， 不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，且點(diǎn)在第一象限， 故，等腰有一內(nèi)角為，即， 由余弦定理可得，， 由雙曲線的定義可得，，即， 解得：. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.解答本題時，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率. 27．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2

27、019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)試題】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為． （1）求橢圓C的方程； （2）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時，求的面積． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由題意可得：，，得，則. 所以橢圓. （2）當(dāng)直線與軸重合時，不妨取，此時； 當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線的方程為：，， 聯(lián)立得， 顯然，，. 所以 . 當(dāng)時，取最大值.此時直線方程為， 不妨取，所以. 又，所以的面積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，運(yùn)用了設(shè)而不求的思想，將向量和圓錐曲線結(jié)合起來，是典型考題. （1）由左頂點(diǎn)M坐標(biāo)可得a=2，再

28、由可得c，進(jìn)而求得橢圓方程. （2）設(shè)l的直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立，可得，由于，可用t表示出兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和，進(jìn)而得到關(guān)于t的一元二次方程，得到取最大值時t的值，求出直線方程，而后計算出的面積. 28．【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且. （1）求的值； （2）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，，是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）4；（2）證明過程見解析，直線恒過定點(diǎn). 【解析】（1）設(shè)，由拋物線定義知， 又，， 所以，解得， 將點(diǎn)代入拋物線方程，解得. （2）由（1）知，的方程為， 所以點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，， 由得，. 所以，， 所以 ， 解得， 所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)． 【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題. （1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后代入拋物線方程，得到的值； （2），，直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡整理，得到和的關(guān)系，從而得到直線恒過的定點(diǎn). 25