空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 教案

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1、 個 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 適用學科 數(shù)學 適用年級 高二 適用區(qū)域 新課標 課時時長（分鐘） 60 知識點 柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 簡單祝賀體的結(jié)構(gòu)特征 三視圖 直觀圖 教學目標 1、通過本課訓練，進一步理解和掌握簡單幾何體與三視圖和直觀圖的有關(guān)概念、常見題型 及解法； 2、培養(yǎng)和訓練學生識別、選擇、作圖、運用及空間想象的能力。 教學重點 柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì) 教學難點 柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì) 教學過程 一、復習預習 教師引導學生復習上節(jié)內(nèi)容，并引入本節(jié)課程內(nèi)容 二、知識講解

2、考點/易錯點1 多面體的結(jié)構(gòu)特征 多面體 結(jié)構(gòu)特征 棱柱 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個面的交線都平行且相等 棱錐 有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形 棱臺 棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分 考點/易錯點2 旋轉(zhuǎn)體的形成 幾何體 旋轉(zhuǎn)圖形 旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 一條直角邊所在的直線 圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線 考點/易錯點3 簡單組合體 簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；一

3、種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體． 考點/易錯點4 平行投影與直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是： (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． (2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 考點/易錯點5 三視圖 幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫

4、出的輪廓線． 三、例題精析 【例題1】 【題干】如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是(　　) A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補 C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D．等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上 【答案】B 【解析】如圖，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即A正確；底面四邊形必有一個外接圓，即C正確；在高線上可以找到一個點O，使得該點到四棱錐各個頂點的距離相等，這個點即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與

5、底面所成角不一定相等或互補(若為正四棱錐則成立)．故僅命題B為假命題． 【例題2】 【題干】(1)如圖是底面為正方形、一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的(　　) (2) 如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，其正視圖如圖所示，則此三棱柱側(cè)視圖的面積為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C. D．2 【答案】D.D 【解析】(1)由俯視圖排除B、C；由正視圖、側(cè)視圖可排除A (2)依題意，得此三棱柱的左視圖是邊長分別為2，的矩形，故其面積是2 【例題3】 【題干】如果一個水平放

6、置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(　　) A．2＋　　　　　　　　　　 B. C. D．1＋ 【答案】A 【解析】恢復后的原圖形為一直角梯形 S＝(1＋＋1)×2＝2＋ 【例題4】 【題干】已知△ABC的直觀圖A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積． 【解析】建立如圖所示的坐標系xOy′， △A′B′C′的頂點C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上，OC為△ABC的高． 把y′軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸， 則點C′變?yōu)辄cC，且OC＝2OC′，A，B點即為A′，B′點，長度不變．

7、已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中， 由正弦定理得 ＝， 所以O(shè)C′＝ a＝ a， 所以原三角形ABC的高OC＝a. 所以S△ABC＝×a×a＝a2. 四、課堂運用 【基礎(chǔ)】 1．如圖，在下列四個幾何體中，其三視圖(正視圖、側(cè)視圖、俯視圖)中有且僅有兩個相同的是(　　) A．②③④　　　　　　　　 B．①②③ C．①③④ D．①②④ 解析：選A　①的三個視圖都是邊長為1的正方形；②的俯視圖是圓，正視圖、側(cè)視圖都是邊長為1的正方形；③的俯視圖是一個圓及其圓心，正視圖、側(cè)視圖是相同的等腰三角形；④的俯視圖是邊長為1的正方形，正視圖、側(cè)視圖是相同的矩形

8、． 2．一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是(　　) 解析：選C　C選項不符合三視圖中“寬相等”的要求，故選C. 5.如圖△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選B　由斜二測畫法知B正確． 3．一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則這個幾何體的俯視圖可能是下列圖形中的________．(填入所有可能的圖形前的編號) ①銳角三角形；②直角三角形；③四邊形；④扇形；⑤圓． 解析：如圖1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合

9、題設(shè)要求，此時俯視圖△ABE是銳角三角形；如圖2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合題設(shè)要求，此時俯視圖△ABC是直角三角形；如圖3所示，當直四棱柱的八個頂點分別是正方體上、下各邊的中點時，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合題設(shè)要求，此時俯視圖(四邊形ABCD)是正方形；若俯視圖是扇形或圓，體積中會含有π，故排除④⑤. 答案：①②③ 4．正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長均為，其正視圖(主視圖)和側(cè)視圖(左視圖)是全等的等腰三角形，則正視圖的周長為________． 解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E、F分別是AD、BC的中點，連接AO，易得AO＝，而PA＝

10、，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正視圖的周長為2＋2. 答案：2＋2 【鞏固】 1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱長均為2，當其正視圖有最大面積時，其側(cè)視圖的面積為(　　) A．2 B．3 C. D．4 解析：選A　當正視圖的面積達最大時可知其為正三棱柱某個側(cè)面的面積，可以按如圖所示位置放置，此時側(cè)視圖的面積為2. 2．已知：圖1是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖2是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成． 解：圖1幾何體的三視圖為： 圖2所示的幾何體是上面為正六棱柱，下面為倒立的正六棱錐的組合體． 3．已知正三棱錐V

11、－ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解：(1)三棱錐的直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中 VA＝ ＝＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. 【拔高】 1．有一個棱長為1的正方體，按任意方向正投影，其投影面積的最大值是(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D　如圖所示是棱長為1的正方體． 當投影線與平面A1BC1垂直時， ∵面ACD1∥面A1BC1， ∴此時正方體的正投影為一個正六邊形．設(shè)其邊長為a，則a＝， ∴a＝. ∴投影

12、面的面積為6××2＝. 此時投影面積最大，故D正確． 2．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，設(shè)△ABC，△A′B′C′的中心分別是O，O′，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)，射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個實數(shù))，對應的俯視圖的面積為S(x)，則函數(shù)S(x)的最大值為________；最小正周期為________． (說明：“三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負角．) 解析：由題意可知，當三棱柱的一個側(cè)面在水平面內(nèi)時，該三棱柱的俯視圖的面積最大．此時俯視圖

13、為一個矩形，其寬為×tan 30°×2＝2，長為4，故S(x)的最大值為8.當三棱柱繞OO′旋轉(zhuǎn)時，當A點旋轉(zhuǎn)到B點，B點旋轉(zhuǎn)到C點，C點旋轉(zhuǎn)到A點時，所得三角形與原三角形重合，故S(x)的最小正周期為. 答案：8　 課程小結(jié) 1.正棱柱與正棱錐 (1)底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含兩層含義：①側(cè)棱垂直于底面；②底面是正多邊形． (2)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫正棱錐，注意正棱錐中“正”字包含兩層含義：①頂點在底面上的射影必需是底面正多邊形的中心，②底面是正多邊形，特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體． 2．對三視圖的

14、認識及三視圖畫法 (1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形． (2)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，能看見的輪廓線和棱用實線表示，擋住的線要畫成虛線． (3)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體用平行投影畫出的輪廓線． 3．對斜二測畫法的認識及直觀圖的畫法 (1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段，“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．” (2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系： S直觀圖

15、＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 課后作業(yè) 【基礎(chǔ)】 1．有下列四個命題： ①底面是矩形的平行六面體是長方體； ②棱長相等的直四棱柱是正方體； ③有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體； ④對角線相等的平行六面體是直平行六面體． 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A　命題①不是真命題，因為底面是矩形，但側(cè)棱不垂直于底面的平行六面體不是長方體；命題②不是真命題，因為底面是菱形(非正方形)，底面邊長與側(cè)棱長相等的直四棱柱不是正方體；命題③也不是真命題，因為有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊不能推出側(cè)棱與底面垂直

16、；命題④是真命題，由對角線相等，可知平行六面體的對角面是矩形，從而推得側(cè)棱與底面垂直，故平行六面體是直平行六面體． 2．如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖．在正視圖右側(cè)，按照畫三視圖的要求畫出的該幾何體的側(cè)視圖是(　　) 解析：選B　由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖應為面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正確． 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為(　　) A．2＋ B．1＋ C．2＋2 D．4＋ 解析：選D　依題意得，該幾何體的側(cè)視圖的面積等于22＋×2×＝4＋. 4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體

17、積為________． 解析：結(jié)合三視圖可知，該幾何體為底面邊長為2、高為2的正三棱柱除去上面的一個高為1的三棱錐后剩下的部分，其直觀圖如圖所示，故該幾何體的體積為×2×2sin 60°×2－××2×2sin 60°×1＝. 答案： 【鞏固】 1．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且當規(guī)定正視方向垂直平面ABCD時，該幾何體的側(cè)視圖的面積為.若M，N分別是線段DE，CE上的動點，則AM＋MN＋NB的最小值為________． 解析：依題意得，點E到直線AB的距離等于＝，因為該幾何體的左側(cè)視圖的面積為·BC×＝，所以BC

18、＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan ∠DEA＝＝，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC與△CEB展在同一平面上，此時連接AB，AE＝BE＝，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值為3. 答案：3 2．正四棱錐的高為，側(cè)棱長為，求棱錐的斜高(棱錐側(cè)面三角形的高)． 解：如圖所示，正四棱錐S－ABCD中， 高OS＝， 側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝， 在Rt△SOA中， OA＝＝2，∴AC＝4. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2

19、. 作OE⊥AB于E，則E為AB中點． 連接SE，則SE即為斜高， 在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝， ∴SE＝，即棱錐的斜高為. 【拔高】 1．如圖，△ABC與△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC為水平平面，正視圖的觀察方向與AB垂直，則三棱錐D－ABC的三視圖的面積和為________． 解析：由題意得AC＝BC＝2，AB＝4，△ACD邊AC上的高為，正視圖的面積是×4×＝2，側(cè)視圖的面積 是×2×＝，俯視圖的面積是×2×2＝4，所以三視圖的面積和為4＋3. 答案：4＋3 2．一個多面體的直觀圖、正視

20、圖、側(cè)視圖如圖1和2所示，其中正視圖、側(cè)視圖均為邊長為a的正方形． (1)請在圖2指定的框內(nèi)畫出多面體的俯視圖； (2)若多面體底面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA1的中點，求證：OE∥平面A1C1C； (3)求該多面體的表面積． 解：(1)根據(jù)多面體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖，得到俯視圖如下： (2)證明：如圖，連接AC，BD，交于O點，連接OE. ∵E為AA1的中點，O為AC的中點， ∴在△AA1C中，OE為△AA1C的中位線． ∴OE∥A1C. ∵OE?平面A1C1C，A1C?平面A1C1C， ∴OE∥平面A1C1C. (3)多面體表面共包括10個面，SABCD＝a2， SA1B1C1D1＝， S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝， S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1 ＝××＝， ∴該多面體的表面積S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2. 14 / 14