2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測十二 概率、隨機變量及其分布(提升卷)單元檢測 理(含解析) 新人教A版

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1、單元檢測十二 概率、隨機變量及其分布(提升卷) 考生注意: 1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共4頁. 2.答卷前,考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上. 3.本次考試時間100分鐘,滿分130分. 4.請在密封線內(nèi)作答,保持試卷清潔完整. 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們六個面上分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的點數(shù)分別為X,Y,則log2XY=1的概率為(  )

2、 A.B.C.D. 答案 C 解析 由題意知X,Y應滿足Y=2X,所以滿足題意的有(1,2),(2,4),(3,6)三種,所以概率為=. 2.一袋中裝有大小相同,編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球,從中有放回地每次取一個球,共取2次,則取得兩個球的編號和不小于15的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 從中有放回地取2次,所取號碼的情況共有8×8=64(種),其中編號和不小于15的有3種,分別是(7,8),(8,7),(8,8),共3種. 由古典概型概率公式可得所求概率為P=. 3.已知ABCD為長方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點,在長方形AB

3、CD內(nèi)隨機取一點,取到的點到O的距離大于1的概率為(  ) A.B.1-C.D.1- 答案 B 解析 根據(jù)幾何概型得,取到的點到O的距離大于1的概率P====1-. 4.歐陽修《賣油翁》中寫道:“(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕”.賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.設銅錢是直徑為4cm的圓,它中間有邊長為1cm的正方形孔.若隨機向銅錢上滴一滴油,則油滴(不計油滴的大小)正好落入孔中的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 由題意得,所求的概率為=,故選A. 5.一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可以從0~9中任選一個,某人在銀行自動

4、提款機上取錢時,忘記了密碼最后一位數(shù)字,如果任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可以從0~9中任選一個,某人在銀行自動提款機上取錢時,忘記了密碼最后一位數(shù)字,任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對的概率為: P=+×=. 6.如圖所示,在圓心角為90°的扇形AOB中,以圓心O作為起點作射線OC,OD,則使∠AOC+∠BOD<45°的概率為(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 設∠AOC=x°,∠BOD=y(tǒng)°,把(x,y)看作坐標平面上的點,則試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω

5、={(x,y)|0≤x≤90,0≤y≤90},若事件A表示∠AOC+∠BOD<45°,則其所構(gòu)成的區(qū)域為A={(x,y)|x+y<45,0≤x≤90,0≤y≤90},即圖中的陰影部分,故S陰影=×45×45.由幾何概型的概率公式,得所求概率P(A)==. 7.有一種競猜游戲,游戲規(guī)則如下:在20個商標牌中,有5個商標牌的背面注明了一定的獎金金額,其余商標牌的背面是一張笑臉,若翻到笑臉,則不得獎,參加這個游戲的人有三次翻牌的機會.某人前兩次翻牌均得若干獎金,如果翻過的牌不能再翻,那么此人第三次翻牌獲獎的概率是(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 因為20個商標有5個中獎,翻了兩

6、個都中獎,所以還剩18個,其中還有3個會中獎,所以這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是=.故選B. 8.(2018·福建省廈門外國語學校模擬)我國成功申辦2022年第24屆冬季奧林匹克運動會,屆時冬奧會的高山速降運動將給我們以速度與激情的完美展現(xiàn),某選手的速度ξ服從正態(tài)分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.7,則其速度超過120的概率為(  ) A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2 答案 C 解析 由題意可得,μ=100,且P(80<ξ<120)=0.7, 則P(ξ<80或ξ>120)=1-P(80<ξ<120)=1-0.7=0.3. ∴P(ξ>12

7、0)=P(ξ<80或ξ>120)=0.15. 則他速度超過120的概率為0.15. 9.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(  ) A.0.4B.0.6C.0.75D.0.8 答案 D 解析 設“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A, “隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件B, 則P(A)=0.75,P(AB)=0.6, ∴P(B|A)===0.8. 10.隨機變量X的分布列如下表,且E(X)=2,則D(2X-3)等于(  ) X 0 2 a P p

8、 A.2B.3C.4D.5 答案 C 解析 p=1--=, E(X)=0×+2×+a×=2,則a=3, ∴D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1, ∴D(2X-3)=22D(X)=4. 11.(2018·黑龍江省哈爾濱市第六中學考試)甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍,若比賽為“三局兩勝”制,甲在每局比賽中獲勝的概率均為,且各局比賽結(jié)果相互獨立,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進行了三局的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由題意,甲獲得冠軍的概率為×+××+××=, 其中比賽進行了3局的概率為××+××=, ∴所求概率為÷=. 12

9、.口袋里放有大小相等的兩個紅球和一個白球,有放回地每次摸取一個球,數(shù)列滿足:an=如果Sn為數(shù)列的前n項和,那么S7=3的概率為(  ) A.C2·5 B.C2·5 C.C2·5 D.C2·5 答案 B 解析 據(jù)題意可知7次中有5次摸到白球,2次摸到紅球,由獨立重復試驗即可確定其概率,故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題 共70分) 二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上) 13.若某人在打靶時連續(xù)射擊2次,則事件“至少有1次中靶”的對立事件是______________. 答案 兩次都未中靶 14.若連續(xù)擲兩次骰子,第一次擲得的點數(shù)為m,第二次擲得的點數(shù)

10、為n,則點P(m,n)落在圓x2+y2=16內(nèi)的概率是________.(骰子為正方體,且六個面分別標有數(shù)字1,2,…,6) 答案  解析 由題意得,基本事件總數(shù)為36,點P落在圓內(nèi)包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8個, 由古典概型概率公式可得所求概率為=. 15.設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=,k=1,2,3,c為常數(shù),則P(0.5<ξ<2.5)=________. 答案  解析 隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=,k=1,2,3, ∴++=1, 即=1,解得c=, ∴P(0.5<ξ<2

11、.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2) =+=×=. 16.某籃球運動員投中籃球的概率為,則該運動員“投籃3次至多投中1次”的概率是________.(結(jié)果用分數(shù)表示) 答案  解析 “投籃3次至多投中1次”包括只投中一次,和全部沒有投中, 故“投籃3次至多投中1次”的概率是C·2·+C·3=. 三、解答題(本題共4小題,共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(12分)甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是,,. (1)現(xiàn)3人各投籃1次,求3人至少一人投進的概率; (2)用ξ表示乙投籃4次的進球數(shù),求隨機變量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ). 解 (1)

12、記“甲投籃1次投進”為事件A,“乙投籃1次投進”為事件B,“丙投籃1次投進”為事件C,“至少一人投進”為事件D. P(D)=1-P()P()P()=. (2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4, 且ξ~B, 所以,P(ξ=k)=Ck4-k (k=0,1,2,3,4), 故隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=, D(ξ)=. 18.(12分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學的投籃命中次數(shù),乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中用x表示. (1)若乙組同學投籃命中次數(shù)的

13、平均數(shù)比甲組同學的平均數(shù)少1,求x的值及乙組同學投籃命中次數(shù)的方差; (2)在(1)的條件下,分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10的同學中,各隨機選取1名,求這2名同學的投籃命中次數(shù)之和為16的概率. 解 (1)依題意得=-1,解得x=6,乙=, s2= =1.76. (2)記甲組投籃命中次數(shù)低于10次的同學為A1,A2,A3,他們的命中次數(shù)分別為9,8,7. 乙組投籃命中次數(shù)低于10次的同學為B1,B2,B3,B4,他們的命中次數(shù)分別為6,8,8,9. 依題意,不同的選取方法有:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),

14、(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),共12種. 設“這兩名同學的投籃命中次數(shù)之和為16”為事件C,其中恰含有(A2,B2),(A2,B3),(A3,B4),共3種. ∴P(C)==. 19.(13分)(2018·武漢重點中學模擬)某校為了更好地管理學生用手機問題,根據(jù)學生每月用手機時間(每月用手機時間總和)的長短將學生分為三類:第一類的時間區(qū)間在[0,30),第二類的時間區(qū)間在[30,60),第三類的時間區(qū)間在[60,720](單位:小時),并規(guī)定屬于第三類的學生要進入“思想政治學習班”進行思想和心理的輔導.現(xiàn)對該校二年級101

15、4名學生進行調(diào)查,恰有14人屬于第三類,這14名學生被學校帶去政治學習.由剩下的1000名學生用手機時間情況,得到如圖所示頻率分布直方圖. (1)求這1000名學生每月用手機時間的平均數(shù); (2)利用分層抽樣的方法從1000名選出10名學生代表,若從該10名學生代表中任選兩名學生,求這兩名學生用手機時間屬于不同類型的概率; (3)若二年級學生長期保持著這一用手機的現(xiàn)狀,學校為了鼓勵學生少用手機,連續(xù)10個月,每個月從這1000名學生中隨機抽取1名,若取到的是第一類學生,則發(fā)放獎品一份,設X為獲獎學生人數(shù),求X的均值E(X)與方差D(X). 解 (1)平均數(shù)為5×0.010×10+1

16、5×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4(小時). (2)由頻率分布直方圖可知,采用分層抽樣抽取10名學生,其中8名為第一類學生,2名為第二類學生,則從該10名學生代表中抽取2名學生且這兩名學生不屬于同一類的概率為=. (3)由題可知,這1000名學生中第一類學生占80%, 則每月從1000名學生中隨機抽取1名學生,是第一類學生的概率為0.8, 則連續(xù)10個月抽取,獲獎人數(shù)X~B(10,0.8),其均值E(X)=np=10×0.8=8,方差D(X)=np(1-p)=10×0.8×0.2=1.6. 2

17、0.(13分)現(xiàn)對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽調(diào)了50人,他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表. 月收入(單位:百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 8 12 5 2 1 (1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表并問是否有99%的把握認為月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異; 月收入不低于55百元的人數(shù) 月收入低于55百元的人數(shù) 合計 贊成 a=__________

18、 c=__________ 不贊成 b=__________ d=__________ 合計 (2)若對在[15,25),[25,35)的被調(diào)查的人中各隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列及均值. 附:K2=. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 (1)2×2列聯(lián)表如下: 月收入不低于55百元的人數(shù) 月

19、收入低于55百元的人數(shù) 合計 贊成 a=3 c=29 32 不贊成 b=7 d=11 18 合計 10 40 50 因為K2≈6.272<6.635,所以沒有99%的把握認為月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3, P(ξ=0)=×=×=, P(ξ=1)=×+× =×+×=, P(ξ=2)=×+× =×+×=, P(ξ=3)=×=×=, 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 所以ξ的均值 E(ξ)=0+1×+2×+3×=. 10

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