(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合 常用邏輯用語(yǔ) 算法初步及框圖 第3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞練習(xí) 理(含解析)新人教A版

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1、第3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 夯實(shí)基礎(chǔ) 【p6】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義; 2.理解全稱量詞與存在量詞的意義,能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定. 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1.若命題p:x=2且y=3,則綈p為________. 【解析】p且q的否定為綈p或綈q,所以“x=2且y=3”的否定為“x≠2或y≠3”. 【答案】x≠2或y≠3 2.如果命題p∨q為真命題,p∧q為假命題,那么(  ) A.命題p,q均為真命題 B.命題p,q均為假命題 C.命題p,q有且只有一個(gè)為真命題 D.命題p為真命題,q為假命題 【解析】由p

2、∨q為真命題,p∧q為假命題知,p,q一真一假; 即p,q中只有一個(gè)真命題. 【答案】C 3.命題“?x∈R,?n0∈N*,使得n0≥x2”的否定形式是(  ) A.?x∈R,?n0∈N*,使得n00,x0+a-1=0,若p為假命題,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

3、 【解析】p為假命題,等價(jià)于方程x+a-1=0無(wú)正實(shí)根, 即x=1-a≤0,得a≥1. 【答案】D 5.命題p:?x∈R,sin x+cos x≥-,命題q:?x<0,e-x<1,下列選項(xiàng)中是真命題的是(  ) A.p∧q B.(綈p)∨q C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q) 【解析】因?yàn)槊}p:sin x+cos x=sin≥-恒成立,故命題p為真命題; 對(duì)于命題q:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,從而得到e-x>1,故命題q是假命題,根據(jù)復(fù)合命題真值表可知p∧(綈q)是真命題. 【答案】C 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.邏輯聯(lián)結(jié)詞 命題中的__“或”“且”“非”__叫邏輯聯(lián)結(jié)詞.

4、 (1)當(dāng)p,q都是真命題時(shí),p∧q是真命題;當(dāng)p,q兩個(gè)命題中至少有一個(gè)是假命題時(shí),p∧q是假命題. (2)命題p∧q,p∨q,綈p的真假判斷 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全稱量詞、存在量詞 (1)全稱量詞 短語(yǔ)“對(duì)所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做__全稱量詞__,并用符號(hào)__?__表示.含有全稱量詞的命題,叫做__全稱命題__,全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”,簡(jiǎn)記作__?x∈M,p(x)__. (2)存在量詞 短語(yǔ)“存在一個(gè)

5、”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做__存在量詞__,并用符號(hào)__?__表示.含有存在量詞的命題,叫做__特稱命題__,特稱命題“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,簡(jiǎn)記作__?x0∈M,p(x0)__. (3)兩種命題的關(guān)系 全稱命題的否定是特稱命題;特稱命題的否定是全稱命題. 命題 命題的否定 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,綈p(x0) ?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈p(x) (4)全稱量詞和存在量詞 量詞名詞 常見量詞 表示符號(hào) 全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任何等 ? 存在量詞 存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等 ?

6、 典例剖析 【p6】 考點(diǎn)1 含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷 (1)若命題“p∨q”與命題“綈p”都是真命題,則(  ) A.命題p與命題q都是真命題 B.命題p與命題q都是假命題 C.命題p是真命題,命題q是假命題 D.命題p是假命題,命題q是真命題 【解析】因?yàn)榻恜為真命題,所以p為假命題,又p∨q為真命題,所以q為真命題. 【答案】D (2)設(shè)命題p:?x0∈R,x-x0+1<0;命題q:若a2>b2,則a>b,則下列命題為真命題的是(  ) A.p∧q B.p∧(綈q) C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q) 【解析】因?yàn)閤2-x+1=+≥>0成立, 所以

7、不存在x0∈R,x-x0+1<0, 故命題p為假命題,綈p為真命題; 當(dāng)a=-2,b=1時(shí),a2>b2成立,但a>b不成立, 故命題q為假命題,綈q為真命題; 故命題p∧q,(綈p)∧q,p∧(綈q)均為假命題, 命題(綈p)∧(綈q)為真命題. 【答案】D 【點(diǎn)評(píng)】判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的2個(gè)步驟: (1)先判斷簡(jiǎn)單命題p,q的真假; (2)再根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假. 考點(diǎn)2 全稱命題與特稱命題 (1)命題“對(duì)任意x∈R,都存在m0>1,使得m0x>ex成立”的否定為(  ) A.對(duì)任意x∈R,都存在m0>1,使得m0x≤ex成立 B.對(duì)任意x

8、∈R,不存在m0>1,使得m0x>ex成立 C.存在x0∈R,對(duì)任意m>1,都有mx0≤ex0 D.存在x0∈R,對(duì)任意m>1,都有mx0>ex0 【解析】∵全稱命題的否定是特稱命題, ∴命題“對(duì)任意x∈R,都存在m0>1,使得m0x>ex成立”的否定是:“存在x0∈R,對(duì)任意m>1,都有mx0≤ex0成立”. 【答案】C (2)若命題“?x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-1,3) B.[-1,3] C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 【解析】由題得Δ=(a-1)2-4>0,所以a2-

9、2a-3>0, ∴(a-3)(a+1)>0,∴a>3或a<-1. 【答案】C 【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)全(特)稱命題進(jìn)行否定的方法:①找到命題所含的量詞,沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞,再改變量詞;②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定. (2)判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷特稱命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)至少找到一個(gè)x=x0,使p(x0)成立. 考點(diǎn)3 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 (1)命題“?x0∈R,2x-3ax0+9<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 【解析】因題中的命題為假命題,則它的否定

10、“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”為真命題,也就是常見的“恒成立”問題,因此只需Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2≤a≤2. 【答案】[-2,2] (2)已知a>0,且a≠1,命題p:函數(shù)y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,命題q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn).若“p∨q”為假,則a的取值范圍是(  ) A. B.∪ C. D.∪ 【解析】當(dāng)01.曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)等價(jià)于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.若q為假,則a∈.

11、若使“p∨q”為假,則a∈(1,+∞)∩,即a∈. 【答案】A 已知a∈R,命題p:?x∈[-2,-1],x2-a≥0,命題q:?x0∈R,x+2ax0-(a-2)=0. (1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)若命題“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)槊}p:?x∈[-2,-1],x2-a≥0. 令f(x)=x2-a, 根據(jù)題意,只要x∈[-2,-1]時(shí),f(x)min≥0即可, 也就是1-a≥0,即a≤1. (2)由(1)可知,當(dāng)命題p為真命題時(shí),a≤1, 命題q為真命題時(shí),Δ=4a2-4(2-a)≥0, 解

12、得a≤-2或a≥1, 因?yàn)槊}“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,所以命題p與q一真一假, 當(dāng)命題p為真,命題q為假時(shí),-21. 綜上:a>1或-2

13、否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念,要會(huì)區(qū)別,另外要掌握一些常見詞的否定詞. 4.要判斷一個(gè)全稱命題的真假,必須對(duì)限定的集合M中的每一元素x,驗(yàn)證p(x)是否成立.要判斷一個(gè)特稱命題是真命題,只要能在集合M中找到一個(gè)元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素不存在,那么這個(gè)特稱命題是假命題. 5.注意:一個(gè)全稱命題的否定是特稱命題,如命題“?x∈M,p(x)成立”的否定“?x0∈M,p(x0)不成立”;特稱命題的否定是全稱命題,如命題“?x0∈M,p(x0)成立”的否定“?x∈M,p(x)不成立”. 走進(jìn)高考  【p7】 1.(2017·山東)已知命題p:?x

14、>0,ln(x+1)>0;命題q:若a>b,則a2>b2,下列命題為真命題的是(  ) A.p∧q B.p∧(綈q) C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q) 【解析】由x>0得x+1>1,ln(x+1)>0,知p是真命題,由-1>-2,(-1)2<(-2)2,可知q是假命題,即p,綈q均是真命題,故選B. 【答案】B 考點(diǎn)集訓(xùn)  【p177】 A組題 1.命題“?x∈[-2,+∞),x+3≥1”的否定為(  ) A.?x0∈[-2,+∞),x0+3<1 B.?x0∈[-2,+∞),x0+3≥1 C.?x∈[-2,+∞),x+3<1 D.?x∈(-∞,-2),x+3≥1

15、 【解析】∵全稱命題的否定是特稱命題,∴命題“?x∈[-2,+∞),x+3≥1”的否定是“?x0∈[-2,+∞),x0+3<1”. 【答案】A 2.設(shè)p、q是兩個(gè)命題,若綈(p∨q)是真命題,那么(  ) A.p是真命題且q是假命題 B.p是真命題且q是真命題 C.p是假命題且q是真命題 D.p是假命題且q是假命題 【解析】若綈(p∨q)是真命題,則p∨q是假命題,則p,q均為假命題. 【答案】D 3.下列命題正確的是(  ) A.?x∈(0,+∞),0 C.?x0∈(-1,0),2x0+2=3 D.?x0∈(3,+∞),x+5

16、x0-24=0 【解析】選項(xiàng)A不正確,如取x=,有>x. 因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí),cos x<0,所以選項(xiàng)B不正確.當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),x+2∈(1,2),2x+2∈(2,4),所以選項(xiàng)C正確.由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以選項(xiàng)D不正確. 【答案】C 4.已知命題p:?x,y∈R,x(x+1)+2>y(2-y),q:?x0∈R,1+0

17、,∴命題p為真;∵y=1+是減函數(shù),y=x是增函數(shù),∴它們的圖象在第一象限有交點(diǎn),從而1+=2,x=1時(shí)取等號(hào).所以m>2. 【答案】 6.命題p:若a,b∈R,則“ab=0”是“a=0”的充分條件,命題q:函數(shù)y=的定義域是[3,+∞),則“p∨q”,“p∧q”,“綈p”中是真命題的為________. 【解析】∵若ab=0,則a=0或b=0,即a=0不成立;故命題p:“ab=0”是“a=

18、0”的充分條件,為假命題;∵函數(shù)y=的定義域是,∴命題q為真命題;由復(fù)合命題真值表得:綈p為真命題;p∨q為真命題;p∧q假命題. 【答案】p∨q,綈p 7.已知命題p:?x∈[0,1],a≥ex,命題q:“?x0∈R,x+4x0+a=0”,若命題“p∧q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 【解析】命題p為真:a≥e;命題q為真:16-4a≥0,a≤4, 因?yàn)槊}“p∧q”是真命題, 所以p,q都為真,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 【答案】 8.已知命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“?x0∈R,x+2ax0+a+2=0”,若命題“p∨q”是真命題

19、,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】命題p為真:a≤(x2)min=1. 命題q為真:Δ=4a2-4(a+2)≥0?a≤-1或a≥2. ∵“p∨q”為真命題,∴p、q中至少有一個(gè)為真命題. 即a≤1或a≤-1或a≥2,所以a≤1或a≥2. ∴“p∨q”是真命題時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1]∪[2,+∞). B組題 1.已知命題p是命題“若ac>bc,則a>b”的逆命題;命題q:若復(fù)數(shù)(x2-1)+(x2+x-2)i是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)x=1,則下列命題中為真命題的是(  ) A.p∨q B.(綈p)∧q C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q) 【解析】由題得命題p:若a>b

20、,則ac>bc,是假命題. 因?yàn)?x2-1)+(x2+x-2)i是實(shí)數(shù), 所以x2+x-2=0,∴x=-2或x=1. 所以命題q是假命題, 故(綈p)∧(綈q)是真命題. 【答案】D 2.已知函數(shù)f(x)=4|a|x-2a+1.若命題:“?x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【解析】由“?x0∈(0,1),使得f(x0)=0”是真命題,得f(0)·f(1)<0?(1-2a)(4|a|-2a+1)<0?或?a>. 【答案】 3.命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=-(5-2a)x是減函數(shù)

21、,若p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 【解析】先求出命題p,q為真命題時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍,x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立,則Δ=(2a)2-4×1×4<0,解得-21,得a<2,即命題q:a<2. p∨q為真命題,則p和q至少有一個(gè)為真,p∧q為假命題,則p和q至少有一個(gè)為假,所以p和q一真一假,但當(dāng)p為真時(shí),q一定為真,故p假且q真,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]. 【答案】(-∞,-2] 4.已知m∈R,命題p:對(duì)?x∈,不等式2x-2≥m2-3m恒成立

22、;命題q:?x0∈,使得m≤ax0成立. (1)若p為真命題,求m的取值范圍; (2)當(dāng)a=1時(shí),若p∧q為假,p∨q為真,求m的取值范圍. 【解析】(1)設(shè)y=2x-2,則y=2x-2在[0,1]上單調(diào)遞增, ∴ymin=-2. ∵對(duì)任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立, ∴m2-3m≤-2,即m2-3m+2≤0, 解得1≤m≤2. ∴m的取值范圍是. (2)a=1時(shí),y=x在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增, ∴ymax=1. ∵存在x0∈[-1,1],使得m≤ax0成立, ∴m≤1. ∵p∧q為假,p∨q為真, ∴p與q一真一假, ①當(dāng)p真q假時(shí), 可得解得1<m≤2; ②當(dāng)p假q真時(shí), 可得解得m<1. 綜上可得1<m≤2或m<1. ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1)∪(1,2]. 13

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