數(shù)學(xué)人教Ａ版必修5：數(shù)列的概念與性質(zhì)及應(yīng)用 講義（Word版含答案）

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1、 數(shù)列的概念與性質(zhì)及應(yīng)用 一、基本公式: 1.數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前項(xiàng)和公式的關(guān)系：(必要時(shí)請(qǐng)分類(lèi)討論)。 注意：；. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，或； 其前項(xiàng)和公式為:； 3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，； 其前項(xiàng)的和公式為：或. 特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。 二、基本概念: 1、數(shù)列的概念： 2、等差數(shù)列的有關(guān)概念： （1）定義：為等差數(shù)列（為常數(shù)）； （2）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且。 （3）判定方法:

2、① 定義法：（） ② 等差中項(xiàng)法：（） ③ 通項(xiàng)公式法：（） ④ 前項(xiàng)和法： <1> （） <2> （） <3> 3、等比數(shù)列的有關(guān)概念： （1）定義：（為常數(shù)，，）；； （2）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)。 提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。 （3）判定方法： ① 定義法：（）（） ② 等比中項(xiàng)法：（）或。 ③ 通項(xiàng)公式法： ④ 前項(xiàng)法： 三、性質(zhì)： 1．等差數(shù)列的性質(zhì)： ； 當(dāng)時(shí)，； 。 ④等差數(shù)列中連續(xù)相同個(gè)數(shù)的項(xiàng)的和也成等差數(shù)列， 即： ⑥當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函

3、數(shù)，且斜率為公差；，即是的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)； ⑥若，均為等差數(shù)列，則,（，為常數(shù)）均為等差數(shù)列； ⑧仍成等差數(shù)列.。 ⑨如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究. ⑩ （11）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且， 則. （12）； ； . 2．等比數(shù)列的性質(zhì)： （） ⑦兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列；{、、仍為等比數(shù)列。 ⑧當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. ⑨ ， ⑩在等

4、比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，. 四、數(shù)列的單調(diào)性： 為等差數(shù)列, d為公差，則有： 若公差，則為遞增等差數(shù)列， 若公差，則為遞減等差數(shù)列， 若公差，則為常數(shù)列。 為等比數(shù)列，q為公比，則有： ； ， 五、最值問(wèn)題 求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法： ① 如 ② () 如 ③研究函數(shù)的增減性 如 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問(wèn)題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解： (1)當(dāng),時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值. (2)當(dāng),時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值。 在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 六、設(shè)法技巧問(wèn)題 1．三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成

5、等差的設(shè)法： 2．三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：(為什么？) 七、等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系 (1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列. (2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列. (3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件. 二、題型： (一)定義及基本量： 1．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是（ C ） A.5 B.4 C. 3 D.2 解析:. 2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和

6、為，且，則公比 . (二)性質(zhì)： (Ⅰ) 等差數(shù)列 1.已知是等差數(shù)列，公差不為零，且，則＝（ B ） 　A、－1　　　B、0　　　C、1　　　　D、2 2.已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足，則的值是( B ) A.3 B.6 C.7 D.9 【分析】根據(jù)前項(xiàng)和的定義可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)椋裕? 又為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以;故選：B 【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前項(xiàng)和的概念，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題. 3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ C ） A． B． C．

7、 D． 4．若兩個(gè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，對(duì)任意的都有，則= 。 5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則＝( A ) A. 1 B. －1 C. 2 D． 【解析】 6. 在等差數(shù)列中，已知，則的值為_(kāi)__22___. 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，則，即有，．故答案為：22． 7．等差數(shù)列中，若，則的值是（C） ??A．14? B．15? C．16?? D．17 【解析】依題意，由，得 ，所以 8.已知{}為等差數(shù)列，若，,則____20____. 【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，則，所以，故 9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，

8、則（ C ） A.4????? B． C. D. 略解：由得，則，又因成等差數(shù)列，進(jìn)而可求 10．已知等差數(shù)列的公差為1，且，則的值為（ ） A．99 B．66 C．33 D．0 11. 已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是( ) （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 [解析]：由++=105得即，由=99得即 ， ∴，，由得，選B (Ⅱ) 等比數(shù)列 1.在遞增的等比數(shù)列中，，，則 32 2. 在各

9、項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則( B ) A.1 B.9 C. D. 3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中,則（　A?。? A． B．7 C．6 D．4 【解析】由得又,所以,即,所以,選A． 4．在等比數(shù)列中，已知，則的值為（?B ） A．3? B．9?? C．27 D．81 【解析】依題意，由得，，選擇B 5．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ C ） (A) (B) 8 (C) 10 (D) 12 6.一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為3，前項(xiàng)的和為21，則前項(xiàng)的和為（ C ） A．18

10、 B．12 C．9 D．6 7.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 =3 ，則 = ( B ) （A） 2 （B） （C） （D）3 【解析】設(shè)公比為q ,則＝1＋q3＝3 T q3＝2 于是 . 8.在等比數(shù)列中，，，則的值為(　D　) A．48　　　B．72　　C．144　　　D．192 9. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列項(xiàng)積為的值為 3 解析：∵正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)積為， ∴，∴．故答案為：3． 10.已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　D?。? A． B． C． D． 解：∵，且是遞減數(shù)列， ∴，即，解得．故選D．