【考點(diǎn)訓(xùn)練】第19章 四邊形 19.4 課題學(xué)習(xí) 重心：三角形的重心-1

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1、 【考點(diǎn)訓(xùn)練】三角形的重心-2 　 一、選擇題（共5小題） 1．（1997?臺(tái)灣）在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G為重心，到斜邊AB的距離為（　　） 　 A． B． C． D． 2 　 2．（2013?閘北區(qū)一模）在△ABC中，中線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)O，且S△BOD=5，則△ABC的面積是（　?。? 　 A． 30 B． 20 C． 15 D． 5 　 3．（2006?上海）在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，G是重心．如果AG=6，那么線(xiàn)段DG的長(zhǎng)為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 6

2、 D． 12 　 4．（2013?奉賢區(qū)一模）等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，該三角形的重心到斜邊的距離為（　?。? 　 A． B． C． D． 　 5．（2008?臺(tái)灣）如圖，G是△ABC的重心，直線(xiàn)L過(guò)A點(diǎn)與BC平行．若直線(xiàn)CG分別與AB，L交于D，E兩點(diǎn)，直線(xiàn)BG與AC交于F點(diǎn)，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=（　　） 　 A． 1：2 B． 2：1 C． 2：3 D． 3：2 　 二、填空題（共3小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值） 6．（2002?上海）在△ABC中，如果AB=AC=5cm，BC=8cm，那么這個(gè)三角形的重心

3、G到BC的距離是　_________　cm． 　 7．（2012?上海）我們把兩個(gè)三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，如果當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，重心距為2，那么當(dāng)它們的一對(duì)角成對(duì)頂角時(shí)，重心距為　_________?。? 　 8．（2004?上海）在△ABC中，點(diǎn)G是重心，若BC邊上的高為6，則點(diǎn)G到BC的距離為　_________?。? 　 三、解答題（共2小題）（選答題，不自動(dòng)判卷） 9．（2013?綿陽(yáng)）我們知道，三角形的三條中線(xiàn)一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線(xiàn)段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這

4、些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題．請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題： （1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，證明：； （2）若AD是△ABC的一條中線(xiàn)（如圖2），O是AD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若O是△ABC的重心，過(guò)O的一條直線(xiàn)分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值． 　 10．（2000?上海）如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，PH⊥OA，垂

5、足為H，△OPH的重心為G． （1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段GO、GP、GH中，有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段？如果有，請(qǐng)指出這樣的線(xiàn)段，并求出相應(yīng)的長(zhǎng)度； （2）設(shè)PH=x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域； （3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng)． 　 【考點(diǎn)訓(xùn)練】三角形的重心-2 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共5小題） 1．（1997?臺(tái)灣）在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G為重心，到斜邊AB的距離為（　　） 　 A． B． C． D． 2 考點(diǎn)： 三角形的重心．1528144

6、 專(zhuān)題： 壓軸題． 分析： 如圖，CD是Rt△ABC的斜邊上的中線(xiàn)，那么三角形的重心G在線(xiàn)段CD上，然后利用勾股定理和重心的性質(zhì)即可求出△ABC的重心到斜邊AB的距離． 解答： 解：設(shè)CD是Rt△ABC的斜邊上的中線(xiàn)，三角形的重心G在線(xiàn)段CD上，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)F， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB==10， 如圖，CD是Rt△ABC的斜邊上的中線(xiàn)， ∴三角形的重心G在線(xiàn)段CD上， ∴DG=CD， ∵GE∥CF， ∴EG=FC， ∵FC×AB=AC×BC， ∴FC=， ∴GE=×=， 即△ABC的重

7、心到斜邊AB的距離為：． 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 此題分別考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)及三角形的重心的性質(zhì)，有一定的綜合性，解題時(shí)要求學(xué)生熟練掌握這些知識(shí)才能很好解決這類(lèi)問(wèn)題． 　 2．（2013?閘北區(qū)一模）在△ABC中，中線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)O，且S△BOD=5，則△ABC的面積是（　?。? 　 A． 30 B． 20 C． 15 D． 5 考點(diǎn)： 三角形的重心．1528144 分析： 根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度等于到對(duì)邊中點(diǎn)的長(zhǎng)度的2倍可得OD=2AO，再根據(jù)等高的三角形的面積等于底邊的比求出△AOB的面積，然后等底等高的三角形的面

8、積相等求解即可． 解答： 解：如圖，∵中線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)O， ∴O是△ABC的重心， ∴OD=AO， ∵S△BOD=5， ∴S△AOB=2S△BOD=2×5=10， ∴S△ABD=10+5=15， ∵AD是中線(xiàn)， ∴△ABC的面積=2S△ABD=2×15=30． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的重心，三角形的重心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度等于到對(duì)邊中點(diǎn)的長(zhǎng)度的2倍，等高的三角形的面積等于底邊的比以及等底等高的三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵． 　 3．（2006?上海）在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，G是重心．如果AG=6，那么線(xiàn)段DG的長(zhǎng)為（　?。? 　 A．

9、 2 B． 3 C． 6 D． 12 考點(diǎn)： 三角形的重心．1528144 專(zhuān)題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，直接求得結(jié)果． 解答： 解：∵三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍， ∴DG=AG=3． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 掌握三角形的重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其道對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理即可證明此結(jié)論． 　 4．（2013?奉賢區(qū)一模）等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，該三角形的重心到斜邊的距離為（　?。? 　 A． B． C． D．

10、 考點(diǎn)： 等腰直角三角形；三角形的重心．1528144 分析： 作等腰直角三角形底邊上的高并根據(jù)勾股定理求解，再根據(jù)三角形重心三等分中線(xiàn)的性質(zhì)即可求出． 解答： 解：如圖，根據(jù)三線(xiàn)合一的性質(zhì)，底邊上的中線(xiàn)CD=sin45°=1， ∵三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離等于中點(diǎn)距離的2倍， ∴重心到AB的距離=1×=． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)和三角形重心的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵． 　 5．（2008?臺(tái)灣）如圖，G是△ABC的重心，直線(xiàn)L過(guò)A點(diǎn)與BC平行．若直線(xiàn)CG分別與AB，L交于D，E兩點(diǎn)，直線(xiàn)BG與AC交于F點(diǎn)，則△AED的

11、面積：四邊形ADGF的面積=（　?。? 　 A． 1：2 B． 2：1 C． 2：3 D． 3：2 考點(diǎn)： 三角形的重心．1528144 分析： 根據(jù)重心的概念得出D，F(xiàn)分別是三角形的中點(diǎn)．若設(shè)△ABC的面積是2，則△BCD的面積和△BCF的面積都是1．又因?yàn)锽G：GF=CG：GD，可求得△CGF的面積．則四邊形ADGF的面積也可求出．根據(jù)ASA可以證明△ADE≌△BDC，則△ADE的面積是1．則△AED的面積：四邊形ADGF的面積可求． 解答： 解：設(shè)三角形ABC的面積是2 ∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1 ∵BG：GF=CG：GD=2

12、 ∴三角形CGF的面積是 ∴四邊形ADGF的面積是2﹣1﹣= ∵△ADE≌△BDC（ASA） ∴△ADE的面積是1 ∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積=1：=3：2． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍． 　 二、填空題（共3小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值） 6．（2002?上海）在△ABC中，如果AB=AC=5cm，BC=8cm，那么這個(gè)三角形的重心G到BC的距離是　1　cm． 考點(diǎn)： 勾股定理；三角形的重心；等腰三角形的性質(zhì)．1528144 分析： 根據(jù)等腰三角

13、形的三線(xiàn)合一，知三角形的重心在BC邊的高上．根據(jù)勾股定理求得該高，再根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，求得G到BC的距離． 解答： 解：∵AB=AC=5cm ∴△ABC是等腰三角形 ∴三角形的重心G在BC邊的高 根據(jù)勾股定理設(shè)該高為a， ∴a2+42=52 則a=3cm， 根據(jù)三角形的重心性質(zhì) ∴G到BC的距離是1cm． 點(diǎn)評(píng)： 考查了等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)以及三角形的重心的概念和性質(zhì)． 　 7．（2012?上海）我們把兩個(gè)三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，如果當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，重心距為2，那么當(dāng)它

14、們的一對(duì)角成對(duì)頂角時(shí)，重心距為　4?。? 考點(diǎn)： 三角形的重心；等邊三角形的性質(zhì)．1528144 專(zhuān)題： 壓軸題；新定義． 分析： 先設(shè)等邊三角形的中線(xiàn)長(zhǎng)為a，再根據(jù)三角形重心的性質(zhì)求出a的值，進(jìn)而可得出結(jié)論． 解答： 解：設(shè)等邊三角形的中線(xiàn)長(zhǎng)為a， 則其重心到對(duì)邊的距離為：a， ∵它們的一邊重合時(shí)（圖1），重心距為2， ∴a=2，解得a=3， ∴當(dāng)它們的一對(duì)角成對(duì)頂角時(shí)（圖2）重心距=a=×3=4． 故答案為：4． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是三角形重心的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，即三角形的重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1． 　 8．（2004

15、?上海）在△ABC中，點(diǎn)G是重心，若BC邊上的高為6，則點(diǎn)G到BC的距離為　2?。? 考點(diǎn)： 三角形的重心．1528144 分析： 根據(jù)重心的性質(zhì)，可知AG=2GN，即則=，可求則=，則點(diǎn)G到BC的距離是GM． 解答： 解：連接AG并延長(zhǎng)交BC與N，過(guò)G作GM⊥BC于M， 根據(jù)點(diǎn)G是重心，則AG=2GN， 則=， 因而GM=2， 則點(diǎn)G到BC的距離為2． 點(diǎn)評(píng)： 正確理解重心的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為三角形相似問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共2小題）（選答題，不自動(dòng)判卷） 9．（2013?綿陽(yáng)）我們知道，三角形的三條中線(xiàn)一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心

16、．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線(xiàn)段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題．請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題： （1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，證明：； （2）若AD是△ABC的一條中線(xiàn)（如圖2），O是AD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若O是△ABC的重心，過(guò)O的一條直線(xiàn)分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值． 考點(diǎn)： 相似形綜合題；三角形的重心．

17、1528144 專(zhuān)題： 壓軸題． 分析： （1）如答圖1，作出中位線(xiàn)DE，證明△AOC∽△DOE，可以證明結(jié)論； （2）如答圖2，作△ABC的中線(xiàn)CE，與AD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故點(diǎn)O與點(diǎn)Q重合，即點(diǎn)O為△ABC的重心； （3）如答圖3，利用圖形的面積關(guān)系，以及相似線(xiàn)段間的比例關(guān)系，求出的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值． 解答： （1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E． ∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴CE是中線(xiàn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)． ∴DE是中位線(xiàn)， ∴DE∥AC，且DE=AC． ∵DE∥A

18、C， ∴△AOC∽△DOE， ∴=2， ∵AD=AO+OD， ∴． （2）答：點(diǎn)O是△ABC的重心． 證明：如答圖2，作△ABC的中線(xiàn)CE，與AD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為△ABC的重心． 由（1）可知，=， 而， ∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合（是同一個(gè)點(diǎn)）， ∴點(diǎn)O是△ABC的重心． （3）解：如答圖3所示，連接DG． 設(shè)S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD， ∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S． 為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不妨設(shè)AG=1，BG=x，則S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S， ∴S

19、△ABC=2S△ABD=（6x+6）S． 設(shè)OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S． ∴S四邊形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S． ∴== ① 如答圖3，過(guò)點(diǎn)O作OF∥BC交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E，則OF∥GE． ∵OF∥BC， ∴， ∴OF=CD=BC； ∵GE∥BC， ∴， ∴GE=； ∴=， ∴． ∵OF∥GE， ∴， ∴=， ∴k=，代入①式得： ===﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+， ∴當(dāng)x=時(shí)，有

20、最大值，最大值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題是幾何綜合題，以三角形的重心為背景，考查了重心的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用，考查了相似三角形、中位線(xiàn)、圖形面積、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)．試題的難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，如何求出的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；另外，第（3）問(wèn)尚有多種不同的解法，同學(xué)們可以深入探究． 　 10．（2000?上海）如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G． （1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段GO、GP、GH中，有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段？如果有，請(qǐng)指出這樣的線(xiàn)段，并求出相應(yīng)的長(zhǎng)度； （2）設(shè)PH=x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，

21、并寫(xiě)出函數(shù)的定義域； （3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì)；三角形的重心；等腰三角形的性質(zhì)．1528144 專(zhuān)題： 壓軸題． 分析： （1）由題意可知：重心是三角形中線(xiàn)交點(diǎn)，它把中線(xiàn)分為1：2的比例，如果中線(xiàn)長(zhǎng)度不變，題中的三線(xiàn)段長(zhǎng)度也不變．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜邊，也是半徑是保持不變的所以線(xiàn)段GH保持不變；則根據(jù)直角三角形中斜邊的中線(xiàn)是斜邊的一半可以求得OP中線(xiàn)的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得GH的長(zhǎng)度； （2）延長(zhǎng)PG交OA于C，則y=×PC；分別再直角三角形OPh和直角三角形PHC中運(yùn)用兩次勾股定理即可以求出y關(guān)于

22、x的函數(shù)解析式； （3）分別討論GH=PG，GH=PH，PH=PG這三種情況，根據(jù)（2）中的解析式可以分別求得x的值． 解答： 解：（1）當(dāng)然是GH不變． 延長(zhǎng)HG交OP于點(diǎn)E， ∵G是△OPH的重心， ∴GH=EH， ∵PO是半徑，它是直角三角形OPH的斜邊，它的中線(xiàn)等于它的一半； ∴EH=OP ∴GH=（OP）=（×6）=2； （2）延長(zhǎng)PG交OA于C，則y=×PC． 我們令OC=a=CH， 在Rt△PHC中，PC==， 則y=×； 在Rt△PHO中，有OP2=x2+（2a）2=62=36， 則a2=9﹣， 將其代入y=×得y=×=（0＜x＜6）； （3）如果PG=GH，則y=GH=2， 解方程：x=0， 那GP不等于GH，則不合意義； 如果，PH=GH=2則可以解得：x=2； 如果，PH=PG，則x=y代入可以求得：x=， 綜合上述線(xiàn)段PH的長(zhǎng)是或2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了重心的概念以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)．綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度． 　 關(guān)注中學(xué)生習(xí)題網(wǎng)官方微信公眾號(hào)，免費(fèi)學(xué)習(xí)資源、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)資訊第一時(shí)間掌握。 微信公眾賬號(hào)：xitibaike 掃描二維碼關(guān)注： 中學(xué)生習(xí)題網(wǎng)