2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 第5節(jié) 復(fù)數(shù)學(xué)案 理 新人教B版

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1、 第?5?節(jié) 復(fù)數(shù) 最新考綱 1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法 及其幾何意義；4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾 何意義. 1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 內(nèi)容 知?識(shí)?梳?理 意義??????????????????????????????備注 形如?a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，?若?b＝0，則?a＋bi?為實(shí)數(shù)；若?a＝0 復(fù)數(shù)的概念 其中實(shí)部為?a，虛部為?b 且?b≠0，則?a＋bi?為

2、純虛數(shù) b??c a＋bi＝c＋di?a＝c?且?b＝d(a，，， 設(shè)OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為?z＝a＋bi，則向量 復(fù)數(shù)相等 d∈R) a＋bi?與?c＋di?共軛?a＝c?且?b＝－ 共軛復(fù)數(shù) d(a，b，c，d∈R) 建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平 復(fù)平面 面叫做復(fù)平面，x?軸叫實(shí)軸，y?軸叫虛 軸 → 復(fù)數(shù)的模  實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外， 虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi) 的點(diǎn)都表示虛數(shù) |z|＝|a＋bi|＝?a2＋b2 OZ的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)?z＝

3、a＋bi?的模 → 2.復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)集?C?和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集?C?與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)?O 為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的，即 (1)復(fù)數(shù)?z＝a＋bi 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)?Z(a，b)(a，b∈R). 平面向量OZ. (2)復(fù)數(shù)?z＝a＋bi(a，b∈R) → 3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)?z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 1 z2 c＋di （

4、c＋di）（c－di） c2＋d2 ????1－i 1＋i (2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； z a＋bi （a＋bi）（c－di） (4)除法：?1＝ ＝ ac＋bd＋（bc－ad）i ＝ (c＋di≠0). [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N+. 1＋i 1－i 2.(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i.

5、 診?斷?自?測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)復(fù)數(shù)?z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為?bi.( ) (2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.( ) (3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).( ) (4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的 模.( ) 解析 (1)虛部為?b；(2)虛數(shù)不可以比較大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(2016·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實(shí)部與虛部相等，其中?a?為實(shí)數(shù)，則?a＝( ) A.－3 B.－

6、2 C.2 D.3 解析 因?yàn)?1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以?a－2＝2a＋1，解得?a＝－3. 答案 A 3.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)?z＝i(－2＋i)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由題意，得?z＝－1－2i，其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限. 答案 C 4.(2017·江蘇卷)已知復(fù)數(shù)?z＝(1＋i)(1＋2i)，其中?i?是虛數(shù)單位，則?z?的模是________. 解析 z＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i，所以|z|＝?（－1）2＋32＝?10.

7、 答案 10 5.(教材習(xí)題改編)已知(1＋2i)z＝4＋3i，則?z＝________. 2 解析 ∵?z?＝???? ＝ ＝????? ＝2－i，∴z＝2＋i. 4＋3i （4＋3i）（1－2i） 1＋2i （1＋2i）（1－2i） 10－5i 5 答案 2＋i 考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 【例?1】?(1)(2017·全國(guó)Ⅰ卷)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是( ) A.i(1＋i)2 B.i2(1－i) C.(1＋i)2 D.i(1＋i) 2????

8、??????????? B.????2 2???????????? C.???2??????? D.2 (2)(2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)復(fù)數(shù)?z?滿(mǎn)足(1＋i)z＝2i，則|z|＝( ) 1 A. (3)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i?是虛數(shù)單位)，則?a，b?的值分別等于( ) A.3，－2 B.3，2??????????C.3，－3????????D.－1，4 (2)z＝???2i ＝??????????????? ＝???? ＝i＋1，則|z|＝???12＋12＝???2. 【訓(xùn)練?1】?(1)(2018·廣東名校

9、聯(lián)考)已知?z＝???? (i?為虛數(shù)單位)，則?z?的共軛復(fù)數(shù)的虛 解析 (1)由(1＋i)2＝2i?為純虛數(shù)知選?C. 2i（1－i） 2i＋2 1＋i （1＋i）（1－i） 2 (3)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以?a＝3，b＝－2. 答案 (1)C (2)C (3)A 規(guī)律方法 1.復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿(mǎn)足的條件 問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿(mǎn)足的方程(不等式)組即可. 2.解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為?a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部. 1－3i 3＋i

10、 部為( ) A.－i B.i C.－1 D.1 (2)(2017·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)有下面四個(gè)命題 1 p1：若復(fù)數(shù)?z?滿(mǎn)足z∈R，則?z∈R； p2：若復(fù)數(shù)?z?滿(mǎn)足?z2∈R，則?z∈R； p3：若復(fù)數(shù)?z1，z2?滿(mǎn)足?z1z2∈R，則?z1＝z2； p4：若復(fù)數(shù)?z∈R，則?z∈R. 3 解析 (1)∵z＝???? ＝??????????????? ＝－i，則?z＝i，則?z?的虛部為?1. 其中的真命題為( ) A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4 1－3i （1－3i）（3－i）

11、 3＋i （3＋i）（3－i） 1 1 a－bi ??? ＋b2 (2)p1：設(shè)?z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a＋bi＝a2 ∈R，得到?b＝0，所以?z∈R，故?p1?正確； p2：若?z2＝－1，滿(mǎn)足?z2∈R，而?z＝±i，不滿(mǎn)足?z∈R，故?p2?不正確； p3：若?z1＝1，z2＝2，則?z1z2＝2，滿(mǎn)足?z1z2∈R，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故?p3 不正確； p4：因復(fù)數(shù)?z∈R，所以?z?的虛部為?0，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故?p4?正確. 答案 (1)D (2)B 考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義 【例?2

12、】?(1)復(fù)數(shù)?z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A.(1，1) C.(1，－1) B.(－1，－1) D.(－1，1) (2)(2017·北京卷)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)?a?的取值 范圍是( ) A.(－∞，1) C.(1，＋∞) B.(－∞，－1) D.(－1，＋∞) ì?a＋1<0， 1－a>0， 規(guī)律方法 1.復(fù)數(shù)?z＝a＋bi(a，b∈R)一一對(duì)應(yīng)Z(a，b)一一對(duì)應(yīng)??OZ＝(a，b). 【訓(xùn)練?2】(1)若?i?為虛數(shù)單位，圖

13、中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)?Z?表示復(fù)數(shù)?z，則表示復(fù)數(shù) 的點(diǎn)是(??? ) 解析 (1)因?yàn)?z＝i(1＋i)＝－1＋i，故復(fù)數(shù)?z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－ 1，1). (2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i?的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則í ∴a<－1. ? ? 答案 (1)D (2)B → 2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在 一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀(guān). z 1＋i 4

14、 A.E B.F C.G D.H (2)(2016·北京卷)設(shè)?a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則?a＝ ________. 解析 (1)由題圖知復(fù)數(shù)?z＝3＋i， 1＋i 1＋i （1＋i）（1－i）??? 2 ∴ z?3＋i?（3＋i）（1－i）?4－2i  ＝???＝???????????????＝????＝2－i. ∴表示復(fù)數(shù) 的點(diǎn)為?H. 1＋i (2)(2018·日照質(zhì)檢)若?a?為實(shí)數(shù)，且???? ＝3＋i，則?a?等于(??? ) 1＋i （1

15、＋i）（1－i） (2)由???? ＝3＋i，得?2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，因此?ai＝4i(a∈R)，所以?a＝4. z 1＋i (2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得?a＋1＝0，解得?a＝－1. 答案 (1)D (2)－1 考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 3＋i 【例?3】?(1)(2017·全國(guó)Ⅱ卷) ＝( ) A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i 2＋ai 1＋i A.－4 B.－3 C.3 D.4 (3)(2017·全國(guó)Ⅱ卷)(1＋i)(2＋i)＝( ) A.1－i B.1

16、＋3i C.3＋i D.3＋3i 3＋i （3＋i）（1－i） 解析 (1) ＝ ＝2－i. 2＋ai 1＋i (3)由題意(1＋i)(2＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i. 答案 (1)D (2)D (3)B 規(guī)律方法 復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以 分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把?i?的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式. 【訓(xùn)練?3】?(1)(2017·山東卷)已知?a∈R，i?是虛數(shù)單位.若?z＝a＋?3i，z·?z?＝4，則?a ＝( ) 5 A.1?或－1 C.－?3 

17、B.?7或－?7 D.?3 ?1＋i?6 2＋???3i è1－i????? 3－???2i (2)? ÷?＋ ＝________. é（1＋i）2ù6 （???2＋???3i）（???3＋???2i） (2)原式＝ê???????? ú??＋ ????????? ??????? （???3）2＋（???2）2 解析 (1)由已知得(a＋?3i)(a－?3i)＝4，∴a2＋3＝4，解得?a＝±1. 2 5 ＝i6＋ 6＋2i＋3i－?6 ＝－1＋i. 答案 (1)A (2)－1＋i

18、 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：25?分鐘) 一、選擇題 1.(2016·四川卷)設(shè)?i?為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1＋i)2＝( ) A.0 B.2 C.2i????????????D.2＋2i 3－i 解析 (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 答案 C 1＋i 2.(2018·威海質(zhì)檢)已知?i?為虛數(shù)單位，則 ＝( ) 5 B.2＋i 5 2－i A.  5  C. 1－2i 5 1＋2i D. 3－i （3－i）（3＋i）??? 5

19、 解析 1＋i?（1＋i）（3＋i）?1＋2i ＝???????????????＝????. 3.(2018·山西康杰中學(xué)、臨汾一中等五校聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)??z＝－2＋i，則復(fù)數(shù)?z＋??的虛部為 答案 D 1 z ( ) 5 5 5 4 A. 4 B.?i  C. 6 5 6 D.?i 1????????? －2－i?????? 2???????? 1????? 12 4 解析 z＋??＝－2＋i＋????? ＝－2－??＋?1－?÷i＝－ ＋??i. z 4＋1 5 è 5? 5 5

20、 答案 A 6 （1＋i）2＋1 1 4.(2018·石家莊質(zhì)檢)在復(fù)平面中，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( ) （1＋i）2＋1 1＋2i?? （1＋2i）（1－2i）???? 5???? 5?? 5 A.第一象限 C.第三象限 解析 因?yàn)? B.第二象限 D.第四象限 1?????????1??????????1－2i????????1－2i?1??2 ＝?????＝?????????????????＝?????＝?－?i，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ?1 2? è5 5? ??，－

21、?÷，在第四象限. 答案 D 5.(2017·山東卷)已知?i?是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)?z?滿(mǎn)足?zi＝1＋i，則?z2＝( ) A.－2i B.2i C.－2 D.2 i 解析 由?zi＝1＋i，得?z＝ 1＋i ＝1－i， 6.(2017·東北三省四校聯(lián)考)i?是虛數(shù)單位，若??? ＝a＋bi(a，b∈R)，則?lg(a＋b)的值是 A.－2????????????? B.－1??????????? C.0??????????????? 1 解析 ∵??????????????? ＝??? ＝??－??i＝a＋bi， ??b＝－1

22、， ∴z2＝(1－i)2＝－2i. 答案 A 2＋i 1＋i ( ) 2 （2＋i）（1－i） 3－i 3 1 （1＋i）（1－i） 2 2 2 ì?a＝3， ∴í 2 ∴l(xiāng)g(a＋b)＝lg?1＝0. 2 答案 C 7.(2017·北京東城綜合測(cè)試)若復(fù)數(shù)(m2－m)＋mi?為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)?m?的值為( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 ì?m2－m＝0， m≠0， ì?x＝1，? ì?x＝1， 解析 因?yàn)閺?fù)數(shù)(m2－m)＋mi?為純虛數(shù)，所以í 解得?m＝1. ? ?

23、 答案 C 8.(2016·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中?x，y?是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝( ) A.1 B.?2 C.?3 D.2 解析 由(1＋i)x＝1＋yi，得?x＋xi＝1＋yi??í ??í 所以|x＋yi|＝?x2＋y2＝ ? ? ?x＝y(tǒng) ?y＝1. 7 10.(2017·天津卷)已知?a∈R，i?為虛數(shù)單位，若??? 為實(shí)數(shù)，則?a?的值為_(kāi)_______. 2＋i （2＋i）（2－i）??????????? 5????????? ＝? 5? －????5????i??為實(shí)數(shù)，則a＋2 解析? a－i＝

24、??????????????? ＝（2a－1）－（a＋2）i 2a－1 a＋2 11.若???? ＝a＋bi(a，b?為實(shí)數(shù)，i?為虛數(shù)單位)，則?a＋b＝________. 解析??????? ＝???????????????? ＝??[(3－b)＋(3＋b)i]＝??? ＋??? i.∴?í 1－i?????????? 2?????????? 2???????????????????? 2????? 2?????????? 3＋b ??b＝ ì?a＝0， ìa2－b2＝3， ìa2＝4， ?1＋i?2??017????1－i?2??017 è1－i? è1＋i? 2.

25、 答案 B 二、填空題 9.復(fù)數(shù)?z＝(1＋2i)(3－i)，其中?i?為虛數(shù)單位，則?z?的實(shí)部是________. 解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以?z?的實(shí)部為?5. 答案 5 a－i 2＋i 5 ＝0，a＝－2. 答案 －2 3＋bi 1－i 2 ì?a＝3－b， 3＋bi （3＋bi）（1＋i） 1 3－b 3＋b 解 2 ， 得í ∴a＋b＝3. ? ?b＝3. 答案 3 12.(2017·浙江卷)已知?a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i?是虛數(shù)

26、單位)，則?a2＋b2＝________， ab＝________. 解析 由已知(a＋bi)2＝3＋4i. 即?a2－b2＋2abi＝3＋4i. 從而有í 解得í 則?a2＋b2＝5，ab＝2. ? ? ?ab＝2， ?b2＝1， 答案 5 2 能力提升題組 (建議用時(shí)：10?分鐘) 13.(2018·濮陽(yáng)一模)計(jì)算? ÷ ＋? ÷ ＝( ) A.－2i B.0 8 C.2i D.2 1－i?? （1＋i）（1－i）?? 2????? 1

27、＋i ?1＋i?2??017????1－i?2??017 è1－i? è1＋i? ì?a＋1<0， ì?2p＋q＝0， p＋1＝0， ì?p＝－1， 1＋i （1＋i）2 2i 1－i 解析 ∵ ＝ ＝ ＝i， ＝－i， ∴? ÷ ＋? ÷ ＝(i4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i－i＝0. 答案 B 14.設(shè)?z1，z2?是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是( ) A.若|z1－z2|＝0，則?z?1＝?z?2 B.若?z1＝?z?2，則?z?1＝z2 1 C.若|z1|＝|z2|，則?z1·?z?1＝z2·?z?

28、2 D.若|z1|＝|z2|，則?z2＝z2 解析 A?中，|z1－z2|＝0，則?z1＝z2，故?z?1＝?z?2，成立； B?中，z1＝?z?2，則?z?1＝z2?成立；C?中，|z1|＝|z2|，則|z1|2＝|z2|2，即?z1·?z?1＝z2·?z?2，C 正確；D?不一定成立，如?z1＝1＋?3i，z2＝2， 1 1 則|z1|＝2＝|z2|，但?z2＝－2＋2?3i，z2＝4，z2≠z2. 答案 D 15.(2018·黃山模擬改編)復(fù)數(shù)?z＝(a＋1)＋(a2－3)i(i?為虛數(shù)單位)，若?z<0，則實(shí)數(shù)?a?的 值是________

29、. 解析 由題意得í 解得?a＝－?3. ? ?a2－3＝0， 答案 －?3 16.若?1－i(i?是虛數(shù)單位)是關(guān)于?x?的方程?x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一個(gè)解，則?p＋q＝ ________. 解析 依題意得?(1?－?i)2?＋?2p(1?－?i)?＋?q＝?(2p＋?q)?－?2(p＋?1)i?＝?0?，即?í 解得 ? ? ? í 所以?p＋q＝1. ?q＝2， 答案 1 9 秀 10