2019屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題6 解析幾何 第1講 直線(xiàn)與圓練習(xí)

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1、 第一部分 專(zhuān)題六 第一講?直線(xiàn)與圓 A．???2???????????????????????????????? 8???2 A?組 1．若直線(xiàn)?l1：x＋ay＋6＝0?與?l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0?平行，則?l1?與?l2?間的距離為( B ) 3 3 C．?3 8?3 D． [解析] 由?l1∥l2?知?3＝a(a－2)且?2a≠6(a－2)， 2a2≠18，求得?a＝－1， 2 ∴l(xiāng)1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋3＝0，兩條平行直線(xiàn)?l1?與?l2?間的

2、距離為 3 2 |6－?| d＝ ＝ 12＋ － 2  8?2 3  .故選?B． 2．(文)直線(xiàn)?x＋y＋?2＝0?截圓?x2＋y2＝4?所得劣弧所對(duì)圓心角為( D ) 6 3 3 6 π A． 2π C． π B． 5π D． 3 |?2| [解析] 弦心距?d＝ ＝1，半徑?r＝2， 2 2π ∴劣弧所對(duì)的圓心角為 . (理)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4?與⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9?相交弦所在直線(xiàn)為?l，則?l?被⊙O： x2

3、＋y2＝4?截得弦長(zhǎng)為( D ) 13 13 A．?13 4?39 C． B．4 8?39 D． 圓心?O(0,0)到?l?的距離?d＝ ，⊙O?的半徑?R＝2， [解析] 由⊙C1?與⊙C2?的方程相減得?l：2x－3y＋2＝0. 2?13 13 13??? 13 ∴截得弦長(zhǎng)為?2?R2－d2＝2 4??8?39 4－?＝????. x Q 3．已知圓?C：?2＋(y－3)2＝4，過(guò)?A(－1,0)的直線(xiàn)?l?與圓?C?相交于?P，?兩點(diǎn)．若|PQ|＝2?3， 1

4、 ＝??，此時(shí)直線(xiàn)?l?的方程為?y＝??(x＋1)，故所求直線(xiàn)?l?的方程為?x＝－1?或?4x－3y＋4＝0. 則直線(xiàn)?l?的方程為( B ) A．x＝－1?或?4x＋3y－4＝0 B．x＝－1?或?4x－3y＋4＝0 C．x＝1?或?4x－3y＋4＝0 D．x＝1?或?4x＋3y－4＝0 [解析] 當(dāng)直線(xiàn)?l?與?x?軸垂直時(shí)，易知?x＝－1?符合題意；當(dāng)直線(xiàn)?l?與?x?軸不垂直時(shí)，設(shè)直 |－k＋3| 線(xiàn)?l?的方程為?y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2?3，則圓心?C?到直線(xiàn)?l?的距離?d＝ ＝1，解得?k k2＋1 4 4

5、 3 3 4．過(guò)三點(diǎn)?A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交?y?軸于?M，N?兩點(diǎn)，則|MN|＝( C ) A．2?6 C．4?6 B．8 D．10 3－2 1 2＋7 ????????????? [解析] 由已知得?kAB＝1－4＝－3，kCB＝4－1＝3，所以?kAB·kCB＝－1，所以?AB⊥，即 ABC?為直角三角形，其外接圓圓心為(1，－2)，半徑為?5，所以外接圓方程為(x－1)2＋(y＋2)2 ＝25，令?x＝0，得?y＝±2?6－2，所以|MN|＝4?6，故選?C． 5．直線(xiàn)?l?與圓?x2＋y

6、2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于?A、B?兩點(diǎn)，若弦?AB?的中點(diǎn)為(－2,3)， 則直線(xiàn)?l?的方程為( A ) A．x－y＋5＝0 C．x－y－5＝0 B．x＋y－1＝0 D．x＋y－3＝0 [解析] 設(shè)圓?x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圓心為?C，弦?AB?的中點(diǎn)為?D，易知?C(－1,2)， 又?D(－2,3)， 故直線(xiàn)?CD?的斜率?kCD＝－2－ － 3－2  ＝－1， 則由?CD⊥l?知直線(xiàn)?l?的斜率?kl＝－ kCD 1 ＝1， 故直線(xiàn)?l?的方程為?y

7、－3＝x＋2，即?x－y＋5＝0. 6．一條光線(xiàn)從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)?y?軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1?相切，則反射光 線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為( D ) 3???? 5 2???? 3 4???? 5 3???? 4 5 3 A．－?或－ 5 4 C．－?或－ 3???2 B．－?或－ 4???3 D．－?或－ [解析] 由光的反射原理知，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)?(2，－3)，設(shè)反射光線(xiàn)所在直 2 －2)2＝1?相切，∴??????????????? ＝1

8、，解得?k＝－??或?k＝－??.故選?D． 8．一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓 ＋???＝1?的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在?x?軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ??? 3? 25 為?x－?÷2＋y2＝ . 線(xiàn)的斜率為?k，則其直線(xiàn)方程為?y＋3＝k(x－2)，即?kx－y－2k－3＝0.∵光線(xiàn)與圓(x＋3)2＋(y |－3k－2－2k－3| 4 3 k2＋1 3 4 7．若直線(xiàn)?3x－4y＋5＝0?與圓?x2＋y2＝r2(r>0)相交于?A，B?兩點(diǎn)，且∠AOB＝120°(O?為坐標(biāo) 原點(diǎn))，則?r＝2. [解析] 直線(xiàn)?3x－4y＋5＝0?與圓?x2＋y2＝r2(r＞0)交于?

9、A，B?兩點(diǎn)，O?為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠AOB 1 5 1 ＝120°，則圓心(0,0)到直線(xiàn)?3x－4y＋5＝0?的距離為?r，即 ＝?r，∴r＝2. 2 32＋42 2 x2 y2 16 4 è 2? 4 3?????? 25??????????????? ??? 3? 25 解得?a＝??，??r2＝ ，所以圓的方程為?x－?÷2＋y2＝ . 綜上可知，k?的值為?1?或??. ∴d＝????????????? >???2，解得?k<－??或?k>1. [解析] 設(shè)圓心為(a,0)，則圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，依題意得?a2＋22

10、＝ 2 4 è 2? 4 9．已知定點(diǎn)?M(0,2)，N(－2,0)，直線(xiàn)?l：kx－y－2k＋2＝0(k?為常數(shù))． (1)若點(diǎn)?M，N?到直線(xiàn)?l?的距離相等，求實(shí)數(shù)?k?的值； (2)對(duì)于?l?上任意一點(diǎn)?P，∠MPN?恒為銳角，求實(shí)數(shù)?k?的取值范圍． [解析] (1)∵點(diǎn)?M，N?到直線(xiàn)?l?的距離相等， ∴l(xiāng)∥MN?或?l?過(guò)?MN?的中點(diǎn)． ∵M(jìn)(0,2)，N(－2,0)， ∴直線(xiàn)?MN?的斜率?kMN＝1， MN?的中點(diǎn)坐標(biāo)為?C(－1,1)． 又∵直線(xiàn)?l：kx－y－2k＋2＝0?過(guò)定點(diǎn)?D(2,2)， ∴當(dāng)?

11、l∥MN?時(shí)，k＝kMN＝1； 1 當(dāng)?l?過(guò)?MN?的中點(diǎn)時(shí)，k＝kCD＝3. 1 3 (2)∵對(duì)于?l?上任意一點(diǎn)?P，∠MPN?恒為銳角， ∴l(xiāng)?與以?MN?為直徑的圓相離，即圓心到直線(xiàn)?l?的距離大于半徑， |－k－1－2k＋2| 1 k2＋1 7 10．已知點(diǎn)?P(0,5)及圓?C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線(xiàn)?l?過(guò)點(diǎn)?P?且被圓?C?截得的線(xiàn)段為?4?3，求?l?的方程； －a 2，

12、 3 (2)求過(guò)?P?點(diǎn)的圓?C?的弦的中點(diǎn)的軌跡方程． [解析] (1)如圖所示，|AB|＝4?3，將圓?C?方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 為(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 所以圓?C?的圓心坐標(biāo)為(－2,6)，半徑?r＝4，設(shè)?D?是線(xiàn)段?AB?的 中點(diǎn)，則?CD⊥AB， 所以|AD|＝2?3，|AC|＝4. C?點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,6)． 在? ACD?中，可得|CD|＝2. 若直線(xiàn)?l?的斜率存在，設(shè)為?k，則直線(xiàn)?l?的

13、方程為?y－5＝kx，即?kx－y＋5＝0. 由點(diǎn)?C?到直線(xiàn)?AB?的距離公式： |－2k－6＋5| k2＋?－?2  ＝2， 得?k＝??. 3 4 故直線(xiàn)?l?的方程為?3x－4y＋20＝0. 直線(xiàn)?l?的斜率不存在時(shí)，也滿(mǎn)足題意，此時(shí)方程為?x＝0. 所以所求直線(xiàn)?l?的方程為?x＝0?或?3x－4y＋20＝0. B?組 1．(2018·南寧一模)直線(xiàn)?y＝kx＋3?被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4?截得的弦長(zhǎng)為?2?3，則直線(xiàn) 的傾斜角為( A ) A． 或 B．－ 或 C．－ 或

14、 6 π 5π 6 6 π π 6 6  π D． π??π 3??3 股定理得?r2＝d2＋(??? )2，即?4＝???2? ＋3，解得?k＝± 2?????????? k?＋1????????????? 3????????????????? 6??? 6 [解析] 圓(x－2)2＋(y－3)2＝4?的圓心為(2,3)，半徑?r＝2，圓心(2,3)到直線(xiàn)?y＝kx＋3 的距離?d＝?|2k|?，因?yàn)橹本€(xiàn)?y＝kx＋3?被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4?截得的弦長(zhǎng)為?2?3，所以由勾 k2＋1 2?3 4k2 3 π

15、5π ，故直線(xiàn)的傾斜角為 或 . 2．設(shè)直線(xiàn)?x－y－a＝0?與圓?x2＋y2＝4?相交于?A，B?兩點(diǎn)，O?為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB?為等邊三 角形，則實(shí)數(shù)?a?的值為( B ) A．±?3 C．±3 B．±?6 D．±9 [解析] 由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為?，則 AOB?的邊長(zhǎng)為?，所以 AOB?的高為 3，即圓心到直線(xiàn)?x－y－a＝0?的距離為?3，所以 |－a| 12＋ －  ＝?3，解得?a＝±?6. 2 4 3．已知點(diǎn)?A(－2,0)，B(0,2

16、)，若點(diǎn)?C?是圓?x2－2ax＋y2＋a2－1＝0?上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC?面積的 最小值為?3－?2，則?a?的值為( C ) A．1 C．1?或－5 B．－5 D．5 [解析] 解法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝1，圓心?M(a,0)到直線(xiàn)?AB：x－y＋2＝0?的 |a＋2| 距離為?d＝ ， 2 |a＋2| 1 |a＋2|－?2 2???－1，(???ABC)min＝2×2???2× 可知圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)?AB?的最短距離為?d－1＝ 2 ＝3－?2， 解得?a＝1?或－5. 解法二：圓的標(biāo)準(zhǔn)

17、方程為(x－a)2＋y2＝1， 設(shè)?C?的?坐?標(biāo)?為?(a?＋?cosθ?，?sinθ?)?，?C?點(diǎn)?到?直?線(xiàn)?AB?：?x?－?y?＋?2?＝?0?的?距?離?為?d?＝ |a＋cosθ?－sinθ?＋2| 2 θ?－ ＝  |?2 π 4 2 ＋a＋2| . θ?－ 1 △ABC?的面積為??ABC＝2×2?2×  |?2 π 4 2 ＋a＋2| ＝|???2sin(θ?－ )＋a＋2|， π 4 當(dāng)?a≥0?時(shí)，a＋2－?2＝3－?2，解得?a＝1；

18、 當(dāng)－2≤a<0?時(shí)，|a＋2－?2|＝3－?2，無(wú)解； 當(dāng)?a<－2?時(shí)，|a＋2＋?2|＝3－?2，解得?a＝－5. 解法三：設(shè)與?AB?平行且與圓相切的直線(xiàn)?l′的方程為?x－y＋m＝0(m≠2)，圓心?M(a,0)到直 |a＋m| 線(xiàn)?l′的距離?d＝1，即 ＝1，解得?m＝±?2－a， 2 兩平行線(xiàn)?l，l′之間的距離就是圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)?AB?的最短距離， |m－2| |±?2－a－2| 即 ＝ ， 2 2 1 |±?2－a－2| 2 (?ABC)min＝2×2?2× ＝|±?2－a－2|. 當(dāng)?a≥0?時(shí)，|±?2－a－2|＝

19、3－?2，解得?a＝1. 5 4．已知直線(xiàn)?x＋y－k＝0(k>0)與圓?x2＋y2＝4?交于不同的兩點(diǎn)?A，B，O?是原點(diǎn)，且有|OA＋OB 當(dāng)?a<0?時(shí)，|±?2－a－2|＝3－?2，解得?a＝－5. 故?a＝1?或－5. → → |≥????3??→|AB|，則?k?的取值范圍是( 3 C??) A．(?3，＋∞) C．[?2，2?2) B．[?2，＋∞) D．[?3，2?2] → →????????????????? →???????????? →??????

20、? →????????? → 1??→ 因?yàn)閨OA＋OB|≥?? |AB|，所以|2OD|≥?? |AB|，|AB|≤2???3|OD|，又因?yàn)閨OD|2＋??|AB|2＝4，所 以|OD|≥1.因?yàn)橹本€(xiàn)??x＋y－k＝0(k>0)與圓??x2＋y2＝4??交于不同的兩點(diǎn)，所以?|OD|<2，所以 [解析] 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算．設(shè)?AB?的中點(diǎn)為?D，則?OD⊥AB， 3 3 4 → → 1≤?－k?<2，解得?2≤k<2?2， ??2?? 故選?C． 5．兩條平行直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線(xiàn)和圓有四個(gè)不同的公共

21、點(diǎn)，則稱(chēng) 兩條平行線(xiàn)和圓“相交”；若兩平行直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)兩條平行線(xiàn)和圓“相離”；若 兩平行直線(xiàn)和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱(chēng)兩條平行線(xiàn)和圓“相切”．已知直線(xiàn) 2 l 2 x l1：?x－y＋a＝0，?2：?x－y＋a2＋1＝0?和圓：?2＋y2＋2x－4＝0?相切，則?a?的取值范圍是( C ) A．a(chǎn)>7?或?a<－3 B．a(chǎn)>?6或?a<－?6 C．－3≤a≤－?6或?6≤a≤7 D．a(chǎn)≥7?或?a≤－3 [解析] 本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系、補(bǔ)集思想及分析、理解、解決問(wèn)題的能力．兩 條平行線(xiàn)與圓都相交時(shí)，

22、 ì? 由í ?? － －  5 ＋a| ?5 ＋a2＋1| >?5 5  得?a<－3，或?a>7，所以?xún)蓷l直線(xiàn)和圓“相切”時(shí)?a?的取 6 6．過(guò)點(diǎn)?P(－1,1)作圓?C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為?A，B，則PA·PB 4

23、 值范圍－3≤a≤－?6或?6≤a≤7，故選?C． → → 21 的最小值為 . [解析] 圓?C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1?的圓心坐標(biāo)為(t，t－2)，半徑為?1， 所以?PC＝ t＋ 2＋??t－ 2 ＝ 2 t－???＋8≥?8， PA＝PB＝???PC2－1，cos∠APC＝ ， 所以?cos∠APB＝2?PC÷2－1＝1－?AP? 所以PA·PB＝(PC2－1)(1－ 2)＝－3＋PC2＋ PC???????????? PC2 4?? 4 所以PA·PB的最小值為 . [解析] 以?

24、OC?為直徑的圓的方程為(x－??)2＋(y－2)2＝(??)2，AB?為圓?C?與圓?O：x2＋y2＝5 的公共弦，所以?AB?的方程為?x2＋y2－[(x－??)2＋(y－2)2]＝5－ ，化為?3x＋4y－5＝0，C?到?AB ??．在 ABC?中，角?A、B、C?的對(duì)邊分別為?a、b、c，若?sin2A＋sin2B＝??sin2C，則直線(xiàn)?ax [解析] 由正弦定理得?a2＋b2＝??c2， AP PC 2 è?? PC2， → → 2 2 1 21 ≥－3＋8＋?＝ ， → → 21 4 7．過(guò)點(diǎn)?C(3,4)作圓?x2＋y2＝5?的兩條切

25、線(xiàn)，切點(diǎn)分別為?A，B，則點(diǎn)?C?到直線(xiàn)?AB?的距離為 4. 3 5 2 2 3 25 2 4 |3×3＋4×4－5| 的距離為?d＝ ＝4. 32＋42 1 2 －by＋c＝0?被圓?x2＋y2＝9?所截得弦長(zhǎng)為?2?7. 1 2 ∴圓心到直線(xiàn)距離?d＝ |c|?＝ a2＋b2 c ＝?2， 1 c2 2 ∴弦長(zhǎng)?l＝2?r2－d2＝2?9－2＝2?7. 9．(2018·全國(guó)卷Ⅱ，19)設(shè)拋物線(xiàn)?C：y2＝4x?的焦點(diǎn)為?F，過(guò)?F?且斜率為?k(k>0)的直線(xiàn)?l 與?C?交于?A

26、，B?兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求?l?的方程． (2)求過(guò)點(diǎn)?A，B?且與?C?的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程． 7 [解析] (1)由題意得?F(1,0)，l?的方程為?y＝k(x－1)(k＞0)． 設(shè)?A(x1，y1)，B(x2，y2)，由í ì?y＝k x－ ??y2＝4x， ，  得?k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故?x1＋x2＝ k 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝ k 由題設(shè)知 ＝8，解得?k＝－1(舍去)，k＝1. 2k2＋4

27、 . 2 4k2＋4 . 2 4k2＋4 k2 因此?l?的方程為?y＝x－1. (2)由(1)得?AB?的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)， 所以?AB?的垂直平分線(xiàn)方程為?y－2＝－(x－3)，即?y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則í???????????? y0－x0＋ x0＋ ?? 2 ì?y0＝－x0＋5， 2＝  2 ＋16. ì?x0＝3， ì?x0＝11， 解得í ? ?y0＝2 或í ? ?y0＝－6. x1?? x2??? 2

28、 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16?或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 10．(2017·全國(guó)卷Ⅲ，20)在直角坐標(biāo)系?xOy?中，曲線(xiàn)?y＝x2＋mx－2?與?x?軸交于?A，B?兩點(diǎn)， 點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)?m?變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： (1)能否出現(xiàn)?AC⊥BC?的情況？說(shuō)明理由． (2)證明過(guò)?A，B，C?三點(diǎn)的圓在?y?軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． [解析] (1)不能出現(xiàn)?AC⊥BC?的情況．理由如下： 設(shè)?A(x1,0)，B(x2,0)， 則?x1，x2?滿(mǎn)足?x2＋mx－2＝0， 所以?x1x2＝－2. 又點(diǎn)

29、?C?的坐標(biāo)為(0,1)， －1 －1 1 故?AC?的斜率與?BC?的斜率之積為 · ＝－?， 所以不能出現(xiàn)?AC⊥BC?的情況． x 1 1 x ??????????????????????????????????? (2)證明：BC?的中點(diǎn)坐標(biāo)為(?22，2)，可得?BC?的中垂線(xiàn)方程為?y－2＝x2(x2－?2?)． 由(1)可得?x1＋x2＝－m， 8 所以?AB?的中垂線(xiàn)方程為?x＝－??. m 2 ??y－1＝x 2 x－ 2 ， ì?x＝－m， 聯(lián)立í 2 2 

30、 x 2 ??y＝－1. 所以過(guò)?A，B，C?三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(－??，－??)，半徑?r＝????m2＋9 故圓在?y?軸上截得的弦長(zhǎng)為?2?? r2－? m 2?? ＝3， ? ìx＝－m， 又?x2＋mx?－2＝0，可得í 2 2 2 2 m 1 2 2 2 . 2 即過(guò)?A，B，C?三點(diǎn)的圓在?y?軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． 9