2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題09 不等式、推理與證明 理（含解析）

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1、專題09 不等式、推理與證明 1．【2019年高考全國II卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】

2、由，得 因為， 所以， 即， 解得， 所以 【名師點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯． 2．【2019年高考全國II卷理數(shù)】若a>b，則 A．ln(a?b)>0 B．3a<3b C．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C． 【名師點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷． 3．【2019年高考

3、北京卷理數(shù)】若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值為 A．?7 B．1 C．5 D．7 【答案】C 【解析】由題意作出可行域如圖陰影部分所示. 設, 當直線經(jīng)過點時,取最大值5.故選C． 【名師點睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型,根據(jù)“畫?移?解”等步驟可得解.題目難度不大,注重了基礎知識?基本技能的考查. 4．【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為

4、 A． 1010.1 B． 10.1 C． lg10.1 D． 10–10.1 【答案】A 【解析】兩顆星的星等與亮度滿足,令, . 故選：A． 【名師點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算. 5．【2019年高考天津卷理數(shù)】設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分. 目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距， 故目標函數(shù)在點處取得最大值. 由，得， 所以. 故選C. 【名師點睛】線性

5、規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求． 6．【2019年高考天津卷理數(shù)】設，則“”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】化簡不等式，可知推不出， 由能推出， 故“”是“”的必要不充分條件， 故選B. 【名師點睛】本題考查充分必要條件，解題關鍵是化簡不等式，由集合的關系來判斷條件. 7．【2019年高考浙江

6、卷】若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是 A． B． 1 C． 10 D． 12 【答案】C 【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。 因為，所以. 平移直線可知，當該直線經(jīng)過點A時，z取得最大值. 聯(lián)立兩直線方程可得，解得. 即點A坐標為， 所以.故選C. 【名師點睛】解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影響答案的準確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯. 8．【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當時，當且僅

7、當時取等號，則當時，有，解得，充分性成立； 當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件. 【名師點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取的值，從假設情況下推出合理結果或矛盾結果. 9．【2019年高考全國II卷理數(shù)】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的

8、表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．） 【答案】26， 【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面． 如圖，設該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形， ， ， 即該半正多面體棱長為． 【名師點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形． 1

9、0．【2019年高考北京卷理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%． ①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________． 【答案】①130 ；②15. 【解析】（1）,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元. （2）

10、設顧客一次購買水果的促銷前總價為元, 元時,李明得到的金額為,符合要求. 元時,有恒成立,即,即元. 所以的最大值為. 【名師點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學的應用意識?數(shù)學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng). 11．【2019年高考天津卷理數(shù)】設，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】方法一：. 因為， 所以， 即，當且僅當時取等號成立. 又因為，當且僅當，即時取等號，結合可知，可以取到3，故的最小值為. 方法二： . 當且僅當時等號成立， 故的最小值為. 【名師點睛】使

11、用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立. 12．（四川省棠湖中學2019屆高三高考適應性考試數(shù)學（理)試題）已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 故，故選C. 【名師點睛】本題考查集合的交集，屬于基礎題，解題時注意對數(shù)不等式的等價轉(zhuǎn)化. 13．【廣東省韶關市2019屆高考模擬測試（4月)數(shù)學試題】若，滿足約束條件，則的最大值為 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】變量，滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示： 目標函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線， 當直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值， 則此時目標函

12、數(shù)取得最大值， 由可得， 目標函數(shù)的最大值為：5 故選：C． 【名師點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查計算能力以及數(shù)形結合思想的應用． 14．【山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試理科數(shù)學試題】已知實數(shù)，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率， 當位于時，此時的斜率最小，此時． 故選B． 【名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵． 15．【黑龍江省大慶市第一中

13、學2019屆高三下學期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學試題】設不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫出所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知， 所以的面積為， 滿足不等式的點，在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為， 由幾何概型的公式可得其概率為， 故選A. 【名師點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題. 16．【山西省2019屆高三高考考前適應性訓練（三)數(shù)學試題】設，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ,即，故. 又，所以.

14、 故，所以選A. 【名師點睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對數(shù)的化簡與計算，考查分析計算，化簡求值的能力，屬中檔題. 17．【陜西省2019年高三第三次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題】若正數(shù)滿足，則的最小值為 A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由題意，因為， 則， 當且僅當，即時等號成立， 所以的最小值為，故選A. 【名師點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構造，利用基本不等式準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題. 18．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考數(shù)學卷】已知log2a-2+log2b-1≥

15、1，則2a+b取到最小值時，ab= A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【解析】由log2a-2+log2b-1≥1，可得a-2>0，b-1>0且a-2b-1≥2. 所以2a+b=2a-2+b-1+5≥22a-2b-1+5≥22×2+5=9， 當2a-2=b-1且a-2b-1=2時等號成立，解得a=b=3. 所以2a+b取到最小值時ab=3×3=9.故選D. 【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時要注意不等式取等的條件要同時滿足. 19．【北京市東城區(qū)2019屆高三第二學期綜合練習（一)數(shù)學試題】某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現(xiàn)對

16、3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票. 這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的 , ,，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為 A． B． C．96% D．98% 【答案】C 【解析】設投1票的有x,2票的y,3票的z，則,則,即, 由題投票有效率越高z越小，則x=0時，z=4,故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為96%.故選：C. 【名師點睛】本題考查推理的應用，考查推理與轉(zhuǎn)化能力，明確有效率與無效票之間的關系是解題關鍵,是中檔題. 20．【西南名校聯(lián)盟重慶市第八中學2019屆高三5月高考適應性月考卷數(shù)學試題】

17、甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出如下預測： 甲說：獲獎者在乙丙丁三人中； 乙說：我不會獲獎，丙獲獎； 丙說：甲和丁中的一人獲獎； 丁說：乙猜測的是對的. 成績公布后表明，四人中有兩人的預測與結果相符，另外兩人的預測與結果不相符.已知倆人獲獎，則獲獎的是 A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】D 【解析】乙、丁的預測要么同時與結果相符，要么同時與結果不符，若乙、丁的預測成立，則甲、丙的預測不成立，可知矛盾，故乙、丁的預測不成立，從而獲獎的是乙和丁，故選D. 【名師點睛】本題考查了邏輯推理能力，假設法是解決此類問題常用的方法. 2

18、1．【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學試題】已知實數(shù)，滿足，則的最大值是__________． 【答案】 【解析】由約束條件可知可行域為圖中陰影部分所示： 其中，， 又，可知的幾何意義為可行域中的點到直線距離的倍 可行域中點到直線距離最大的點為. ， 故填. 【名師點睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問題，關鍵是能夠明確目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結合來進行求解． 22．【天津市和平區(qū)2018-2019學年度第二學期高三年級第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學試題】已知，，且，則最小值為__________． 【答案】 【解析】， 結合可知原式

19、， 且 ， 當且僅當時等號成立. 即的最小值為. 【名師點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 23．【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學試題】已知首項與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，，滿足aman2=a42，則2m+1n的最小值為__________． 【答案】1 【解析】設等比數(shù)列an公比為q，則首項a1=q， 由aman2=a42得：a1qm-1?a1qn-12=a1q32， 則：qm+2n=q8，∴m+2n=8， ∴2m+1n=18?2

20、m+1nm+2n=18?2+4nm+mn+2=18?4+4nm+mn， ，∴4nm>0,mn>0. 則4nm+mn≥24nm?mn=4（當且僅當4nm=mn，即2n=m時取等號） ∴2m+1nmin=18×4+4=1. 故填1. 【名師點睛】本題考查基本不等式求解和最小值的問題，關鍵是能夠根據(jù)等比數(shù)列各項之間的關系，通過等比數(shù)列基本量得到m,n滿足的等式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結果. 24．【山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試數(shù)學試題】觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個不等式應該為__________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，

21、對于第一個不等式，，則有， 對于第二個不等式，，則有， 對于第三個不等式，，則有， 依此類推： 第個不等式為：， 故答案為：． 【名師點睛】本題考查歸納推理的應用，分析不等式的變化規(guī)律． 25．【陜西省延安市2019屆高考模擬試題數(shù)學】甲、乙、丙三位教師分別在延安、咸陽、寶雞的三所中學里教不同的學科A，B，C，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸陽工作； ②在延安工作的教師不教C學科； ③在咸陽工作的教師教A學科； ④乙不教B學科. 可以判斷乙工作的地方和教的學科分別是______、_____． 【答案】寶雞，C 【解析】由③得在咸陽工作的教師教A學科；又由①得乙不在咸陽工作，所以乙不教A學科； 由④得乙不教B學科，結合③乙不教A學科，可得乙必教C學科， 所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸陽工作；所以乙在寶雞工作， 綜上，乙工作地方和教的學科分別是寶雞和C學科． 故答案為：寶雞，C． 【名師點睛】本題考查簡單的合理推理，考查邏輯推理能力，是基礎題． 16