流體力學(xué)第二章(基本方程) 2009年

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1、1第一章 總結(jié)1流體的物理性質(zhì)和宏觀模型 （1）流體的主要物理性質(zhì)：流動(dòng)性、粘性和壓縮性；（2）流點(diǎn)的概念和流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的內(nèi)容。2流體的速度和加速度 （1）描寫流體運(yùn)動(dòng)的兩種觀點(diǎn)；（2）流體的加速度的定義、物理含義、計(jì)算；（3）微商算符 的物理實(shí)質(zhì)及其應(yīng)用。Vtdtd 23跡線和流線（1）跡線和流線的概念；（2）跡線和流線的求解；（3）跡線、流線重合的條件4速度分解（1）亥姆霍茲速度分解定理的主要內(nèi)容35渦度、散度和形變率（1）渦度、散度和形變率的定義，物理含義；（2）渦度、散度和形變率的計(jì)算；（3）形變張量的概念。6速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)（1）速度勢(shì)函數(shù)的定義、表示流體運(yùn)動(dòng)的方法；（2）流函

2、數(shù)的定義、表示流體運(yùn)動(dòng)的方法；（3）速度勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)表示二維流動(dòng)。4第二章 基本方程 5第二章 基本方程 6第一節(jié)連續(xù)方程 7Lagrange 觀點(diǎn)下質(zhì)量守恒定律：某一流體塊（流點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)過程中，盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化，但其質(zhì)量是守恒不變的。拉格郎日型連續(xù)方程z x y()0dmdt0dVdt 80Vdtd (1)0/0(2)0/0(3)0/0VddtVddtVddt流體體積增大流體密度減??；流體體積減小流體密度增大；流體體積不變流體密度不變。Lagrange 觀點(diǎn)下連續(xù)方程的物理意義？9 Vtdtd拉格郎日型連續(xù)方程0Vdtd 歐拉型連續(xù)方程0Vt10Vt(1)0/0(2)0/0(3

3、)0/0VtVtVt 有流體凈流出流體局地密度減?。挥辛黧w凈流入流體局地密度增大；流體無凈流出或凈流入流體局地密度不變。歐拉型連續(xù)方程的物理意義11通常把自然界中水與空氣的交界面稱為水面或水表面。這種因流動(dòng)而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面，在流體力學(xué)中稱之為自由表面。實(shí)際物理現(xiàn)象：當(dāng)水面向某處匯集時(shí)，該處水面將被擁擠而升高；反之，當(dāng)該處有水向四周流散開時(shí)，將使得那里的水面降低。水空氣交界面12具有自由表面的流體連續(xù)方程0hhVt0hVhhVt h0Vt 歐拉型連續(xù)方程131、作用于流體的力 質(zhì)量力流體的作用力表面力分析對(duì)象：流體中以界面 包圍的體積為 的流體塊第二節(jié) 作用于流體的力、應(yīng)力張量 14質(zhì)

4、量力（又稱為體力）：是指作用于所有流體質(zhì)點(diǎn)的力。如重力、萬有引力等。（1）質(zhì)量力是長程力：它隨相互作用的元素之間的距離的增加而減小，對(duì)于一般流體的特征運(yùn)動(dòng)距離而言，均能顯示出來。（2）它是一種分布力，分布于流體塊的整個(gè)體積內(nèi)，流體塊所受的質(zhì)量力與其周圍有無其他流體存在并無關(guān)系。通常情況下，作用于流體的質(zhì)量力通常就是指重力。15如果 表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力，規(guī)定其為：其中 是作用在質(zhì)量為 的流體塊上的質(zhì)量力。不難看出，可以看做力的分布密度。F0limmFFmF F例如：對(duì)處于重力作用的物體而言，質(zhì)量力的分布密度或者說單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力就是重力加速度 。gm 16表面力：是指流體內(nèi)部之間或

5、者流體與其他物體之間的接觸面上所受到的相互作用力。如流體內(nèi)部的粘性應(yīng)力和壓力、流體與固體接觸面上的摩擦力等。17（1）表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間的距離增加而迅速減弱，只有在相互作用元素間的距離與分子距離同量級(jí)時(shí)，表面力才顯現(xiàn)出來。（2）流體塊內(nèi)各部分之間的表面力是相互作用而相互抵消的。（3）表面力也是一種分布力，分布在相互接觸的界面上。18定義單位面積上的表面力為：其中 是作用于某個(gè)流體面積上 的表面力0limppp 19矢量 是質(zhì)量力的分布密度，它是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，因而構(gòu)成了一個(gè)矢量場(chǎng)。而矢量 為流體的應(yīng)力矢，它不但是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，并且在空間

6、每一點(diǎn)還隨著受力面元的取向不同而變化。所以要確定應(yīng)力矢 ，必須考慮點(diǎn)的矢徑 、該點(diǎn)受力面元的方向（或者說面元的法向單位矢 ）以及時(shí)間 t。確切地說應(yīng)力矢是兩個(gè)矢量（、）和一個(gè)標(biāo)量的函數(shù) t。nrpF質(zhì)量力和表面力有著本質(zhì)的差別。pnr20取如圖所示的流體四面體元，分析其受力情況。MxyzABCnnpm nx y z 質(zhì)量為F m質(zhì)量力為表面力？21按照牛頓第二定律，可得：zzyyxxnnppppmFmdtVd MxyzABCnnpnx y z 說明：應(yīng)力矢的下標(biāo)取其作用面元的外法向，并且規(guī)定為外法向流體對(duì)另一部分流體的作用應(yīng)力。22根據(jù)作用力與反作用力原理，方程可以寫成如下形式：zzyyxxn

7、nppppmFmdtVd zzyyxxnnppppmFmdtVd 23四面體體積取極限時(shí)：上式為作用于流體微元的應(yīng)力矢之間的相互關(guān)系。zzyyxxnnpppp zzyyxxnnppppmFmdtVd 24MxyzABCnnx y z 考慮面元間的關(guān)系：nznznynynxnxnznnynnxn ,cos,cos,cosPPAMKnx25將其在直角坐標(biāo)系中展開，則有：zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxnyzxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnp于是，上式可以改寫為：zzyyxxnpnpnpnpzzyyxxnnpppp 26zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxny

8、zxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnp引進(jìn)應(yīng)力張量：zzzyzxyzyyyxxzxyxxpppppppppPnpn P27 例2-2-1 說明應(yīng)力 、表示的物理含義。0yxp0 xxpijp28 nnnnpnppnppnnn通常應(yīng)力矢量也可以表示為：切應(yīng)力法應(yīng)力29習(xí)題2-2-1已知流體中某點(diǎn)的應(yīng)力張量為 試求作用于通過該點(diǎn)，方程為 的平面上的法應(yīng)力。aaaaaa 02022013zyx30其中 為反映流體粘性的粘性系數(shù)或內(nèi)摩擦系數(shù)；而流體與其他物體的粘性系數(shù)則稱為外摩擦系數(shù)。dzduzx 牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系。31IVdivpA)32(2

9、P1 0 00 1 00 0 1I牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系，但它的不足在于僅僅適用與流體直線運(yùn)動(dòng)。牛頓將以上的粘性應(yīng)力與形變率的關(guān)系推廣到任意粘性流體運(yùn)動(dòng)，即廣義牛頓粘性假設(shè)：32nnnpp nIVdivnAn 322nAn 2說明：根據(jù)廣義牛頓粘性假設(shè)的應(yīng)力張量計(jì)算得到的應(yīng)力包含了流體壓力和流體粘性力兩部分即：不可壓流體IVdivpA)32(2 P牛頓粘性流體的概念：滿足牛頓廣義粘性假設(shè)的流體。33流體的運(yùn)動(dòng)方程（普遍形式）納維-斯托克斯（N-S）方程（具體形式）歐拉方程（理想流體的運(yùn)動(dòng)方程）靜力方程（最簡(jiǎn)單情形的運(yùn)動(dòng)方程）34在運(yùn)動(dòng)流體中選取一小六面體體元，其邊長分別

10、為：為了導(dǎo)出流體的運(yùn)動(dòng)方程，首先來分析小體元的受力情況。xyz,=+dVx y zdt 質(zhì)量力 表面力根據(jù)牛頓第二定律：xyzx y z 35xxmFFx y z x方向的質(zhì)量力36zyxxppxxxx zypxx 小體元所受的x方向的表面力=前后側(cè)面之和：周圍流體對(duì)小體元的六個(gè)表面有表面力的作用，而通過六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿 x 方向的表面力分別為：前后側(cè)面：zyxxpxx xxxpxxpzy x?37因此，周圍流體通過六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿x方向的表面力合力為：zxyyppyxyx zxpyx yxzzppzxzx yxpzx 右左側(cè)面：上下側(cè)面：zyxzpypxpzxyxxx 38據(jù)牛頓

11、運(yùn)動(dòng)定律：小體元受力等于其質(zhì)量與加速度的乘積：zyxzpypxpzyxFzyxdtduzxyxxxx zpypxpFdtduzxyxxxx 1單位質(zhì)量流體在 x 方向的運(yùn)動(dòng)方程方程可以簡(jiǎn)化為：39單位質(zhì)量流體在 y 方向的運(yùn)動(dòng)方程單位質(zhì)量流體在 z 方向的運(yùn)動(dòng)方程同理可得：zpypxpFdtdwzzyzxzz 1zpypxpFdtdvzyyyxyy 140矢量形式zpypxpFdtVdzyx 1PFdtVd 1 xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppxyzppp 或者：流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式41流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式納維-斯托克斯方程廣義牛頓粘性假設(shè)42IVdivpA)32(2 P

12、PFdtVd 1流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式廣義牛頓粘性假設(shè)VVgraddivpFdtVd2311 這就是適合牛頓粘性假設(shè)的流體運(yùn)動(dòng)N-S方程。43定義 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)，記作 。0Vdiv /VpFdtVd21 wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx222111 直角坐標(biāo)系中形式為：對(duì)于不可壓流體N-S方程簡(jiǎn)化為：44其中 是單位質(zhì)量流體的加速度，為單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力。壓力梯度力粘性（粘滯）力VpFdtVd21 dtVd/F 45VVgraddivpFdtVd2311 pFdtVd 1理想流體（不考慮流體粘性），則納維-斯托克斯方程

13、：可以簡(jiǎn)化，相當(dāng)于去掉方程中含有粘性的項(xiàng)。于是，方程簡(jiǎn)化為：歐拉方程：理想流體的運(yùn)動(dòng)方程46如流體靜止時(shí)，即流體的速度和加速度的個(gè)體變化均為零，作用于流體的力應(yīng)該達(dá)到平衡。此時(shí)，可得如下形式方程：即所謂的。pF 1047假設(shè)流體所受的質(zhì)量力就是重力，靜力方程可以變化為：pkg 1zgp 上式表明：；流體靜止時(shí)的壓力，可以用流體柱的質(zhì)量來表示?；蛘哽o力方程應(yīng)用舉例：48外界對(duì)系統(tǒng)所作的功率（內(nèi)能+動(dòng)能）的變化率表面力作功率 qdtdVpVFVTcdtdn2/2質(zhì)量力作功率熱流量的變化率流體中以界面 包圍的體積為 的流體塊總能量的變化率49 qdtdVpVFVTcdtdn2/2方程變換 2/2/2

14、2VTcdtdVTcdtd總能量的變化項(xiàng)總能量的變化項(xiàng)：dtdAAdtd dtdqqdtd熱流量的變化率熱流量的變化率50 qdtdVpVFVTcdtdn2/2 VPnVpn表面力作功率項(xiàng)：nP VP Vdiv P V51012/2 dtdqVPdivVFVTcdtd可以改寫為：dtdqVPdivVFVTcdtd 12/2 qdtdVpVFVTcdtdn2/2單位質(zhì)量流體的能量方程，它是能量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中單位質(zhì)量流體的能量方程，它是能量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)形式。的具體表現(xiàn)形式。流體塊的能量守恒方程52PFdtVd 1VPVFVdtd 122VPVPVFVdtd 1122根據(jù)流體

15、的運(yùn)動(dòng)方程上式兩端同乘速度矢量右端第二項(xiàng)展開后，則有：53EVdivpVPdivVFVdtd 122單位質(zhì)量流體微團(tuán)的動(dòng)能方程物理意義：質(zhì)量力作功率表面力作功率外力作功率引起的動(dòng)能變化利用廣義牛頓粘性假設(shè)IVdivpA)32(2 PVPVPVFVdtd 112254EVdivpVPdivVFVdtd 122 粘性耗散項(xiàng)膨脹、收縮在壓力作用下 引起的能量轉(zhuǎn)換項(xiàng)：動(dòng)能內(nèi)能的轉(zhuǎn)換流體粘性動(dòng)能內(nèi)能膨脹收縮 動(dòng)能內(nèi)能動(dòng)能內(nèi)能流體壓縮性5556對(duì)于理想流體，運(yùn)動(dòng)方程為：pVVFVdtd 22理想流體動(dòng)能的變化，僅僅是由質(zhì)量力和壓力梯度力對(duì)流體微團(tuán)作功造成的，而與熱能不發(fā)生任何轉(zhuǎn)換。理想流體的動(dòng)能方程可以寫

16、成：pFdtVd 1上式兩端同乘速度矢量57FdtdVVF假設(shè)質(zhì)量力是有勢(shì)力，且質(zhì)量力位勢(shì)為 ，即滿足：如考慮 為一定常場(chǎng)，則有：58pVVdtd 22pVVFVdtd 22理想流體的動(dòng)能方程59pVVdtd 22022 pVdtd理想流體微團(tuán)的動(dòng)能方程：不可壓縮不可壓縮定常pVpVtpdtdpdtdpVdtd 122 pdtdVdtd220ddt60022 pVdtdconstpV 22等式右端括號(hào)內(nèi)部分的個(gè)體變化為零，也即：61定常運(yùn)動(dòng):流體運(yùn)動(dòng)的跡線和流線是重合constpV 22constpgzV 22于是沿流體運(yùn)動(dòng)的流線也有：伯努利方程62例2-4-1理想不可壓流體，所受質(zhì)量力僅為重

17、力的情況下作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中一流管如圖所示，已知道O點(diǎn)壓力和速度均為零，討論此時(shí)圖中處于同一流線上A、B兩點(diǎn)的流速VA、VB及壓力PA、PB間的所滿足的關(guān)系。O63流體力學(xué)的基本方程組：運(yùn)動(dòng)方程連續(xù)方程0Vt VpFdtVd21 考慮流體為均勻不可壓縮（=常數(shù)），且粘性系數(shù)為常數(shù)（=常數(shù)）的情況下，方程組是閉合的。,pwvu64流體力學(xué)問題的一般方法，就是求解這樣的閉合的方程組并使之適合應(yīng)當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件。由于流體運(yùn)動(dòng)方程含有如平流加速度的非線性項(xiàng)，它是一個(gè)非線性方程組，在數(shù)學(xué)上要求解這樣一個(gè)非線方程組是難以做到的。僅僅通過簡(jiǎn)單問題的求解了解基本方法65一、平面庫埃托流動(dòng)0,0wvuh

18、h Uuzx考慮如下簡(jiǎn)單流動(dòng)，設(shè)流體在兩相距為2h的無界平行平板間，沿 x 軸作定常直線平面運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滿足：0,0wvu上平板勻速運(yùn)動(dòng)，下平板靜止。66考慮了xoz平面的運(yùn)動(dòng)，則 。：0/yu 0/xu )(zuu 連續(xù)方程可見，即僅僅是 z 的函數(shù)67納維斯托克斯方程簡(jiǎn)化為：積分zpgypzuxp 10101022)(1xpgzp 0/tu 0/dtdwdtdvdtdu進(jìn)而有：gFFFzyx,00,0wvu沿沿 x x 軸作定常直線平面運(yùn)動(dòng)軸作定常直線平面運(yùn)動(dòng)68方程第一式可以得到：221zuxp 積分上式可以得到：BAzzxpu212 )(zuu)(1xpgzp 69考慮這樣的簡(jiǎn)單情況，設(shè)

19、在x方向的壓力分布均勻，即：考慮如下邊界條件：最終可以得到：0/xp 0,uhzUuhzhzUu12上式即給出了平面庫托流動(dòng)的流速分布，它表明流速沿z軸呈線性分。BAzzxpu212 70二、平面泊稷葉流動(dòng)0,0wvuh h uzx在平面庫托流動(dòng)的基礎(chǔ)上，假定沿 x方向的壓力梯度不為零，而上、下板處于靜止?fàn)顟B(tài)。/0px,0,0zh uzh u71此時(shí)，邊界條件為：0/xp 0,uhz2221zhxpu 即為平面泊稷葉流動(dòng)的流速分布，它表明流速沿 z 軸方向呈拋物線分布。將邊界條件代入方程解式中，可以得到：BAzzxpu212 理想化的無邊界、無限深和密度均勻的海洋，因海面受穩(wěn)定的風(fēng)長時(shí)間吹刮，

20、出現(xiàn)鉛直湍流而產(chǎn)生的水平湍流摩擦力，與地轉(zhuǎn)偏向力平衡時(shí)出現(xiàn)的海流。18931896年，挪威海洋調(diào)查船“前進(jìn)”號(hào)橫越北冰洋時(shí)，F(xiàn).南森觀察到冰山不是順風(fēng)漂移，而是沿著風(fēng)向右方2040的方向移動(dòng)。1905年，V.W.?？寺芯苛诉@種現(xiàn)象，得出了著名的埃克曼漂流理論。74考慮粘性系數(shù)和密度均為常數(shù) 的流體，在旋轉(zhuǎn)角速度為 的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)出現(xiàn)了科氏力（地轉(zhuǎn)偏向力）的作用。而科氏力為：,const 0Vuivjw1222FkVviuj 假設(shè)流體作平面運(yùn)動(dòng)，該平面繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則流速表示為：75假設(shè)流體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)參考系無加速度，且無質(zhì)量力作用，其運(yùn)動(dòng)方程（NS方程）為：wzpvypuuxpv222

21、10120120 76vuuv2222 假設(shè)p與x，y，z無關(guān)wzpvypuuxpv22210120120 0w77222222dzvdudzudv 考慮u、v 僅是 z 的函數(shù)，即滿足：；則可得到如下關(guān)系式)(zuu)(zvv 由以上二式所確定的流動(dòng)即為埃克曼流動(dòng)。vuuv2222 78引進(jìn)復(fù)速度，方程組可以變?yōu)椋?22222dzvdudzudv ivudzdivui222 79ivudzdivui222 ivudzdivui22)/(2 2)/(m ivudzdivuim2222ivuW2222dzWdiWm80求解以上方程，并使之滿足這樣的邊界條件：VvUuzvuz,00,zimiVUi

22、vu1exp則可得：2222dzWdiWmzimCzimCW)1(exp)1(exp21iVUC102C81mzmzVmzUvmzmzVmzUuexpsincosexpsincos上式表明，在科氏力與粘性力相平衡的條件下，自海面向下，洋流速度逐漸減小，以至在很深的海底減弱消失，且流動(dòng)方向自上而下繞軸呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。當(dāng)然，這里僅僅討論了最簡(jiǎn)單的結(jié)果，?？寺鲃?dòng)在海洋學(xué)和氣象學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中要復(fù)雜的多。zimiVUivu1exp82第二章總結(jié) 1連續(xù)方程 （1）Lagrange觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程；（2）Euler觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程；（3）自由表面的流體連續(xù)方程。2作用于流體的力、應(yīng)力張量 （1）質(zhì)量力和表面力；（2）應(yīng)力張量；（3）廣義的牛頓粘性假設(shè)。833運(yùn)動(dòng)方程 （1）NavierStokes方程；（2）歐拉方程；（3）靜力方程；4能量方程 （1）動(dòng)能方程；（2）伯努利方程5簡(jiǎn)單情況下的N-S方程的準(zhǔn)確解