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1、
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專題檢測(cè)卷(十一)
等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)
(40分鐘)
一、填空題
1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a3=3,S9-S6=27,則該數(shù)列的首項(xiàng)a1等于 .
2.(2013·黃岡模擬)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后來發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了,錯(cuò)誤的是 .
3.在等差數(shù)列{an}中,a1=-2013,其前n項(xiàng)和為Sn,若-=2,則S2013的值等于 .
4
2、.(2013·福建高考改編)已知等比數(shù)列的公比為q,記bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m,,{bn},{cn}中是等比數(shù)列的是 ,公比為 .
5.(2013·遼寧高考改編)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題:
p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;
p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列.
其中真命題為 .
6.(2013·徐州模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S7=7,S15=75
3、,則數(shù)列
{}的前20項(xiàng)和為 .
7.已知an=,把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排列成如下的三角形狀,
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
記A(m,n)表示第m行的第n個(gè)數(shù),則A(10,12)= .
8.(2013·廣東高考)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7= ?
9.數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4的等比數(shù)列,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,則a2013= .
10.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn=,若b10b11=
4、2,則a21= .
11.(2013·鹽城模擬)若等比數(shù)列{an}滿足am-3=4且amam-4=(m∈N*且m>4),則a1a5的值為 .
12.(2013·揚(yáng)州模擬)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c為常數(shù)),且a1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列,則{an}的通項(xiàng)公式an= .
二、解答題
13.(2012·陜西高考)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a5,a3,a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的公比.
(2)證明:對(duì)任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.
14.設(shè)數(shù)列{an}是公差大于零的等
5、差數(shù)列,已知a1=2,a3=-10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列{bn}是以函數(shù)y=4sin2πx的最小正周期為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,求數(shù)列{an-bn}的前n項(xiàng)和Sn.
15.(2013·湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說明理由.
16.(2013·揚(yáng)州模擬)已知三個(gè)互不相等的正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,公比為q.在a,b之間和b,c之間共插入n個(gè)數(shù),使這n+3
6、個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)若a=1,在b,c之間插入一個(gè)數(shù),求q的值.
(2)設(shè)a
7、S12,S10用d表示出來,根據(jù)-=2求出d.
【解析】S12=12a1+d,S10=10a1+d,
所以==a1+d,=a1+d,
所以-=d=2,所以S2013=2013a1+d=2013(-2013+2012)=-2013.
答案:-2013
4.【解析】顯然,{bn}不可能是等比數(shù)列;{cn}是等比數(shù)列.證明如下:
cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2…am(n-1)+m,
cn+1=amn+1·amn+2…amn+m,
==
=(qm)m=.
答案:{cn}
5.【解析】
命題
判斷過程
結(jié)論
p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
由an+1
8、-an=d>0,知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
真命題
p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列
由(n+1)an+1-nan
=(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d]
=a1+2nd,僅由d>0是無法判斷a1+2nd的正負(fù)的,因而不能判定(n+1)an+1,nan的大小關(guān)系
假命題
p3:數(shù)列{}是遞增數(shù)列
顯然,當(dāng)an=n時(shí),=1,數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,不是遞增數(shù)列
假命題
p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列
數(shù)列的第n+1項(xiàng)減去數(shù)列的第n項(xiàng)
[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=(an+1-an)+[3(n+1)d-3nd]=d+3d=4d>0.
所以an+1
9、+3(n+1)d>an+3nd,
即數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列
真命題
答案:p1,p4
6.【解析】因?yàn)镾7=7,所以7a4=7,即a4=1,
又因?yàn)镾15=75,所以15a8=75,即a8=5,
所以公差d===1,a1=-2,
所以Sn=n(-2)+=,
=,為等差數(shù)列,其首項(xiàng)為-2,公差為,
所以前20項(xiàng)和為20×(-2)+×=55.
答案:55
7.【解析】前9行共有1+3+5+…+17==81項(xiàng),
所以A(10,12)為數(shù)列中的第81+12=93項(xiàng),所以a93=.
答案:()93
【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易把前9行包含的數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)求錯(cuò).
8.
10、【解析】設(shè)公差為d,則a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
答案:20
9.【解析】設(shè)公比為q,則a5=a1q4,a3=a1q2.
又4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,
所以2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2a1q2,
所以得:q4+q2-2=0,解得q2=1或q2=-2(舍去),
所以q=±1,
所以a2013=4·(±1)2013-1=4.
答案:4
10.【解析】因?yàn)閎10b11=2,
所以b1b2…b20=(b10b11)10=210.
又bn=,
所以b1b2…b20=··…=,
即=210,
11、
所以a21=210=1 024.
答案:1 024
11.【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中有amam-4=,所以m+m-4=8,m=6,所以a3=4,a1a5==16.
答案:16
12.【解析】依題知a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,且(2+c)2=2(2+3c),解得c=0(舍),c=2,
所以an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)
+…+(a2-a1)+a1
=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+2=n2-n+2.
答案:n2-n+2
13.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0,q≠1),
由a5,a3,a4成等
12、差數(shù)列,得2a3=a5+a4,
即2a1q2=a1q4+a1q3,
由a1≠0,q≠0得q2+q-2=0,
解得q1=-2,q2=1(舍去),
所以q=-2.
(2)對(duì)任意k∈N*,
Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)
=ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1·(-2)=0,
所以對(duì)任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.
14.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則
解得d=2或d=-4(舍),
所以an=2+(n-1)×2=2n.
(2)因?yàn)閥=4sin2πx=4×
=-2cos2πx+2,
其最小正周期
13、為=1,故首項(xiàng)為1,
因?yàn)楣葹?,從而bn=3n-1.
所以an-bn=2n-3n-1,
故Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1)
=-=n2+n+-.
【變式備選】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,數(shù)列{bn}滿足bn=(m∈N*).
(1)若b1,b2,b8成等比數(shù)列,試求m的值.
(2)是否存在m,使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt滿足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)指出符合題意的m的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】(1)因?yàn)镾n=n2,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1.
又當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,適合
14、上式,
所以an=2n-1(n∈N*),
所以bn=,則b1=,b2=,b8=,由=b1b8,得=×,解得m=0(舍)或m=9,所以m=9.
(2)假設(shè)存在m,使得b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列,即2b4=b1+bt,則
2×=+,化簡(jiǎn)得t=7+,
所以當(dāng)m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36時(shí),分別存在t=43,25,19,16,13,11,10,9,8符合題意,
即存在這樣的m,且符合題意的m共有9個(gè).
15.【解題提示】(1)由條件S4,S2,S3成等差數(shù)列和a2+a3+a4=-18列出方程組,解出首項(xiàng)和公比,運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出{an}的通項(xiàng)
15、公式.(2)假設(shè)存在正整數(shù)n,使得Sn≥2013,解不等式,求n的解集.
【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公比為q,則a1≠0,q≠0.由題意得
即解得
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3.
(2)由(1)有Sn==1-.
若存在n,使得Sn≥2013,則1-≥2013,即≤-2012.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),>0,上式不成立;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),=-2n≤-2012,
即2n≥2012,則n≥11.
綜上,存在符合條件的正整數(shù)n,且所有這樣的n的集合為.
16.【解析】因?yàn)閍,b,c是互不相等的正數(shù),所以q>0且q≠1.
(1)由已知,a,b,c是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,則b=q,c=q2,
16、
當(dāng)插入的一個(gè)數(shù)位于b,c之間時(shí),設(shè)由4個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d1,則消去d1,得q2-3q+2=0,因?yàn)閝≠1,所以q=2.
(2)設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d2,由題意,d2>0,q>1,共插入4個(gè)數(shù).
①若在a,b之間插入1個(gè)數(shù),在b,c之間插入3個(gè)數(shù),則于是=,2b-2a=c-b,q2-3q+2=0,又q>1,解得q=2.
②若在a,b之間插入3個(gè)數(shù),在b,c之間插入1個(gè)數(shù),則于是=,2c-2b=b-a,2q2-3q+1=0,解得q=1(舍去),或q=(不合題意,舍去).
③若a,b之間和b,c之間各插入2個(gè)數(shù),則b-a=c-b,q2-2q+1=0,
解得q=1(不合題意,舍去).
綜上,在a,b之間插入1個(gè)數(shù),在b,c之間插入3個(gè)數(shù).
(3)設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d3,
由題意,b=a+(s+1)d3,d3=,
又c=b+(t+1)d3,d3=,
所以=,即=,
因?yàn)閝≠1,所以=q.
所以,當(dāng)q>1,即ab>c時(shí),s>t.
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專題檢測(cè)卷(十一)專題四第一講
