《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章 函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第8節(jié) 函數(shù)與方程 學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章 函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第8節(jié) 函數(shù)與方程 學(xué)案（25頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第8節(jié) 函數(shù)與方程
1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.
2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn),了解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步驟.
1.函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義:使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).
(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).
函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn),而是一個(gè)實(shí)數(shù).該實(shí)數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(
2、a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.
函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)且單調(diào),而且f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
3.二分法
對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
用二分法求方程的近似解應(yīng)具備兩個(gè)條件,一是方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷,二是該零點(diǎn)左、右的函數(shù)值異號(hào).
4.二次函數(shù)y=
3、ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函數(shù)
y=ax2+bx+c
(a>0)的圖象
與x軸的交點(diǎn)
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
無交點(diǎn)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)
2
1
0
1.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點(diǎn).特別是,當(dāng)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)時(shí),它僅有一個(gè)零點(diǎn).
2.由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(
4、x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.
1.若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點(diǎn),所以方程x2+2x+a=0無實(shí)根,即Δ=4-4a<0,由此可得a>1.故選B.
2.(必修第一冊(cè)P155習(xí)題T2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下的x,f(x)對(duì)應(yīng)值表:
x
1
2
3
4
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
x
5
6
7
f(x)
-
5、52.488
-232.064
11.238
由表可知函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有( D )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:因?yàn)閒(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)f(7)<0,所以存在零點(diǎn)的區(qū)間有4個(gè).故選D.
3.(必修第一冊(cè)P155習(xí)題T4改編)函數(shù)f(x)=3x+2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( C )
A.(1,2) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(-2,-1)
解析:由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增,且f(-2)=3-2+2×(-2)=19-4<0, f(-1)=3-1+2×(-1)=13-2<0,f(0)=1>0
6、,f(1)=3+2>0,f(2)=9+4>0,因此f(-1)f(0)<0,所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(-1,0).故選C.
4.函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,lgx,x>0的零點(diǎn)是( B )
A.(-1,0),(1,0) B.-1,1
C.(-1,0) D.-1
解析:由題意可得x+1=0,x≤0,解得x=-1;
lgx=0,x>0,解得x=1.綜上x=±1.故選B.
函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用
1.函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點(diǎn)所在區(qū)間為( C )
A.(0,12) B.(12,1)
C.(1,2) D.(2,3)
解析:由題意可知函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞
7、增,且連續(xù)不間斷.
f(12)=log212-2<0,f(1)=log21-1<0,f(2)=log22-12>0,
由f(1)·f(2)<0及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).故選C.
2.已知函數(shù)h(x)=ex與g(x)=x2-8x,兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為( B )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析:令f(x)=h(x)-g(x)=ex-x2+8x,
則f(-2)=e-2-(-2)2+8×(-2)<0,
f(-1)=e-1-(-1)2+8×(-1)<0,
f(0)=1,f(2)>0,所以f(-1)f(
8、0)<0,又f(x)的圖象連續(xù),且在(-1,0)上單調(diào),所以函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)必有零點(diǎn).即兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(-1,0).故選B.
3.已知[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),若x0是方程ln x=2x的一個(gè)解,則g(x0)等于( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:令f(x)=ln x-2x,則函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù),且f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-23>0,故x0∈(2,3),所以g(x0)=[x0]=2.
故選B.
4.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)+3x+m的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1]上,則
9、實(shí)數(shù)m的取值范圍為( D )
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪(0,+∞)
D.[-4,0)
解析:因?yàn)閒(x)=log2(x+1)+3x+m在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)=log2(x+1)+3x+m的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1]上,所以f(0)<0,f(1)≥0,即m<0,log22+3+m≥0,解得-4≤m<0.故選D.
確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有
10、零點(diǎn).若函數(shù)圖象連續(xù)不間斷,則直接使用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷.
(2)求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍及方程的根的范圍的方法
兩函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)(同理,方程f(x)-g(x)=0的根就是函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)),因此可以借助函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.
函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定
解方程法
已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0,則函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.2 C.0 D.4
解析:y=f[f(x)]-1=0,即f[f(x)]=1.
11、當(dāng)f(x)≤0時(shí),f(x)+1=1,即f(x)=0時(shí),此時(shí)log2x=0,計(jì)算得出x=1,或者x+1=0,計(jì)算得出x=-1.
當(dāng)f(x)>0時(shí),即log2f(x)=1,當(dāng)f(x)=2時(shí),若x+1=2,計(jì)算得出x=1(舍去),若log2x=2,計(jì)算得出x=4.綜上所述,函數(shù)y=f[f(x)]-1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選A.
數(shù)形結(jié)合法
(1)已知f(x)=-x2-2x+1,x≤0,-2x+1,x>0,則函數(shù)g(x)=f(x)-e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2,那么函數(shù)y=f
12、(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有( )
A.10個(gè) B.9個(gè) C.8個(gè) D.7個(gè)
解析:(1)函數(shù)g(x)=f(x)-e-x的零點(diǎn),即方程f(x)-e-x=0的解,即f(x)=e-x,即y=f(x)與y=e-x圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)閒(x)=-x2-2x+1,x≤0,-2x+1,x>0,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象如圖所示,
由函數(shù)圖象可知y=f(x)與y=e-x有兩個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)g(x)=f(x)-e-x有2個(gè)零點(diǎn).故選B.
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象如圖所示,
因?yàn)閒(9)=f(1)=1>lg 9,f(11)=f(
13、1)=1
14、ex的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn),故原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.
2.(2021·浙江瑞安中學(xué)高三模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+2)=f(-x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=log2(x+1),則函數(shù)y=f(x)-x3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:由f(x+2)=f(-x)可得f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-[-f(x-2)]=f(x-2),所以f(x)的周期為4.
函數(shù)y=f(x
15、)-x3的零點(diǎn)問題即y=f(x)-x3=0的解,即函數(shù)y=f(x)和y=x3的圖象交點(diǎn)問題,根據(jù)f(x)的性質(zhì)可得滿足題意的函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可得共有3個(gè)交點(diǎn).故選B.
3.函數(shù)f(x)=-1+lnx,x>0,3x+4,x<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .?
解析:當(dāng)x>0時(shí),令-1+ln x=0,故x=e,符合;當(dāng)x<0時(shí),令3x+4=0,故x=-43,符合,所以y=f(x)的零點(diǎn)有2個(gè).
答案:2
函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
已知函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù),求參數(shù)取值范圍
已知函數(shù)f(x)=ex-a,x≤0,2x-a,x>0(a∈R),若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍
16、是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
解析:畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x≤0時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn),需a≤1;當(dāng)x>0時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn),需-a<0,即a>0.綜上,0
17、數(shù)形結(jié)合思想求解.
求函數(shù)的零點(diǎn)的和
函數(shù)f(x)=11-x-2sin(πx)(-1≤x≤3)的所有零點(diǎn)之和為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:法一 令f(x)=11-x-2sin(πx)=0,即11-x=2sin(πx).由于函數(shù)y=11-x=-1x-1是由函數(shù)y=-1x向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,因此函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,由于點(diǎn)(1,0)是函數(shù)y=2sin(πx)圖象的對(duì)稱點(diǎn),在同一平面直角坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,兩個(gè)函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)f(x)=11-x-2sin(πx)(-1≤x≤3)零點(diǎn)之和為2×2=4.故選B.
18、
法二 令1-x=t,則2sin(πx)=2sin[π(1-t)]=2sin(π-πt)=2sin(πt),
由x=1-t以及-1≤x≤3可知-1≤1-t≤3,所以-2≤t≤2.
如圖作出兩函數(shù)y=1t,y=2sin(πt)在區(qū)間[-2,2]內(nèi)的圖象,可知兩函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn),結(jié)合兩函數(shù)均為奇函數(shù)可知,t1+t2+t3+t4=0,即(1-x1)+(1-x2)+(1-x3)+(1-x4)=0,因此x1+x2+x3+x4=4.故選B.
求函數(shù)的多個(gè)零點(diǎn)(或方程的根以及直線y=m與函數(shù)圖象的多個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo))的和時(shí),常借助函數(shù)的性質(zhì)(如函數(shù)本身關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱、直線的對(duì)稱等)求和.
二
19、次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題
已知方程x2-mx-m+3=0.
(1)若方程不相等的兩根都在[-4,0]內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程不相等的兩根都小于5,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若一根大于1,一根小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:令f(x)=x2-mx-m+3,則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線.
(1)若f(x)=x2-mx-m+3=0的不相等的兩根都在[-4,0]內(nèi),
則Δ=m2+4m-12>0,-42或m<-6,-8
20、2-mx-m+3=0的兩根都小于5,
則Δ=m2+4m-12>0,m2<5,f(5)=25-6m+3>0,
解得m<-6或22.
若二次方程的根在一個(gè)區(qū)間上,則要考慮方程判別式Δ≥0,方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在該區(qū)間內(nèi),以及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)和開口方向;若二次方程的根在兩個(gè)區(qū)間上,則只需要考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)和開口方向.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|·(x+1),若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的值為(
21、 )
A.0 B.1
C.0和-1 D.0和1
解析:f(x)=|x-1|·(x+1)=x2-1,x>1,-(x2-1),x≤1,
畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,
結(jié)合函數(shù)圖象可知k=1或k=0時(shí),方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.故選D.
2.方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(0,2)內(nèi),則m的取值范圍是( )
A.(53,5) B.(-73,5)
C.(-∞,53)∪(5,+∞) D.(-∞,53)
解析:因?yàn)榉匠?x2+(m-2)x+m-5=0的一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(0,2)內(nèi),所以函數(shù)f(x
22、)=4x2+(m-2)x+m-5的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間(0,2)內(nèi),
則只需f(-1)=4-(m-2)+m-5>0,f(0)=m-5<0,f(2)=16+2(m-2)+m-5>0,
解得-73
23、得y=1|x-1|和y=2cos(πx)的圖象都關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則交點(diǎn)也關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,
觀察圖象可知,y=1|x-1|和y=2cos(πx)在[-3,5]內(nèi)有8個(gè)交點(diǎn),即f(x)有8個(gè)零點(diǎn),且關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故所有零點(diǎn)的和為4×2=8.故選D.
已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),若f(2)=0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),f(x-3)=f(x),所以f(x)是以3為周期的周期
24、函數(shù),又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(5)=f(2)=0,f(1)=f(-2)=0,f(4)=f(1)=0.即在區(qū)間(0,6)內(nèi),f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值是4.故選B.
已知函數(shù)f(x)=(12)x-|log3(x-1)|有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則( )
A.x1x2x1+x2
解析:在同一平面直角坐標(biāo)系下,作出函數(shù)y=(12)x與函數(shù)y=|log3(x-1)|的圖象如圖所示,設(shè)x
25、1∈(1,2),x2∈(2,+∞),
有(12)?x1=-log3(x1-1),(12)?x2=log3(x2-1),
所以(12)?x2-(12)?x1=log3(x2-1)+log3(x1-1)=log3[(x2-1)(x1-1)].
因?yàn)閤10,2|x|,x≤0,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .?
解析:由
26、2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,
作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,
由圖象知y=12與y=f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),y=1與y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).
因此函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)有5個(gè).
答案:5
已知函數(shù)f(x)=log2(-x2),x≤-1,-13x2+43x+23,x>-1,
若f(x)在區(qū)間[m,4]上的值域?yàn)閇-1,2],則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .?
解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,當(dāng)x≤-1時(shí),函數(shù)f(x)=log2(-x2)單調(diào)遞減,且最小值為f(-1)=-1,則令log2(-x2)=2,解得x
27、=-8;當(dāng)x>-1時(shí),函數(shù)f(x)=-13x2+43x+23在(-1,2)上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,則最大值為f(2)=2,又f(4)=23<2,f(-1)=-1,故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-8,-1].
答案:[-8,-1]
若曲線y=log2(2x-m)(x>2)上至少存在一點(diǎn)與直線y=x+1上的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則m的取值范圍為 .?
解析:因?yàn)橹本€y=x+1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y=x-1,依題意方程log2(2x-m)=x-1在(2,+∞)上有解,即m=2x-1在(2,+∞)上有解,所以m>2.
又2x-m>0恒成立,則m≤4,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為
28、(2,4].
答案:(2,4]
知識(shí)點(diǎn)、方法
基礎(chǔ)鞏固練
綜合運(yùn)用練
應(yīng)用創(chuàng)新練
函數(shù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))及所在區(qū)間
1,2,3,10
15
利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)
的取值(范圍)
5,8,9
11,13
16
函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題
4,6,7
12,14
1.函數(shù)y=x-4·(12)x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( B )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:y=x-4·(12)x=x-(12)x-2為R上的連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù),且f(1)=1-2< 0,f(2)=2-1>0,所以f(1)·f(2)<0,故函數(shù)y=x-4
29、·(12)x的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).故選B.
2.函數(shù)f(x)=x2-1x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令f(x)=0得x2-1x+1=0,所以x2+1=1x,再作出函數(shù)y=x2+1與y=1x的圖象,如圖所示,由于兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.
3.設(shè)x∈R,定義符號(hào)函數(shù)sgn x=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,則方程x2sgn x=2x-1的解是( C )
A.1
B.-1-2
C.1或-1-2
D.1或-1+2或-1-2
解析:當(dāng)x>0時(shí),方程x2sgn x=2x-1可轉(zhuǎn)化為x2=2x-1,化簡(jiǎn)得
30、(x-1)2=0,解得x=1;
當(dāng)x=0時(shí),方程x2sgn x=2x-1可轉(zhuǎn)化為0=-1,無解;
當(dāng)x<0時(shí),方程x2sgn x=2x-1可轉(zhuǎn)化為-x2=2x-1,化簡(jiǎn)得x2+2x-1=0,解得x=-1+2(舍去)或x=-1-2.綜上,方程x2sgn x=2x-1的解是1或-1-2.故選C.
4.已知三個(gè)函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=x-1,h(x)=log3x+x的零點(diǎn)依次為a,b,c,則( D )
A.a
31、0,+∞)上單調(diào)遞增,得h(13)=-1+13<0,h(1)=1>0,因此h(x)的零點(diǎn)x0∈(13,1),則b>c>a.故選D.
5.函數(shù)f(x)=3x-1,x<1,2x2-ax,x≥1有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( C )
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
解析:由題意得,當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)x=13;
當(dāng)x≥1時(shí),令2x2-ax=0,得x=a2,要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則只需a2≥1,解得a≥2.故選C.
6.(多選題)(2021·河北石家莊高三質(zhì)量檢測(cè))記函數(shù)f(x)=x+ln x的零點(diǎn)為x0,則關(guān)于x0的結(jié)論正確的為
32、( BC )
A.00,所以120,故A,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,B,C選項(xiàng)正確.故選BC.
7.(2021·江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) =lgx,x≥1,-lg(2-x),x<1,g(x)=x3,則方程f(x
33、)=g(x-1)的所有根的和等于( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:作出函數(shù)f(x)=lgx,x≥1,-lg(2-x),x<1,
g(x-1)=(x-1)3的圖象如圖所示.
函數(shù)y=f(x),y=g(x-1)圖象都關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,并且兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn),所以方程f(x)=g(x-1)的所有根的和為3.故選C.
8.(2021·河南天一大聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=|ex-a|-1有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|ex-a|-1有兩個(gè)零點(diǎn),所以|ex-a|-1=0有兩個(gè)解,則ex=a+1或ex=a-1都有解,所以a+1>0,
34、a-1>0,
解得a>1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
9.已知函數(shù)f(x)=2|x|,x≤1,x2-3x+3,x>1,若關(guān)于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .?
解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,
因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)=2a恰有兩個(gè)不同實(shí)根,
所以y=2a與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象,
得2a>2或34<2a≤1.解得a>1或38
35、該函數(shù)是 .?
解析:由于不能利用零點(diǎn)存在性定理判斷的函數(shù)零點(diǎn)是不變號(hào)零點(diǎn),因此只要是圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)即可滿足題意,如f(x)=x2-2x+1等.
答案:f(x)=x2-2x+1(答案不唯一,只要是二次函數(shù)圖象與x軸相切
即可)
11.(2021·福建龍巖六縣一中高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0 (a∈R)在R上沒有零點(diǎn),則a的取值范圍是( B )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)∪{0}
C.(-∞,0] D.(-∞,1]
解析:假設(shè)函數(shù)f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0(a∈R),存在零點(diǎn),則當(dāng)x≤0
36、時(shí),由y=2x-a有零點(diǎn),則a=2x(x≤0),即00時(shí),由y=-3x-a有零點(diǎn)可知a<0,因此函數(shù)f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0(a∈R)存在零點(diǎn)的條件是a≤1,且a≠0.因此當(dāng)函數(shù)f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0(a∈R)在R上沒有零點(diǎn)時(shí),a∈(1,+∞)∪{0}.故選B.
12.(2021·內(nèi)蒙古赤峰二中等校聯(lián)考)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足:①點(diǎn)A,B都在函數(shù)f(x)的圖象上;②點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則點(diǎn)對(duì)(A,B)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”,已知函數(shù)f(x)=x2+2x(x<
37、0),2ex(x≥0),則f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有( C )
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
解析:根據(jù)題意,“姊妹點(diǎn)對(duì)”滿足兩點(diǎn):都在函數(shù)圖象上,且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.
因此“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=x2+2x(x<0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)y=2ex(x≥0)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),當(dāng)x=1時(shí),0<2e<1,作出滿足題意的圖象如圖所示,觀察圖象可得它們有2個(gè)交點(diǎn).故選C.
13.(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對(duì)稱,且當(dāng)π4≤x≤π時(shí),f(x)=sin x,則當(dāng)函數(shù)g(x)=f(x)-a在[-π2,π]有零點(diǎn)時(shí),關(guān)于其零點(diǎn)之和,下列
38、闡述正確的是( BCD )
A.零點(diǎn)之和可以為π4
B.零點(diǎn)之和可以為π2
C.零點(diǎn)之和可以為3π4
D.零點(diǎn)之和可以為π
解析:由題意知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對(duì)稱,
又因?yàn)楫?dāng)π4≤x≤π時(shí),f(x)=sin x,所以作出函數(shù)的圖象如圖所示,函數(shù)g(x)=f(x)-a在[-π2,π]內(nèi)有零點(diǎn),
即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=a的圖象在[-π2,π]內(nèi)有交點(diǎn),結(jié)合圖象可知,當(dāng)0≤a<22或a=1時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),零點(diǎn)之和為π2;
當(dāng)a=22時(shí),有三個(gè)零點(diǎn),零點(diǎn)之和為3π4;
當(dāng)22
39、-x,x<0,-3x2+6x,x≥0,若關(guān)于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三個(gè)互不相同的實(shí)根x1,x2,x3,則x1·x2·x3的取值范圍為 .
解析:函數(shù)f(x)=-x,x<0,-3x2+6x,x≥0的圖象如圖所示.
由圖可得x1=-k,x2·x3=13k,故x1·x2·x3=-13k2,k∈(0,3),所以x1·x2·x3∈(-3,0).
答案:(-3,0)
15.(2021·北京石景山區(qū)高三期末)已知函數(shù)f(x)=2x,x≥0,-x,x<0,則函數(shù)y=f(x)-2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令f(x)-2|x|=0,得
40、f(x)=2|x|,則函數(shù)y=f(x)-2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=2|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
因?yàn)閥=2|x|=2x,x≥0,(12)?x,x<0,
作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=2|x|的圖象如圖所示.
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,故函數(shù)y=f(x)-2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.
16.(2021·遼寧撫順一中高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x≤λ,ln(x-1),x>λ恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .?
解析:當(dāng)x≤λ時(shí),令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3;
當(dāng)x>λ時(shí),令ln(x-1)=0,得x=2,
若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是-1和3,則-1≤λ,3≤λ,2≤λ,
解得λ≥3,
若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是-1和2,則-1≤λ,3>λ,2>λ,
解得-1≤λ<2,
若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3,則-1>λ,3≤λ,2>λ,
此不等式組無解.
綜上所述,λ的取值范圍為-1≤λ<2或λ≥3.
答案:[-1,2)∪[3,+∞)
2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章 函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第8節(jié) 函數(shù)與方程 學(xué)案
