（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 理（含解析）新人教A版（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p19】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)； 2．會(huì)求二次函數(shù)的值域與最值； 3．運(yùn)用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問(wèn)題； 4．了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．函數(shù)y＝的圖象是(　　) 【解析】函數(shù)y＝可化為y＝x3，當(dāng)x＝時(shí)，求得y＝<，選項(xiàng)B，D不合題意，可排除選項(xiàng)B，D；當(dāng)x＝2時(shí)，求得y＝8>1，選項(xiàng)A不合題意，可排除選項(xiàng)A，故選C. 【答案】C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2、　 2．冪函數(shù)y＝kxα過(guò)點(diǎn)(4，2)，則k－α的值為(　　) A．－1 B. C．1 D. 【解析】由冪函數(shù)的定義得k＝1.所以y＝xα， 因?yàn)閮绾瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)，所以2＝4α＝22α，∴2α＝1，∴α＝. 所以k－α＝1－＝. 【答案】B 3．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4， ∵x∈[0，1]， ∴函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最

3、小值f(0)＝a＝－2， 當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最大值f(1)＝3＋a＝3－2＝1. 【答案】C 4．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 【解析】函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3為對(duì)稱(chēng)軸x0＝a開(kāi)口向上的二次函數(shù)， ∵在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增， ∴區(qū)間[1，2]在對(duì)稱(chēng)軸x0＝a的右邊，即a≤1， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． 【答案】B 5．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b(a>1)的定義域和值域都為[1，a]，則b＝________

4、． 【解析】函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝－＝a>1， 所以函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b在[1，a]上為減函數(shù)， 又函數(shù)在[1，a]上的值域也為[1，a]， 則即 由①得：b＝3a－1，代入②得：a2－3a＋2＝0， 解得：a＝1(舍)，a＝2. 把a(bǔ)＝2代入b＝3a－1得b＝5. 【答案】5 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數(shù)的圖象和

5、性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減 對(duì)稱(chēng)性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱(chēng) 2.冪函數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質(zhì) ①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義； ②冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，1)； ③當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的

6、圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ④當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 3．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 若a＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在閉區(qū)間[p，q]上的最大值為M，最小值為N.令x0＝(p＋q)， ①若－q，則M＝f(p)，N＝__f(q)__； ③若p≤－≤x0，則M＝f(q)，N＝__f__； ④若x0<－≤q，則M＝f(p)，N＝f. 4．根與系數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，圖象與x軸

7、有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)＝0的兩根，且 |M1M2|＝|x1－x2|＝. 典 例 剖 析　【p20】 考點(diǎn)1　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)當(dāng)α∈時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過(guò)的象限是(　　) A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限 【解析】y＝x－1的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，y＝x的圖象經(jīng)過(guò)第一象限，y＝x3的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限．故選D. 【答案】D (2)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿(mǎn)足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<

8、0，則f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無(wú)法判斷 【解析】由已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)， 可得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x3，當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x－3， 對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿(mǎn)足＞0， 函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以m＝2，此時(shí)f(x)＝x3， 又a＋b>0，ab<0，可知a，b異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，則f(a)＋f(b)恒大于0. 【答案】A (3)若(a＋1)－<(3－2a)－，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________

9、____． 【解析】不等式(a＋1)－<(3－2a)－等價(jià)于a＋1>3－2a>0或3－2a

10、x)的解析式； (2)當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域． 【解析】(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，且f(0)＝f(1)， ∴n＝1＋m＋n，∴m＝－1，∴f(x)＝x2－x＋n. ∵方程x＝f(x)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x2－2x＋n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴(－2)2－4n＝0，∴n＝1，∴f(x)＝x2－x＋1. (2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1，此函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝的拋物線(xiàn)， ∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有最小值f. 而f＝－＋1＝，f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7， ∴當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是. 【點(diǎn)評(píng)】求二次函數(shù)的

11、解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，利用所給出的條件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解． 考點(diǎn)3　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 已知函數(shù)f＝－2x2＋ax＋b且f＝－3. (1)若函數(shù)f的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)f在區(qū)間上的值域； (2)若函數(shù)f在區(qū)間上遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍． 【解析】(1)∵ ∴ ∴f＝－2x2＋4x－3＝－2－1，x∈， ∴f＝f＝－33，f＝f＝－1， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域?yàn)? (2)∵函數(shù)f在區(qū)間上遞減， ∴≤3，則a≤12， 又∵f＝－3， ∴b＝－2a＋5， ∵a≤12， ∴b≥－19. 已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(x＋

12、a)，其中a≤2. (1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，求a的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值是2，求a的值． 【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝(x－2)(x＋a)＝x2＋(a－2)x－2a， 所以f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝. 由＝1，解得a＝0. (2)函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝. 當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)的最小值為f(0)＝－4，顯然與題意不符； 當(dāng)0<<1，即0

13、因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減， 所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(1)＝－(1＋a)， 令－(1＋a)＝2，解得a＝－3. 綜上，a＝－3. 【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的確定與應(yīng)用，關(guān)鍵是充分應(yīng)用其對(duì)稱(chēng)軸及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)． 考點(diǎn)4　三個(gè)二次的綜合應(yīng)用 已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，若f(－1)＝0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立，設(shè)g(x)＝f(x)－kx. (1)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 【解析】(1)∵f(x)＝ax2＋bx＋1(

14、a>0)， f(－1)＝0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立； ∴x＝－＝－1，且a－b＋1＝0； 即b＝2a，且a－b＋1＝0， 解得a＝1，b＝2； ∴f(x)＝x2＋2x＋1. ∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1， ∵g(x)在[－2，2]上是單調(diào)函數(shù)， ∴x＝應(yīng)滿(mǎn)足：≥2或≤－2， 即k≥6或k≤－2. ∴k的取值范圍是{k|k≤－2或k≥6}． (2)若g(x)＝x2＋(2－k)x＋1，x∈[1，2]時(shí)，g(x)<0恒成立， 則 即 解得k>， ∴k的取值范圍是. 【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)值恒大(小)于零，常結(jié)合二次函數(shù)的圖象和判別式來(lái)考慮；利

15、用二次不等式與二次方程之間的關(guān)系，即二次不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的解；關(guān)于二次方程根的分布問(wèn)題，可以借助二次函數(shù)的圖象直觀(guān)考察，主要從判別式、對(duì)稱(chēng)軸、端點(diǎn)值這三個(gè)方面入手考慮應(yīng)滿(mǎn)足的條件． 方 法 總 結(jié)　　【p21】 1．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否會(huì)出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)． 2．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧 在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪，再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較． 3．二次函數(shù)、一元二

16、次不等式和一元二次方程是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)方程的思想、方法將它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這是準(zhǔn)確迅速解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵． 4．對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在[m，n]的最值的研究是本講內(nèi)容的重點(diǎn)，對(duì)如下結(jié)論必須熟練掌握： (1)當(dāng)x＝－∈[m，n]時(shí)，是它的一個(gè)最值，另一個(gè)最值在區(qū)間端點(diǎn)取得． (2)當(dāng)x＝－?[m，n]時(shí)，最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得． (3)二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問(wèn)題的處理，常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類(lèi)討論的思想，當(dāng)二次函數(shù)的表達(dá)式中含有參數(shù)或所給區(qū)間是變化的，需要考察二次函數(shù)的圖象特征(開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸與該區(qū)間的位置

17、關(guān)系)，抓住頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否屬于該區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論和求解． 5．二次函數(shù)問(wèn)題大多通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解，同時(shí)注意分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化． 走 進(jìn) 高 考　　【p21】 1．(2017·山東)已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞) C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) 【解析】當(dāng)0

18、]，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m>1時(shí)，0<<1，y＝(mx－1)2在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需(m－1)2≥1＋m?m≥3，選B. 【答案】B 考 點(diǎn) 集 訓(xùn)　　【p185】 A組題 1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)f(x)具有的性質(zhì)是(　　) A．在其定義域上為增函數(shù) B．在其定義域上為減函數(shù) C．奇函數(shù) D．定義域?yàn)镽 【解析】設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，∵冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)， ∴4α＝2，∴α＝， ∴f(x)＝x(x≥0)， ∴由f(x)的性質(zhì)知，f(x)是非奇非偶函數(shù)，值域?yàn)閇0，＋∞)， 在定義域內(nèi)無(wú)最大值，在定義域內(nèi)單

19、調(diào)遞增． 【答案】A 2．已知函數(shù)f＝x2＋bx＋c的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝1，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則f＝(　　) A．6 B．2 C．0 D．－4 【解析】f＝x2＋bx＋c， 對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝－＝1，得b＝－2， 過(guò)A，知f＝9＋3b＋c＝9－6＋c＝0， ∴c＝－3， ∴f＝x2－2x－3， ∴f＝1＋2－3＝0. 【答案】C 3．若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，－3) C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 【解析】函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2是一

20、個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝1－a， ∵函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)， ∴1－a<4，即a>－3， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)． 【答案】C 4．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值為f(1)，則f()，f，f()的大小關(guān)系是(　　) A．f()0， 所以對(duì)稱(chēng)軸為x＝1， 所以與對(duì)稱(chēng)軸的距離分別為|－1|、、|－1|， 大小關(guān)系為|－1|＜|－1|<， 所以f()

21、. 【答案】D 5．已知函數(shù)f(x)＝(3－m)x2m－5是冪函數(shù)，則f＝________. 【解析】∵函數(shù)f(x)＝(3－m)x2m－5是冪函數(shù)，可得3－m＝1，即m＝2， ∴函數(shù)f(x)＝x－1，f＝＝2. 【答案】2 6．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為_(kāi)_______． 【解析】當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2， ∵x∈， ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1. 【答案】1

22、 7．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－2，如果f(x1)＝f(x2) (x1≠x2)，則f(x1＋x2)＝__________． 【解析】由題意知，因?yàn)閒(x1)＝f(x2)?x1＋x2＝－， 所以f(x1＋x2)＝f＝a·＋b·－2＝－2. 【答案】－2 8．已知二次函數(shù)f(x)＝2kx2－2x－3k－2，x∈[－5，5]． (1)當(dāng)k＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 【解析】(1)k＝1時(shí)，f(x)＝2x2－2x－5，f(x)對(duì)稱(chēng)軸為x＝， ∴f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴f(

23、x)max＝f(－5)＝2×25＋10－5＝55， f(x)min＝f＝－1－5＝－6＝－. (2)由于f(x)是二次函數(shù)，所以k≠0， ∵f(x)關(guān)于x＝對(duì)稱(chēng)， ∴要使f(x)在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)， 則必有≤－5或≥5， 解得－≤k＜0或0＜k≤， 即實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪. B組題 1．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n＝(　　) A．－3 B．1或2 C．1 D．2 【解析】∵冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，＋∞)上是減函

24、數(shù)， ∴n2＋2n－2＝1，n2－3n為偶數(shù)，且n2－3n<0， 解得n＝1. 【答案】C 2．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論： ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，故①正確； ②∵對(duì)稱(chēng)軸x＝－＝－1，∴2a－b＝0，故②錯(cuò)

25、誤； ③當(dāng)x＝－1時(shí)，由圖象可知y＝a－b＋c≠0，故③錯(cuò)誤； ④由對(duì)稱(chēng)軸x＝－＝－1，得b＝2a， 又∵函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∴a<0，5a<2a，即5a0， ∴

26、－1＋＝－，?、? －1×＝，　③ 由①②③得a＝2，b＝1，c＝－3，∴f(x)＝2x2＋x－3. (2)g(x)＝2x2＋(1－m)x－3，其對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝， ①若<－1，即m<－3時(shí)，g(x)min＝g(－1)＝m－2， 由m－2＝－4，得m＝－2>－3，不符合題意； ②若－1≤≤2，即－3≤m≤9時(shí)，g(x)min＝g＝－4，解得m＝1±2，符合m∈[－3，9]； ③若>2，即m>9時(shí)，g(x)min＝g(2)＝7－2m， 由7－2m＝－4，得m＝<9，不符合題意． 綜上得m＝1±2. 4．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a，b為常數(shù)，且a≠0)滿(mǎn)足條件：f(－

27、x＋5)＝f(x－3)且方程f(x)＝x有等根． (1)求f(x)的表達(dá)式． (2)是否存在實(shí)數(shù)m，n(m