2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 證明不等式的基本方法 2.2 綜合法與分析法課件 新人教A版選修4-5.ppt

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1、二 綜合法與分析法,1.綜合法 一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法,又叫順推證法或由因?qū)Ч?,,,,名師點撥用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系:A?B1?B2?…?Bn?B,由已知逐步推演不等式成立的必要條件,從而得結(jié)論.,做一做1 若a>b>0,則下列不等式中一定成立的是 ( ),答案：A,2.分析法 證明命題時,從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法

2、.,,,,名師點撥用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系:B?B1?B2?…?Bn?A,由結(jié)論步步尋求使不等式成立的充分條件,從而得到已知(或明顯成立的事實).,做一做2 用分析：法證明:欲使A>B①,只需C0); (5)|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|.,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練1 已知a>0,b>0,c>0,求證a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c). 證明：因為a2+b2≥2ab,a>0,b>0,所以(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), 即a3+b3+a2b+ab2≥2a2b+2ab2. 所以a3+b3≥a2b+ab2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立). 同理

3、可得b3+c3≥b2c+bc2(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,等號成立),a3+c3≥a2c+ac2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立), 將以上三式兩邊分別相加,得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2, 所以3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2) =(a+b+c)(a2+b2+c2), 所以a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立).,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用分析法證明不等式 【例2】 已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2∈R,均有 分析：用分

4、析法證明,從要證明的不等式出發(fā),將要證明的不等式逐步簡化,直至得出明顯成立的不等式.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟分析法證明不等式應(yīng)注意的問題 1.分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論. 2.分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式. 3.用分析法證明數(shù)學(xué)命題時,一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品枴?”或“要證”“只需證”“即證”等詞語.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用綜合法與分析法證明不等式 典例已知函數(shù)f(x)=ln(x+2),a

5、,b,c是兩兩不相等的正實數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 【審題策略】可先利用基本不等式得到a,b,c中間的不等關(guān)系,然后再借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)論.,探究一,探究二,規(guī)范解答,【規(guī)范展示】f(a)+f(c)>2f(b). 證明:因為a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù), 所以由基本不等式可得a+c>2 . 又a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac. 于是a+c>2 =2b. 而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln [ac+2(a+c)+4], 2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4), 因為ac+2(a+

6、c)+4=b2+2(a+c)+4>b2+4b+4, 且函數(shù)f(x)=ln(x+2)是單調(diào)遞增函數(shù), 所以ln [ac+2(a+c)+4]>ln(b2+4b+4), 故f(a)+f(c)>2f(b).,探究一,探究二,規(guī)范解答,【答題模板】 第1步:給出結(jié)論 ? 第2步:利用基本不等式和已知條件得到a,b,c之間的不等關(guān)系 ? 第3步:代入求得函數(shù)值 ? 第4步:根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)論,探究一,探究二,規(guī)范解答,失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,造成失分的主要原因是: (1)解答的開始沒有給出結(jié)論,一開始就進行證明.對于這類問題,應(yīng)該先回答問題的結(jié)論,然后再進行證明; (2)忽視了基本不

7、等式等號成立的條件而直接得到a+c≥2 ; (3)對對數(shù)的運算性質(zhì)不熟練導(dǎo)致變形出現(xiàn)錯誤,從而無法繼續(xù)證明; (4)不能從函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)聯(lián)系要證明的結(jié)論,導(dǎo)致證明無法繼續(xù).,探究一,探究二,規(guī)范解答,變式訓(xùn)練 已知a,b是兩個不相等的正實數(shù),且a+b=2,求證 證明：因為a,b都是正實數(shù),所以原不等式等價于a2(b+1)+b2(a+1)>(a+1)(b+1). 展開得a2b+a2+b2a+b2>ab+a+b+1, 即a2+b2+ab(a+b)>ab+a+b+1.① 將a+b=2代入①式,只需證a2+b2+2ab>ab+3, 即(a+b)2>ab+3.② 將a+b=2代入②式,整理,得ab2

8、 可得ab<1成立, 故原不等式成立.,1 2 3 4,,,,,A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 解析：證明過程是由左到右,順推證明,是綜合法. 答案：B,1 2 3 4,,,,,2.用分析法證明不等式時的推理過程一定是( ) A.正向、逆向均可進行正確的推理 B.只需能進行逆向推理 C.只需能進行正向推理 D.有時能正向推理,有時能逆向推理 答案：B,1 2 3 4,,,,,只需證a2+b2≥2ab,也就是證 ,即證 .由于 顯然成立,因此原不等式成立. 答案：a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0.,1 2 3 4,,,,,